2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第四章數(shù)列第二講等差數(shù)列及其前n項和 課件（40張）

第二講等差數(shù)列及其前n項和課標(biāo)要求考情分析1.通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系1.主要考查等差數(shù)列的基本運算、基本性質(zhì)，等差數(shù)列的證明也是考查的熱點.2.本節(jié)內(nèi)容在高考中既可以以選擇、填空的形式進(jìn)行考查，也可以以解答題的形式進(jìn)行考查.解答題往往與數(shù)列的計算、證明、等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查.難度為中低檔1.等差數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.a＋b

2.等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中項如果A＝2，那么A叫做a與b的等差中項.4.等差數(shù)列的前n項和公式5.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系6.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(4)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數(shù)列.

(5)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列單調(diào)遞增；若公差d<0，則數(shù)列單調(diào)遞減；若公差d＝0，則數(shù)列為常數(shù)列.7.等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn

存在最小值.

考點一等差數(shù)列1.已知{an}是等差數(shù)列，且滿足S10＝10，S30＝18，則S20＝()A.14C.16

B.15D.17

解析：∵{an}是等差數(shù)列，且滿足S10＝10，S30＝18，由等差數(shù)列的性質(zhì)得S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，∴10，S20－10，18－S20成等差數(shù)列，∴2(S20－10)＝10＋18－S20，解得S20＝16.故選C.答案：C答案：B

3.(2023年通州區(qū)期中)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目(請給出答案)：把100個面包分給5個人，使每人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之4.(2022年全國乙卷文科)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.解析：∵2S3＝3S2＋6，∴2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，∵{an}為等差數(shù)列，∴6a2＝3a1＋3a2＋6，∴3(a2－a1)＝3d＝6，解得d＝2.答案：2【題后反思】

(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”). (2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1

和公差d.考點二等差數(shù)列的判定與證明方法解讀適合題型定義法若an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n項和公式法驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列【題后反思】等差數(shù)列的判定與證明的方法【變式訓(xùn)練】(1)證明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①把n換成n＋1，2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1，②②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n，整理得an＋1＝an＋1，由等差數(shù)列定義有{an}為等差數(shù)列.

考點三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用考向1等差中項的性質(zhì)[例2](1)(2022年淄博市模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9＝(

)A.72B.36C.18D.9答案：BA.4B.6C.8D.10答案：C【題后反思】等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列.(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.考向2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)[例3](1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A.35B.42C.49D.63

解析：由題意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列，即7，14，S15－21成等差數(shù)列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42，B正確.

答案：B答案：C【題后反思】利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個關(guān)注點(1)兩項和的轉(zhuǎn)換是最常用的性質(zhì)，利用2am＝am－n＋am＋n可實(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，可求S2m或S3m.【考法全練】1.(考向1)等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是()A.20B.22C.24D.8解析：因為a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故選C.答案：C答案：C

⊙等差數(shù)列的前n

項和及其最值

[例4]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；【規(guī)律方法】求等差數(shù)列前n項和Sn

的最值的常用方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通過配