第一章-集合與常用邏輯用語

這是一個刷題的時代，老師刷題，以為從此天下無題不解；學生刷題，以為是提高解題能力的速成寶典。于是刷題風起，把刷題當作學習數(shù)學的魔方，把題海捧為成就學霸的金丹！大海茫?？繜羲?，題海茫茫憑典例，著名高考命題專家葛軍說過：“一道題做‘透’了，要遠勝過做一百道題”。刷百題不如解透一題，多做題固然必不可少，但多反思更難能可貴。所以在平時的做題訓練中，我們要多注重以下幾方面的總結(jié)領(lǐng)悟：1．審題上——審清題意，挖掘隱含要求全面、深刻、準確地理解題意，分清條件和結(jié)論，深挖隱含在題中的相關(guān)知識點，找出關(guān)鍵字句，從中選擇解題的突破口?！翱吹迷酵笍?，解法越快捷！”要注意捕捉“題眼”，若能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住問題的關(guān)鍵，則可望速戰(zhàn)速決。2．破題上——探求解法，注意化歸解題的本質(zhì)就是通過命題轉(zhuǎn)換，設法消除條件與結(jié)論之間的差異，化條件為結(jié)論，或設法由已知條件求未知結(jié)論。這里“命題轉(zhuǎn)換”就是轉(zhuǎn)化化歸，即瞄準解題的目標，展開大跨度、粗線條的聯(lián)想、類比、歸納、轉(zhuǎn)化與合情推理，力爭迅速敏銳地抓住數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，并且靈活運用數(shù)學基本思想方法，最終找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，擬出合理的解題計劃。3．總結(jié)上——追根溯源，歸類建檔每做完一道題，要通過反思，領(lǐng)悟題目精髓，提煉解題技巧，獲得解題方法。做到精學一題、妙解一類，追根溯源、登高望遠，歸類建檔、內(nèi)化于心。茫茫題海，尋根悟法方是岸。第一講解題的先決條件——信息獲取我們常把數(shù)學習題的結(jié)構(gòu)分為條件(已知部分)和結(jié)論(未知部分)．如果針對問題的組成結(jié)構(gòu)而言，這種認識是無可挑剔的．但是，數(shù)學習題的解決是習題與人的思維活動相互作用的結(jié)果，人在認識和解決一道數(shù)學習題時，是關(guān)注習題的條件還是結(jié)論呢？事實上，同一道習題可以用多種形式表達，習題的條件和結(jié)論的表述不盡相同，弄清習題的條件和結(jié)論，只是對習題最初步、最基礎(chǔ)的認識，真正與習題解答直接相關(guān)的是習題蘊藏的信息，它才是激發(fā)解題思維之源、產(chǎn)生解題方案之源．下面結(jié)合實例，教你如何正確關(guān)注題目的條件和結(jié)論，準確獲取解題信息，從而正確迅速解題．一、習題條件蘊藏的信息對解答習題存在重要作用習題的條件部分，既是結(jié)論成立的條件，也是習題解答的條件．如何直接利用條件或最大限度地挖掘條件隱藏的信息對問題的解決非常重要．無論是幾何問題還是代數(shù)問題，不僅要發(fā)現(xiàn)條件直接呈現(xiàn)的信息，還需要發(fā)現(xiàn)與條件相關(guān)的潛在信息，一個優(yōu)秀的解題高手必須具備這一素質(zhì)．[例1]如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個公共點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點．V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是()A．V1＝eq\f(V,2) B．V2＝eq\f(V,2)C．V1>V2 D．V1＜V2[解析]這個習題直接呈現(xiàn)的信息就是圖形，我們從圖形中可以挖掘出以下3項潛在信息：①大球半徑是小球半徑的2倍；②4個小球中每個小球與相鄰的兩個小球相交；③V1為小球相交部分(圖中格子部分)的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中陰影部分的體積．從結(jié)論中我們只能得到信息：比較V，V1，V2的大?。梢钥闯觯簣D形中隱藏的3條信息直接關(guān)系到問題的解答，如果給定大球的半徑，甚至可以求出V，V1，V2的大?。牵Y(jié)論信息不要求算出V，V1，V2的大小，只要求尋找三者的大小關(guān)系．為了便于表述，我們可以假設小球的半徑為r(也可以假設小球的半徑為單位1)．于是有V＝eq\f(4,3)π(2r)3＝eq\f(32,3)πr3，V小球＝eq\f(4,3)πr3.因為V2＝V－4V小球＋V1.所以V2－V1＝V－4V小球＝eq\f(16,3)πr3>0，可知C錯誤，D正確．所以V＝V2－V1＋4V小球>4V小球>2V1，可知A錯誤．所以V2＝V－4V小球＋V1>V－4V小球＝eq\f(16,3)πr3＝eq\f(V,2)，可知B錯誤．[答案]D[反思領(lǐng)悟]從此題的解答來看，圖形中不僅反映了大、小球之間的位置關(guān)系，也隱藏著V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1，而且題設條件中隱藏的這條信息對習題的解答具有重要作用．于是我們可以得到一點解題經(jīng)驗：對于含有圖形、表格的習題，仔細挖掘圖形中隱藏的信息，如點、線、面之間的位置關(guān)系，角之間的大小關(guān)系，線段之間的長度關(guān)系，表格中數(shù)據(jù)的對應關(guān)系和大小關(guān)系，是尋找解題思路的有效途徑．二、習題結(jié)論隱藏的信息對習題解答產(chǎn)生的作用不可忽視在解題過程中，通常重視問題的條件信息，忽視問題的結(jié)論信息，認為條件才是問題解決的基礎(chǔ)材料，結(jié)論是問題解決所追求的終極目標．其實，這是一種片面的認識，結(jié)論所隱藏的信息又何嘗不是問題解決的基礎(chǔ)，也存在著重要作用．要善于從結(jié)論中捕捉解題信息，善于對結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，使之逐步靠近條件，從而發(fā)現(xiàn)和確定解題方向．[例2]若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3).[證明]這個習題呈現(xiàn)的信息有3項：①a，b，c∈(0，＋∞)；②a＋b＋c＝1；③eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3).可以看出：條件信息①②只是說明a，b，c的范圍及關(guān)系，沒有體現(xiàn)與結(jié)論“eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3)”的聯(lián)系，對解題思路缺乏直接指導作用，相反，結(jié)論信息“eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3)，左邊為三個根式的和，右邊為常數(shù)”，這為尋找解題方案做出了暗示．我們只要回想自己的解題經(jīng)驗，就可以想到“去掉根號化為整式，有利于進一步化簡和推理”，這究竟能否成功解決問題呢？這只是問題解決的假設方案．如何才能去掉根號呢？想到利用“基本不等式”可以實現(xiàn)這一條解題方案，但是，我們馬上發(fā)現(xiàn)，直接利用基本不等式并不能解決該問題，難道是我們的方案不對？仔細分析分析“基本不等式”的結(jié)構(gòu)特點“eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)”以及利用基本不等式求最值的條件“一正、二定、三相等”，想到要使該不等式成立，應有“a＝b＝c＝eq\f(1,3)”，從而應有a＋5＝b＋5＝c＋5＝eq\f(16,3)成立．故應拼湊eq\r(\f(16,3))，巧妙升次，促成“等”與“不等”的轉(zhuǎn)化，于是就有了如下解決方案：因為2eq\r(\f(16,3))eq\r(a＋5)≤eq\f(16,3)＋(a＋5)，2eq\r(\f(16,3))eq\r(b＋5)≤eq\f(16,3)＋(b＋5)，2eq\r(\f(16,3))eq\r(c＋5)≤eq\f(16,3)＋(c＋5)，所以2eq\r(\f(16,3))(eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5))≤16＋(a＋5)＋(b＋5)＋(c＋5)＝31＋(a＋b＋c)＝32.所以eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)≤4eq\r(3).[反思領(lǐng)悟]從該題的解答過程來看，條件信息只能保證根式有意義和代數(shù)式eq\r(a＋5)＋eq\r(b＋5)＋eq\r(c＋5)＝4eq\r(3)成立而已，對探求解題思路的作用不大；而結(jié)論信息為解題提供了明確的暗示——去根號．就提供解題策略而言，條件作用小，結(jié)論作用大，于是我們可以得到一點解題經(jīng)驗：對于題設簡單、結(jié)論復雜的數(shù)學習題，挖掘問題結(jié)論所隱藏的信息，是尋找解題思路的一條途徑．三、習題結(jié)論是“終極目標”不一定是“關(guān)鍵目標”[例1]的結(jié)論是判斷正誤，沒有明確指出比較V，V1，V2中哪兩個的大小關(guān)系．問題的結(jié)論只是一組信息，也是我們解題時所追求的終極目標；但是，有時也許是一組模糊的信息，并不一定是解題過程中追求的關(guān)鍵目標．關(guān)鍵目標有可能是問題結(jié)論的反面，或者是一個矛盾，或者是與結(jié)論相關(guān)的、等價的另一問題……，解答[例1]的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)V，V1，V2，V小球四者的大小關(guān)系，即V2＝V－4V小球＋V1.解題時只有對習題的所有信息進行綜合加工處理，關(guān)鍵目標才能浮現(xiàn)出來．[例3]設函數(shù)f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)>1.[解](1)f′(x)＝aexeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))＋eq\f(bex－1x－1,x2)(x>0)，由于直線y＝e(x－1)＋2的斜率為e，圖象過點(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2，,f′1＝e，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,ae＝e，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))(2)證明：由(1)知f(x)＝exlnx＋eq\f(2ex－1,x)(x>0)，從而f(x)>1等價于xlnx>xe－x－eq\f(2,e).構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xlnx，則g′(x)＝1＋lnx，所以當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))時，g′(x)＜0；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))時，g′(x)>0，故g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e).構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xe－x－eq\f(2,e)，則h′(x)＝e－x(1－x)．所以當x∈(0,1)時，h′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＜0；故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－eq\f(1,e).綜上，當x>0時，g(x)>h(x)，即f(x)>1.[反思領(lǐng)悟]本題的終極目標是證明f(x)>1成立．若按照常規(guī)思路，直接構(gòu)造函數(shù)h(x)＝exlnx＋eq\f(2ex－1,x)－1，求導后不易分析，因此不宜對其整體進行構(gòu)造函數(shù)，而是將不等式“exlnx＋eq\f(2ex－1,x)>1”合理拆分為“xlnx>xe－x－eq\f(2,e)”，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xlnx，h(x)＝xe－x－eq\f(2,e)，此時，問題解決的關(guān)鍵目標是證明g(x)>h(x)成立．從上述論述來看，問題解決最重要的環(huán)節(jié)是解題思路的探求，在解題思路的探求過程中，題設條件并非解題的唯一條件，結(jié)論也不是一成不變的結(jié)論．將問題的條件信息和結(jié)論信息聯(lián)系起來整體地思考和探究，結(jié)合大腦中儲備的知識經(jīng)驗進行綜合加工，才有利于發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵目標，探求到合理而有效的解題方案．四、習題信息的轉(zhuǎn)化是實現(xiàn)信息“化暗為明”的必備能力數(shù)學習題呈現(xiàn)的信息具有多樣性．有圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系信息，也有代數(shù)問題中的數(shù)量大小關(guān)系信息、代數(shù)式的特征信息，還有圖、表中的數(shù)據(jù)對應關(guān)系信息．為了深入理解習題的信息，常根據(jù)其表現(xiàn)形式分為以下三類：1．形象信息數(shù)學問題中以圖形、表格等直觀形象的形式表達出來的信息，稱為形象信息，如幾何圖形、函數(shù)圖象、坐標系、分布列、頻率分布直方圖、莖葉圖等，呈現(xiàn)給我們的是直觀形象的材料．2．符號信息符號信息是用字母、數(shù)字、數(shù)學式子等形式表達的信息，呈現(xiàn)給我們的是抽象的數(shù)學符號，通常稱為數(shù)的信息．3．語言信息語言信息就是用有意義的語言來表達的信息，也就是用漢語、數(shù)學語言來表達的數(shù)量關(guān)系、概念和數(shù)學習題中的解釋、說明等信息．這三類信息既有區(qū)別又有聯(lián)系．雖然在表達形式上不同，但在解題過程中是可以互相轉(zhuǎn)化的．只有熟練地轉(zhuǎn)化解題信息，才能化隱性信息為顯性信息、化新情景問題為已學知識．熟練地轉(zhuǎn)化各類信息的表述形式與成功解答習題存在正相關(guān)，一個優(yōu)秀的解題高手，必須是一個信息處理和信息轉(zhuǎn)化方面的能手．[例4]函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，則n的取值范圍是()A．{3,4} B．{2,3,4}C．{3,4,5} D．{2,3}[解析]令Pn(xn，f(xn))，eq\f(fxn,xn)＝eq\f(fxn－0,xn－0)＝kOPn，由eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)?kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，即過點O的射線與函數(shù)圖象有n個不同的交點．于是過點O作射線與函數(shù)圖象的公共點可能有2個、3個、4個，所以選B.[答案]B[反思領(lǐng)悟]此題的解答過程中，先將符號信息(數(shù)的信息)eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)轉(zhuǎn)化為另一形式的數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，再將數(shù)的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn轉(zhuǎn)化為語言信息“OP1，OP2，…，OPn的斜率相等”，進一步轉(zhuǎn)化為語言信息“過點O的射線與函數(shù)圖象有n個不同的交點”．顯然，此題的解答過程就是一系列的信息轉(zhuǎn)化過程．[例5]已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D.eq\r(17)[解析]首先將圓C1，C2和|PM|＋|PN|符號信息轉(zhuǎn)化為形象信息，如圖(1)所示，進一步轉(zhuǎn)化為語言信息“求線段和|PM|＋|PN|的最小值”，將圓C1關(guān)于x軸對稱得到圓C3，得到形象信息圖(2)，將問題轉(zhuǎn)化為“求圖(2)中|PM|＋|PN|的最小值”．于是|PM|＋|PN|≥|C2C3|－(R1＋R2)＝5eq\r(2)－4.[答案]A[反思領(lǐng)悟]在解答平面幾何和解析幾何問題時，我們常常根據(jù)題意作出草圖，這就是把語言信息或符號信息轉(zhuǎn)化為形象信息．又如，用解析法解答平面幾何問題時，又把形象信息轉(zhuǎn)化為符號信息和語言信息．總之，三類信息是密切相關(guān)的，解題者常常根據(jù)自己的認知經(jīng)驗和思維習慣將三類信息相互轉(zhuǎn)化．第二講解題的指導思想——化歸尋舊在數(shù)學習題的解答過程中，除了第一講中對信息加工的實踐操作活動外，更重要的是大腦加工信息的思維活動，它的規(guī)律就是化歸尋舊思想．“尋”即“尋找”“聯(lián)系”之意；“舊”指現(xiàn)有的知識經(jīng)驗．也就是說信息加工的思維活動規(guī)律就是尋找問題的信息與現(xiàn)有的知識經(jīng)驗之間的聯(lián)系，為加工信息的實踐操作活動指明方向，即為化歸活動確定方向．常見的化歸尋舊方法有以下幾種：一、求同求異，尋舊之規(guī)律(一)求同尋舊求同尋舊就是習題解答過程中人的思維活動總是表現(xiàn)為尋找習題信息與已知的某項知識經(jīng)驗的共性．特別是尋找問題信息與已知的某個公式、某個定理或某個曾經(jīng)解決過的問題等在表達形式上或內(nèi)容上的共同點．解題者在感知問題的信息時，眼睛如照相機一樣將習題所呈現(xiàn)的信息符號拍攝下來，這些符號通過視覺神經(jīng)傳輸?shù)酱竽X，大腦對信息符號進行識別、分類，然后尋找信息符號在認知結(jié)構(gòu)中的聯(lián)絡點，聯(lián)絡點一經(jīng)找到，就說明習題信息與認知結(jié)構(gòu)中的某項知識經(jīng)驗存在一定的聯(lián)系．[例1]已知eq\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(cosθ,2asin2φ)＝eq\f(1,1＋2acos2φ＋a2)，求證：sinθ＝eq\f(a2－1,a2＋1).[求同尋舊]由于條件和結(jié)論都是三角等式，而結(jié)論信息是不含角2φ的三角等式，根據(jù)認知經(jīng)驗“條件中含有2φ的三角函數(shù)，而結(jié)論是不含2φ的三角函數(shù)，說明應當對條件信息進行加工處理，消去2φ”．為了消去2φ的三角函數(shù)，聯(lián)系到熟悉結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗sin22φ＋cos22φ＝1，就會產(chǎn)生“先解出sin2φ，cos2φ，然后平方消去參數(shù)2φ”這一化歸方案．[證明]因為eq\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(cosθ,2asin2φ)，所以2asin2φ＝eq\f(a2－1cosθ,sinθ).①因為eq\f(sinθ,a2－1)＝eq\f(1,1＋2acos2φ＋a2)，所以2acos2φ＝eq\f(a2－1,sinθ)－(1＋a2)．②由①2＋②2再化簡得2(a2＋1)(a2－1)sinθ＝2(a2－1)2.因為a2－1≠0，所以sinθ＝eq\f(a2－1,a2＋1).[反思歸納]此題通過求同尋舊提出了消去角2φ的解題思路，顯然，解題的假設方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產(chǎn)物．(二)求異尋舊求異尋舊就是習題解答過程中人的思維活動總是表現(xiàn)為尋找問題信息與認知結(jié)構(gòu)中的某項知識經(jīng)驗的特征差異，以便化異為同，促使習題信息與認知結(jié)構(gòu)的“網(wǎng)點”順利“鏈接”．求同尋舊與求異尋舊在解題過程中總是結(jié)伴而行．一般來說，兩個事物總是存在著區(qū)別和聯(lián)系，相同之外有不同，不同之中有相同，沒有完全相同和完全不同的兩件事物．尋舊就是尋找習題信息與認知結(jié)構(gòu)中知識經(jīng)驗的聯(lián)系和區(qū)別，特別要善于在不同之中找到一點共性，在相似之間發(fā)現(xiàn)其中的差異．求同尋舊旨在尋找聯(lián)系，從而為處理信息或問題解決提出假設方案；求異尋舊旨在發(fā)現(xiàn)差異，從而為信息加工指明方向，所以求同求異是不可分的．[例2]如果方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝k，,log3x2＋log3y2＝2))只有一組解，則實數(shù)k的值為________．[求同尋舊]由于我們認知結(jié)構(gòu)中有這樣一項經(jīng)驗——一元二次方程根的存在及判定，而這個問題不是一元二次方程，它是求方程組的一組解．二者存在的共性都是與求解相關(guān)的問題．[求異尋舊]認知經(jīng)驗是“一元二次方程”，而此問題是“二元二次對數(shù)方程組”，二者在元的個數(shù)和方程的個數(shù)上存在著差異，這就要求我們對原方程組進行“消元”處理，化異為同，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝k，,log3x2＋log3y2＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x＋log3y＝log3k，,log3x2＋log3y2＝2))?2(log3x)2－2log3klog3x＋(log3k)2－2＝0.①[求異尋舊]認知經(jīng)驗中的熟悉結(jié)構(gòu)是“一元二次方程”，而方程①是“對數(shù)方程”，二者在方程形式上存在著差異，這就要求我們對方程①進行“換元”處理，化異為同．[解析]因為log3x∈R，設log3x＝t(t∈R)，方程①化為2t2－2tlog3k＋(log3k)2－2＝0.②要使原方程組只有一組解，只需方程②只有一個根即可．所以Δ＝4(log3k)2－8(log3k)2＋16＝0?k＝9或k＝eq\f(1,9).[答案]9或eq\f(1,9)[反思領(lǐng)悟]此題通過求異尋舊找到了“二元二次對數(shù)方程組只有一組解”與“一元二次方程只有一個根”的差異，提出了“消元”的解題思路，得到了①.又通過求異尋舊找到了“對數(shù)方程”與“一元二次方程”的差異，提出了“換元”的解題思路，得到了熟悉的方程②.顯然，解題的假設方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產(chǎn)物．二、上游下游，尋舊之方向?qū)τ趦身椥畔，B，如果A是B的充分條件，我們稱A是B的上游信息，B是A的下游信息．我們稱從上游信息向下游信息聯(lián)想的思維活動為順推尋舊，從下游信息向上游信息聯(lián)想的思維活動為逆推尋舊．(一)下游順推信息法就是針對一項信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)中的某條線進行順推，順推得到的新信息是上一步信息的必要條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為下游順推信息法，如圖所示．eq\x(信息A)→eq\x(信息A1)→eq\x(信息A2)→eq\x(信息A3)[例3]已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x，若存在實數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．[解]這個習題呈現(xiàn)的信息有2項：①存在實數(shù)t，使不等式f(x＋t)≤x－1對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立；②求實數(shù)m的取值范圍．此題信息②很清晰，而信息①雖然是一個不等式恒成立問題，但不等式的結(jié)構(gòu)是隱性的，不直觀、不清晰，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，首先對信息①進行加工處理，使信息①清晰，這樣便于尋找與熟悉結(jié)構(gòu)的聯(lián)系．將信息①進行下游順推轉(zhuǎn)化為①1：“存在實數(shù)t，使不等式(x＋t＋1)2≤x對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①的充要條件；將信息①1進行下游順推轉(zhuǎn)化為①2：“存在實數(shù)t，使不等式|x＋t＋1|≤eq\r(x)對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①1的充要條件；將信息①2進行下游順推轉(zhuǎn)化為①3：“存在實數(shù)t，使不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(x)＋1≤－t，,x＋\r(x)＋1≥－t))對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①2的充要條件；將信息①3進行下游順推轉(zhuǎn)化為①4：“存在實數(shù)t，使不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\r(m)＋1≤－t，,1＋\r(1)＋1≥－t))成立”，即轉(zhuǎn)化為信息①3的充要條件；將信息①4進行下游順推轉(zhuǎn)化為①5：“不等式m－eq\r(m)＋1≤3”，即轉(zhuǎn)化為信息①4的必要條件；將信息①5進行下游順推轉(zhuǎn)化為①6：“1＜m≤4”，即轉(zhuǎn)化為信息①5由此可見，此題的解答過程就是信息①的下游順推轉(zhuǎn)化過程，一次次將信息①向下游轉(zhuǎn)化為它的充要條件，建立一條從信息①到信息②的解題通道．[例4]已知a>0，b>0，a＋eq\r(b2＋8)＝4，求eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值．[解]這個習題呈現(xiàn)的信息有3項：①a>0，b>0；②a，b之間的關(guān)系式為a＋eq\r(b2＋8)＝4；③求eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值．此題兩個變量之間存在聯(lián)系，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，一個自變量的問題是函數(shù)問題，求函數(shù)最小值有導數(shù)這個通法．此題如果能消去一個自變量，就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問題．于是可以采取以下兩種消元處理信息的方法．轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件；將信息③轉(zhuǎn)化為求eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b)的最小值，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為信息③的充要條件；此時，問題結(jié)論信息轉(zhuǎn)化為“已知0＜b＜2eq\r(2)，求F(b)＝eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b)的最小值”，這也是下游順推信息法，即轉(zhuǎn)化為結(jié)論信息的充要條件．由題意知a＝4－eq\r(b2＋8)(0＜b＜2eq\r(2))，令F(b)＝eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(3,4－\r(b2＋8))＋eq\f(1,b).因為F′(b)＝eq\f(3b,\r(b2＋8)4－\r(b2＋8)2)－eq\f(1,b2)＝eq\f(1,b\r(b2＋8)4－\r(b2＋8)2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3b2－4－\r(b2＋8)2\r(1＋\f(8,b2)))).顯然，f(b)＝4－eq\r(b2＋8)和g(b)＝eq\r(1＋\f(8,b2))在(0,2eq\r(2))上單調(diào)遞減且恒正．所以u(b)＝3b2－(4－eq\r(b2＋8))2eq\r(1＋\f(8,b2))在(0,2eq\r(2))上單調(diào)遞增．列表如下：b(0,1)1(1,2eq\r(2))u(b)－0＋F′(b)－0＋所以F(b)min＝F(1)＝4，即eq\f(3,a)＋eq\f(1,b)的最小值為4.(二)上游逆推信息法就是針對一項信息A，沿著熟悉結(jié)構(gòu)的某條線進行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為上游逆推信息法，如圖所示．eq\x(信息A3)→eq\x(信息A2)→eq\x(信息A1)→eq\x(信息A)[例5]已知an＝2n－1，求證：eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an,an＋1)>eq\f(n,2)－eq\f(1,3).[證明]這個習題呈現(xiàn)的信息有2項：①an＝2n－1；②求證eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an,an＋1)>eq\f(n,2)－eq\f(1,3).信息②是一個不等式，根據(jù)熟悉結(jié)構(gòu)的解題經(jīng)驗(即尋舊)，由于兩邊都是關(guān)于n的代數(shù)式，兩邊都是遞增的，容易想到放縮法．于是可以采取以下信息處理法．由eq\f(an,an＋1)＝eq\f(2n－1,2n＋1－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2n＋2－2)，將信息②進行下游順推轉(zhuǎn)化為信息②1：求證eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,2k＋2－2)＜eq\f(1,3)，即轉(zhuǎn)化為信息②的充要條件；聯(lián)想一個公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，即eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＜eq\f(1,3)，將信息②1進行上游逆推轉(zhuǎn)化為②2：求證eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,2k＋2－2)≤eq\i\su(k＝1,n,)eq\f(1,3·2k)，即轉(zhuǎn)化為信息②1的充分條件；將信息②2進行上游逆推轉(zhuǎn)化為②3：求證eq\f(1,2n＋2－2)≤eq\f(1,3·2n)，即轉(zhuǎn)化為信息②2的充分條件；將信息②3向下順推轉(zhuǎn)化為②4：求證2n≥2(顯然成立)，即轉(zhuǎn)化為信息②3的充要條件．[反思領(lǐng)悟]顯然，此題的解答過程就是對信息②進行下游順推信息和上游逆推信息相結(jié)合的過程，特別是將信息②1向上逆推轉(zhuǎn)化為②2是解答此題的關(guān)鍵，這就是常說的“加強命題證明不等式”．數(shù)學習題解答過程的思維規(guī)律是尋舊，究竟如何尋舊？就是尋找問題信息和熟悉結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系．就是將問題的某項信息進行下游順推或上游逆推，以此尋找新信息．顯然，下游順推信息法和上游逆推信息法既是尋舊思維活動的兩種方向，也是數(shù)學習題解答的基本方法．值得一提的是：對問題的某些信息進行尋舊時，不是一次或幾次進行下游順推信息或上游逆推信息，可能是下游順推信息和上游逆推信息多次交互結(jié)合進行．一次次得到的新信息可能就是認知結(jié)構(gòu)中某一條線上的知識點，特別是難度較大的數(shù)學習題，也可能是多條線上的公共知識點．第三講解題的化歸目標——形變題變上一講提到解題的指導思想是“化歸尋舊”，但怎樣對題目進行化歸，化歸到什么形式？這就是本講所要解決的兩個重點問題——形變化歸與題變化歸．一、形變化歸在數(shù)學問題的解答過程中，把問題的某一項信息或一組信息進行形式上的加工處理，使這項信息或這組信息與我們認知結(jié)構(gòu)中(尤其是熟悉結(jié)構(gòu))的某項知識經(jīng)驗在形式上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計劃奠基鋪路．這種處理信息的操作規(guī)律我們稱為形變化歸．如恒等變形、因式分解、配方、裂項、添項、換元、分類、移圖、補形、數(shù)學語言化等解題方法都是形變化歸在解題實踐中的具體體現(xiàn)．從根本上說，這些解題手段沒有改變問題信息的實質(zhì)和內(nèi)容，只是使信息的表述形式發(fā)生了變化．[例1]在數(shù)列{an}中，已知a2＝15，an＋1＝2an＋3n(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．[解]當n＝1時，由已知，得a2＝2a1＋3，即15＝2a1＋3，解得a由an＋1＝2an＋3n，①兩邊同時除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝2×eq\f(an,3n＋1)＋eq\f(1,3)，即eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)×eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3).②設bn＝eq\f(an,3n)，則②式變?yōu)閎n＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3).③設bn＋1＋m＝eq\f(2,3)(bn＋m)，即bn＋1＝eq\f(2,3)bn－eq\f(m,3)，令－eq\f(m,3)＝eq\f(1,3)，解得m＝－1.則bn＋1－1＝eq\f(2,3)(bn－1)，④所以數(shù)列{bn－1}是一個首項為b1－1＝eq\f(a1,3)－1＝eq\f(6,3)－1＝1，公比為q＝eq\f(2,3)的等比數(shù)列，故bn－1＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，即bn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1.由bn＝eq\f(an,3n)，得an＝3nbn＝3neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1))＝3n＋3·2n－1(n∈N*)．⑤[反思領(lǐng)悟]此題解答中從①到②等式兩邊同除以3n＋1，從②到③是換元；從③到④是待定系數(shù)法；從④到⑤又是換元，這些恒等變形手段沒有改變問題信息的實質(zhì)，只是改變了信息的表述形式，但是，這種變形化歸手段使信息清晰化、簡單化，將一個復雜的遞推數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化為一個簡單的等比數(shù)列{bn－1}．[例2]已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.①[證明]eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＋\f(9,z)))(x＋y＋z)＝14＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(4x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x)＋\f(9x,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4z,y)＋\f(9y,z)))②≥14＋4＋6＋12＝36.[反思領(lǐng)悟]此題是一個條件極值問題，信息①：x，y，z∈R＋；信息②：x＋y＋z＝1；信息③：關(guān)于x，y，z的不等關(guān)系eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.通過添項和并項手段將式①變?yōu)槭舰?，問題在表述形式上發(fā)生了變化，雖然仍是一個條件極值問題，但解題思路已豁然開朗，這就是形變化歸的效果．二、題變化歸在數(shù)學習題的解答過程中，把數(shù)學問題的某一項信息或一組信息進行加工處理，使問題信息的形式得以更新，信息的內(nèi)涵得到挖掘和拓展，使這項信息或這組信息與我們熟知的某項知識經(jīng)驗在內(nèi)容上相近或相同，讓問題由陌生變得熟悉，便于解題者思考和聯(lián)想，為解題者擬訂解題計劃奠基鋪路．這種加工處理信息的操作規(guī)律我們稱為題變化歸，如構(gòu)造法、待定系數(shù)法、三角變換法、數(shù)形結(jié)合法、命題等價轉(zhuǎn)化等都是題變化歸．從本質(zhì)上說，這些解題手段不僅改變了問題信息的表述形式，而且改變了問題信息的實質(zhì)，使問題以新的形式和新的內(nèi)容呈現(xiàn)出來．[例3]已知x2＋y2＝1，則eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值為________．[解析]此題的信息有兩項，信息①：實數(shù)x,y的關(guān)系式為x2+y2=1；信息②：求eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值.eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),2)))2)＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2).(ⅰ)令P(x，y)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，原問題轉(zhuǎn)化為：點P是單位圓上的動點，A，B為單位圓上的定點，求|PA|＋2|PB|的最大值．(ⅱ)作出示意圖如圖所示，易知∠APB＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，由正弦定理將信息②進行形變化歸：eq\f(|PA|,sin120°－A)＝eq\f(|PB|,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)?|PA|＝2sin(120°－A)，|PB|＝2sinA，則|PA|＋2|PB|＝2sin(120°－A)＋4sinA＝5sinA＋eq\r(3)cosA＝2eq\r(7)sin(A＋φ)≤2eq\r(7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(\r(3),5)))，(ⅲ)所以|PA|＋2|PB|的最大值為2eq\r(7).[答案]2eq\r(7)[反思領(lǐng)悟]此題解答過程中首先利用信息①把信息②形變化歸為(ⅰ)，然后再將信息①和(ⅰ)結(jié)合，進行題變化歸得到(ⅱ)，將“求最值的代數(shù)問題”轉(zhuǎn)化為“求單位圓中的線段和的最值問題”；將(ⅱ)轉(zhuǎn)化為(ⅲ)也是題變化歸，將“求單位圓中的線段和問題”轉(zhuǎn)化為“一個三角函數(shù)最值問題”．此題進行一系列題變化歸，使解題策略由茫然到朦朧，由朦朧到清晰，最后豁然開朗．[例4]已知實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數(shù)根，求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實數(shù)k的最大值．[解]此題的信息有兩項，信息①：實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數(shù)根;信息②:求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的實數(shù)k的最大值.令原方程的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).(ⅰ)k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－\f(c,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1))2＝(1＋x1＋x2)2＋(x1＋x2＋x1x2)2＋(x1x2－1)2＝2(xeq\o\al(2,1)＋x1＋1)(xeq\o\al(2,2)＋x2＋1)(ⅱ)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))≥eq\f(9,8).(ⅲ)故實數(shù)k的最大值為eq\f(9,8).[反思領(lǐng)悟]該解法將信息①化為(ⅰ)是形變化歸，信息②化為(ⅱ)既是形變化歸，也是題變化歸，將原問題轉(zhuǎn)化為“兩個二次函數(shù)的最值問題”；從(ⅱ)到(ⅲ)是形變化歸．顯然，該解法的過程，既是一系列形變化歸的過程，也是題變化歸的過程．而且形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，題變化歸是形變化歸的目的和歸宿．綜上所述，我們可以看出：(1)形變化歸和題變化歸在解題過程中并非流星一閃，而是多次反復出現(xiàn)在解題過程中．(2)形變化歸和題變化歸不是孤立地表現(xiàn)在解題的過程中，而是常常結(jié)伴而行．(3)形變化歸和題變化歸聯(lián)系緊密，形變化歸是基礎(chǔ)，題變化歸是結(jié)果，題變化歸離不開形變化歸．(4)形變化歸是題變化歸的基礎(chǔ)，也是化歸思想的基礎(chǔ)，更是問題解決的基礎(chǔ)．第四講解題的化歸原則——清晰熟悉一、清晰原則，淘盡泥沙見真金問題是呈現(xiàn)給解題者的感性材料，可能是一種粗糙的、模糊的信息材料，這些材料在表達上具有非直觀形象化、非數(shù)學語言化，在內(nèi)容上具有隱蔽性、復雜性的特點，容易給解題者感知和思維活動造成障礙．解題者面對這些粗糙的、模糊的信息材料，需要利用自己的認知經(jīng)驗對信息的表現(xiàn)形式和內(nèi)容進行轉(zhuǎn)化，使信息呈現(xiàn)出清晰的感性材料，這種加工處理信息的原則我們稱為清晰原則．信息材料通過清晰后，更適合解題者認知活動的心理需求，可以加速神經(jīng)系統(tǒng)的傳導，有利于新信息與認知結(jié)構(gòu)的鏈接．常見的清晰手段有：①數(shù)學語言化：將問題信息用數(shù)學語言進行表達，便于運用數(shù)學方法來解決；②數(shù)形結(jié)合：將問題的信息用數(shù)形結(jié)合的方法進行描述，使信息表述得更詳盡、更直觀；③形變化歸：將復雜的信息進行形變化歸，使復雜信息的內(nèi)涵得到徹底挖掘和展示．[例1]調(diào)查某個高中畢業(yè)班學生的升學報考志愿情況，得到如下結(jié)果：(1)報考A大學的學生不報考B大學；(2)報考B大學的學生也報考D大學；(3)報考C大學的學生不報考D大學；(4)不報考C大學的學生報考B大學．根據(jù)上述結(jié)果，某人得出下述結(jié)論：①報考D大學的學生也報考A大學．②沒有既報考B大學又報考C大學的學生．③有既報考C大學又報考D大學的學生．④報考B大學的學生數(shù)和報考D大學的學生數(shù)相同．⑤報考A大學的學生也報考C大學．這些結(jié)論中正確的是()A．①②③ B．②④⑤C．①②④ D．③④⑤[解析]此題信息繁多，讓人感到有點云里霧里，雖然每項信息的含義簡單明白，毫不隱蔽，人人都會用邏輯推理的方法去探求解答方案，但推理過程容易混亂且不便于表述，對問題產(chǎn)生排斥心理．對此，我們先將各項信息進行數(shù)學語言易化處理，使問題的信息清晰直白，以觀其變．用x表示高中畢業(yè)班學生，“∈”表示報考，“?”表示不報考．此時調(diào)查結(jié)果可以改寫為：(1)x∈A?x?B，再由原命題與逆否命題等價可知x∈B?x?A.(2)x∈B?x∈D等價轉(zhuǎn)化為x?D?x?B.(3)x∈C?x?D等價轉(zhuǎn)化為x∈D?x?C.(4)x?C?x∈B等價轉(zhuǎn)化為x?B?x∈C.這樣處理后，問題的各項信息已經(jīng)簡潔明了．我們對問題新信息感到親切、熟悉．下面對5條結(jié)論信息也進行數(shù)學語言化處理，再結(jié)合條件信息進行推理：考查①：x∈D?x?C?x∈B?x?A，則①不正確．考查②：x∈B?x∈D?x?C，則②正確．考查③：x∈C?x?D，則③不正確．考查④：x∈B?x∈D，x∈D?x?C?x∈B，則④正確．考查⑤：x∈A?x?B?x∈C，則⑤正確．所以，答案B正確．[答案]B[反思領(lǐng)悟]從此題的解答過程可以看出，對信息的數(shù)學語言化處理，使信息清晰明了，是成功解答此題的關(guān)鍵．[例2]設0＜b＜1＋a，若關(guān)于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個整數(shù)，求a的取值范圍．[解]此題中的(x－b)2>(ax)2是一個熟悉的二次不等式，但這個不等式的解集中恰有3個整數(shù)的條件是什么含義？我們首先對這一信息進行清晰化——形變化歸．因為(x－b)2>(ax)2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,a＋1)))[(a－1)x＋b]＜0.①當a≤1時，不等式的解集中有無窮多個整數(shù)，不合題意．②當a>1時，不等式的解為eq\f(b,1－a)＜x＜eq\f(b,a＋1).因為0＜b＜1＋a，所以0＜eq\f(b,a＋1)＜1.要使解集中恰有3個整數(shù)，則－3≤eq\f(b,1－a)＜－2?3(a－1)≥b>2(a－1)．通過信息清晰后，問題轉(zhuǎn)化為已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜b＜1＋a，,2a－1＜b≤3a－1，,a>1，))求a的取值范圍．如圖，作出不等式組表示的可行域，容易得到1＜a＜3.綜上，a的取值范圍為(1,3)．[反思領(lǐng)悟]此題本是一個二次不等式問題，很多學生都考慮用不等式放縮法進行解答，又擔心擴大了a的范圍，即使得到1＜a＜3，也不敢堅信一定正確．我們對“(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個整數(shù)”這一信息進行清晰，得到新信息“a>1且3(a－1)≥b>2(a－1)”，不僅順利地將原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，而且還可以堅信答案是正確的．二、熟悉原則，尋找曾經(jīng)走過的路在加工處理信息的過程中，利用我們的認知經(jīng)驗對問題信息的表述形式或內(nèi)容進行處理，轉(zhuǎn)化為我們認知結(jié)構(gòu)中熟悉的信息材料，這種處理信息的原則就是熟悉原則．熟悉原則可分為兩種：第一種是熟悉知識原則，就是把不熟悉的知識和問題轉(zhuǎn)化為教材上或大家熟知的知識和問題．第二種是熟悉經(jīng)驗原則，就是把不熟悉的知識和問題轉(zhuǎn)化為解題者曾經(jīng)解答過的問題．[例3]設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝x2，若對任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．[解]由于f(x)是定義在R上的函數(shù)，現(xiàn)在只知道x≥0時的函數(shù)表達式．首先對問題信息進行清晰，利用奇函數(shù)求出x＜0時的函數(shù)表達式，進一步得到f(x)在R上的函數(shù)表達式f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x＜0，))利用數(shù)形結(jié)合再對函數(shù)進行信息清晰，可以發(fā)現(xiàn)f(x)在R上單調(diào)遞增，如圖所示．我們知道當f(x)在R上單調(diào)遞增，f(m)≥f(n)的充分必要條件是m≥n.現(xiàn)在問題信息f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)與認知經(jīng)驗f(m)≥f(n)在形式上存在差異，如果能把eq\f(1,4)去掉，將不等式f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)化為f(m)≥f(n)的形式，問題有可能得到解決，這是熟悉經(jīng)驗原則．觀察f(x)表達式的結(jié)構(gòu)，容易發(fā)現(xiàn)eq\f(1,4)f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))，于是原問題可以轉(zhuǎn)化為：已知f(x)在R上單調(diào)遞增，對任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)))恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．于是可得對任意x∈[a，a＋2]，不等式x＋a≥eq\f(x＋1,2)恒成立．即對x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a所以a≥1－2a，所以a≥eq\f(1,3).即實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).[反思領(lǐng)悟]上述解答最關(guān)鍵的一步是熟悉經(jīng)驗的運用，將f(x＋a)≥eq\f(1,4)f(x＋1)化為f(x＋a)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)))，進一步化為“對x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立”，使問題化難為易，化陌生為熟悉，就可以順利地用熟悉性知識解答．[例4]在平面直角坐標系中，點集M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5sinα＋12cosβ，,y＝5cosα＋12sinβ，))α，β∈R))，點P是點集M內(nèi)的點，設A(－2，1)，B(8，－9)，則|PA|2＋|PB|2的最小值為________．[解析]由于問題中點集M的元素是坐標形式，而結(jié)論信息不是坐標形式，我們將結(jié)論信息用坐標表示，這樣，條件和結(jié)論信息的表達形式保持一致，這就是熟悉知識原則的應用．令P(x，y)，可得|PA|2＋|PB|2＝2x2＋2y2＋16y－12x＋150.①式①類似我們熟悉的圓方程的左邊，運用熟悉知識原則，可以將上述式子進行配方，可得|PA|2＋|PB|2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x－32＋y＋42)))2＋100.②觀察式②的結(jié)構(gòu)，用熟悉知識原則，eq\r(x－32＋y＋42)表示點P到N(3，－4)的距離．所以，問題可以轉(zhuǎn)化為求|PN|的最小值．再用熟悉經(jīng)驗原則，要求|PN|的最小值，只需求出點集M表示的幾何圖形，然后利用數(shù)形結(jié)合就可以順利解答．又用熟悉經(jīng)驗原則，要求點集M表示的幾何圖形，只需消去參數(shù)即可．于是：x2＋y2＝169＋120sin(α＋β)?49≤x2＋y2≤289.所以，點集M表示的幾何圖形是以O為圓心，半徑由7變到17的一個圓環(huán)，如圖所示．因為|PN|min＝7－eq\r(32＋42)＝2，所以|PA|2＋|PB|2＝2|PN|2＋100≥108.所以|PA|2＋|PB|2的最小值為108.[答案]108第五講解題的必備積淀——把根留住許多考生雖然做了大量的習題，但遇到類似的題目仍不知所措，“這道題我好像做過，但還是做不出來”是學生普遍反映的現(xiàn)象；“這道題，我上課講過的，學生怎么還是不會”，這是一線教師的口頭禪；學生平時解題也知道要進行化歸，但總找不到歸根何處．這就是平時只顧埋頭做題，不注重歸納領(lǐng)悟而造成的高耗低能現(xiàn)象．為什么會有這樣的偏差？什么是數(shù)學的“根”？如何把“根”留?。扛呖紨?shù)學題既考查學生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度，又考查對數(shù)學思想方法、數(shù)學本質(zhì)的理解水平．如果學習中僅就題論題，對問題的理解只停留在知識、方法表象層次上，而沒有體會到問題背后的“根”，那么做再多的習題，也只是事倍功半.它應該是數(shù)學最本質(zhì)的東西，是數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學規(guī)律的形成過程、數(shù)學思想方法的提煉、數(shù)學核心價值的理解、數(shù)學理性精神(依靠思維能力對感性材料進行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理)的體驗等.可通過研究問題的變式，留住知識之“根”；通過優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”．只有這樣，高考數(shù)學的復習才能強“根”固本，枝繁葉茂.一、研究問題的變式，留住知識之“根”一題多變，總結(jié)規(guī)律．可培養(yǎng)思維的探索性和深刻性，通過對變式問題的研究，可以解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開拓解題思路．在分析解決問題的過程中，既構(gòu)建知識橫向聯(lián)系，又養(yǎng)成多角度思考問題的習慣．[例1]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點P為線段BC的中點，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.[解析]因為點P為線段BC的中點，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，又因為eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝eq\f(1,2)(52－32)＝8.[答案]8[變式1]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若點P為△ABC的外心，則eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.[解析]取BC的中點D，連接AD，PD，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→)).因為點P為△ABC的外心，點D為線段BC的中點，所以eq\o(DP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，則eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0.于是eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝8.[答案]8[變式2]在△ABC中，AB＝m，AC＝n，D為BC的中點．若點P為線段BC垂直平分線上的任意一點，求證：eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(n2－m2)．[證明]由題意，可得eq\o(DP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，從而eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→)))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→)).又因為eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))2)＝eq\f(1,2)(n2－m2)．[反思領(lǐng)悟]以平面幾何圖形作為命題背景的向量數(shù)量積問題是高考命題的常見題型．平面向量的數(shù)量積運算，有兩種體系，一是數(shù)量積的幾何運算，二是向量數(shù)量積的坐標運算．對于三角形中相關(guān)線段構(gòu)成的向量數(shù)量積計算問題，其中三角形中線的向量表示、向量加減法的三角形法則是求解這類問題的突破口．二、優(yōu)化問題的解法，留住方法之“根”一題多解，觸類旁通．培養(yǎng)發(fā)散思維能力，培養(yǎng)思維的靈活性．一題多解的實質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結(jié)論的必然本質(zhì)聯(lián)系．從各種途徑，用多種方法思考問題，可開拓解題思路，掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并從多種解法的對比中選出最佳解法，總結(jié)解題規(guī)律，使分析問題、解決問題的能力提高．[例2]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則()A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9 D．c>9[解析]法一：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，,－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－7＋3a－b＝0，,19－5a＋b＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝11.))則f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而0＜f(－1)≤3，故0＜－6＋c≤3，所以6＜c≤9，故選C.法二：設f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝k，則0＜k≤3.設f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋k，則c＝k＋6，所以6＜c≤9，故選C.法三：由題意，f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋c－6，得0＜c－6≤3，所以6＜c≤9，故選C.法四：取f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝3，則c＝9，故選C.[答案]C[反思領(lǐng)悟]法一直接利用已知條件求出系數(shù)a，b，代入后求解不等式，為常規(guī)解法，運算量較大；法四為特殊值法，有一定的偶然性，較之法一簡潔，是一種行之有效的解決選擇題的方法，此處也可取f(－1)＝1等值；法二、三則蘊含了函數(shù)的零點與解析式之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，是問題解決的基本方法，并可將問題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為類似的更高次數(shù)的函數(shù)問題．數(shù)學是一門工具性學科，它研究的是空間形式與數(shù)量的關(guān)系，數(shù)學的本性是“智慧”，是“人的思維”．數(shù)學教學的本質(zhì)是思維過程的引導、啟發(fā)．因此，做數(shù)學題要從根本處抓起，通過研究問題的變式，優(yōu)化解題的方法等方式，跳出無邊無際的“書山題海”，通過對解題過程的“反芻”，留住知識之“根”、方法之“根”．只有從“根”處澆灌知識之營養(yǎng)，數(shù)學之“花”才能燦爛綻放．第一章集合與常用邏輯用語全國卷eq\a\vs4\al(5)年考情圖解高考命題規(guī)律把握說明：“Ⅰ1”指全國Ⅰ卷第1題，“Ⅱ1”指全國Ⅱ卷第1題，“Ⅲ1”指全國Ⅲ卷第1題.1.本章在高考中一般考查1或2個小題，主要以選擇題為主，很少以填空題的形式出現(xiàn)．2.從考查內(nèi)容來看，集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特征；二是集合間的關(guān)系；三是集合的運算，包含集合的交、并、補集運算；常用邏輯用語主要從四個方面考查：分別為命題及其關(guān)系、充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”以及全稱量詞與存在量詞．3.本章一般不涉及解答題，在知識的交匯上集合往往以函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集，曲線的點集為載體進行考查；常用邏輯用語以函數(shù)方程、不等式、復數(shù)、三角、向量、點線面的位置關(guān)系為載體，主要考查命題真假判斷、充要條件及特(全)稱命題，難度不大且考查頻率較低.第一節(jié)集__合1．集合的相關(guān)概念(1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性?.(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(4)五個特定的集合：集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言記法基本關(guān)系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A?x∈Beq\o(A?B或B?A,\s\do4(?))真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于AA?B，且?x0∈B，x0?AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A?B，B?AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集?x，x??，??A，?B(B≠?)eq\o(\a\vs4\al(?),\s\do4(?))3．集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA?圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}元素互異性，即集合中不可能出現(xiàn)相同的元素．此性質(zhì)常用于題目中對參數(shù)的取舍．任何集合是其自身的子集．(1)注意?，{0}和{?}的區(qū)別：?是集合，不含任何元素；{0}含有一個元素0；{?}含有一個元素?，且?∈{?}和??{?}都正確．(2)在涉及集合之間的關(guān)系時，若未指明集合非空，則要考慮空集的可能性，如若A?B，則要考慮A＝?和A≠?兩種可能.(1)求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件．從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構(gòu)成的集合即為?UA.(2)補集?UA是針對給定的集合A和U(A?U)相對而言的一個概念，一個確定的集合A，對于不同的集合U，它的補集不同.[熟記常用結(jié)論]1．A?B，B?C?A?C；AB，BC?AC.2．含有n個元素的集合A＝{a1，a2，…，an}有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集．3．A∪?＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A?(A∪B)，B?(A∪B)．4．A∩?＝?，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B.5．A∩B＝A∪B?A＝B.6．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?(?UA)?(?UB)?A∩(?UB)＝?.7．(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．8．A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?AA＝?，?A?＝A.[小題查驗基礎(chǔ)]一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)任何一個集合都至少有兩個子集．()(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、選填題1．設集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中元素的個數(shù)是()A．3B．4C．5D．6解析：選CA中包含的整數(shù)元素有－2，－1,0,1,2，共5個，所以A∩Z中的元素個數(shù)為5.2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是()A．－3∈A B．3?BC．A∩B＝B D．A∪B＝B解析：選C由題意知A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}＝B.3．設全集U＝{1,2,3,4}，集合S＝{1,3}，T＝{4}，則(?US)∪T＝()A．{2,4} B．{4}C．? D．{1,3,4}解析：選A由補集的定義，得?US＝{2,4}，從而(?US)∪T＝{2,4}，故選A.4．集合{－1,0,1}共有________個子集．解析：因為集合有3個元素，所以集合共有23＝8個子集．答案：85．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3,2).當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合元素的互異性可知不滿足題意；當m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)考點一[基礎(chǔ)自學過關(guān)]集合的含義及表示[題組練透]1．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4解析：選A法一：將滿足x2＋y2≤3的整數(shù)x，y全部列舉出來，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9個．故選A.法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合A的元素個數(shù)，故選A.2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析：選D當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).3．設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：選C因為{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，則eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.4．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若集合A中至少有3個元素，則k的取值范圍為()A．(8，＋∞) B．[8，＋∞)C．(16，＋∞) D．[16，＋∞)解析：選C因為集合A中至少有3個元素，所以log2k>4，所以k>24＝16，故選C.[名師微點]與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合．(2)集合元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．考點二[師生共研過關(guān)]集合的基本關(guān)系[典例精析](1)設P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則()A．P?Q B．Q?PC．?RP?Q D．Q??RP(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m[解析](1)因為P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以?RP＝{y|y>1}，所以?RP?Q，故選C.(2)∵B?A，∴①若B＝?，則2m－1＜m＋1，此時m②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．[答案](1)C(2)(－∞，3]eq\a\vs4\al([變式發(fā)散])1．(變條件)在本例(2)中，若“B?A”變?yōu)椤癇A”，其他條件不變，如何求解？解：∵BA，∴①若B＝?，成立，此時m＜2.②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1＜5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1>－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得m的取值范圍為(－∞，3]．2．(變條件)在本例(2)中，若“B?A”變?yōu)椤癆?B”，其他條件不變，如何求解？解：若A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3.))所以m的取值范圍為?.[解題技法]1．集合間基本關(guān)系的2種判定方法和1個關(guān)鍵兩種方法(1)化簡集合，從表達式中尋找兩集合的關(guān)系；(2)用列舉法(或圖示法等)表示各個集合，從元素(或圖形)中尋找關(guān)系一個關(guān)鍵關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系，包括相等和真子集兩種關(guān)系2．根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進行分類討論，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解，此時注意集合中元素的互異性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解，此時需注意端點值能否取到．[過關(guān)訓練]1．設M為非空的數(shù)集，M?{1,2,3}，且M中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有()A．6個 B．5個C．4個 D．3個解析：選A由題意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為________．解析：①若B＝?，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.②若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意；③若2∈B，則22＋2m解得m＝－eq\f(5,2)，此時B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合題意．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．答案：[－2,2)考點三[師生共研過關(guān)]集合的基本運算[典例精析](1)(2018·天津高考)設集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0，2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}