2022-2023學年江蘇省南通市高一年級下冊學期6月期末數學試題【含答案】

2022-2023學年江蘇省南通市高一下學期6月期末數學試題一、單選題1．復數的實部為（

）A． B． C．-1 D．1【答案】A【分析】先利用復數的除法運算化簡復數，再利用復數的概念求解.【詳解】因為復數，所以復數的實部為.故選：A2．設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據集合的交并補運算即可求解.【詳解】,,,,故選:C3．在邊長為3的正方形中，，則（

）A．-5 B．5 C．15 D．25【答案】C【分析】根據向量數量積運算、向量線性運算求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，又，所以.故選：C.4．在中，角、、的對邊分別為、、．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理結合余弦定理可求得的值.【詳解】因為，由正弦定理可得，設，則，，由余弦定理可得.故選：D.5．函數的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函數的單調性，結合零點存在定理可得出結論.【詳解】因為函數、均為上的增函數，故函數為上的增函數，因為，，由零點存在定理可知，函數的零點所在區(qū)間是.故選：B.6．已知是兩條不同的直線，且平面，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件、必要條件的定義結合空間中線面關系即可得出選項.【詳解】若，且平面，則，所以“”是“”的充分條件，若，平面，則，平面，或者與相交（包括），所以“”不是“”的必要條件，綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A7．一組樣本數據的平均數為，標準差為3.另一組樣本數據的平均數為，標準差為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據平均數、方差公式判斷數據添加平均數后新的平均數、標準差變化情況即可.【詳解】因為，所以，所以，，，所以，解得，所以.故選：B8．某船在海面上航行至處，測得山頂位于其正西方向且仰角為，該船繼續(xù)沿南偏東的方向航行5百米至處，測得山頂的仰角為，則該山頂高于海面（

）A．百米 B．百米 C．百米 D．百米【答案】B【分析】設山頂高于海面的距離為，利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：

設山頂高于海面的距離為，由題意，，，所以，在中，，，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），所以該山頂高于海面百米.故選：B二、多選題9．在中，為邊的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用平面向量的線性運算逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對.故選：BCD.10．關于函數，下列說法正確的是（

）A．最小正周期為 B．C．圖象關于點對稱 D．在上的最大值為1【答案】ACD【分析】根據給定條件，利用正弦函數的圖象性質，逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，的最小正周期，故選項A正確；對于B，，故選項B錯誤；對于C，令，則，所以的對稱中心為，當時，函數的圖象關于點對稱，故選項C正確；對于D，因為，所以，當即時，函數取最大值1，故選項D正確；故選：ACD.11．同時拋擲兩枚硬幣，記“出現兩個正面”為事件，“出現兩個反面”為事件，則（

）A．為必然事件 B．為不可能事件C．與為互斥事件 D．與為獨立事件【答案】BC【分析】根據實驗的所有結果，判斷事件與事件的關系.【詳解】同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣結果有：正正，正反，反正，反反，共4個基本事件，不是必然事件，A選項錯誤；事件與事件不能同時發(fā)生，為不可能事件，與為互斥事件，與不是獨立事件，B選項正確，C選項正確，D選項錯誤；故選：BC12．如圖，在底面為平行四邊形的直四棱柱中，，，、分別為棱、的中點，則（

）

A．B．與平面所成角的余弦值為C．三棱柱的外接球的表面積為D．點到平面的距離為【答案】ACD【分析】證明出，再結合可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；求出的外接圓直徑，可求得三棱柱的外接球的直徑為，結合球體的表面積公式可判斷C選項；利用等體積法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，連接、，

因為四邊形為平行四邊形，且，則為菱形，因為，則，且，故為等邊三角形，因為為的中點，則，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，，故，A對；對于B選項，過點在平面內作，垂足為點，連接，

因為平面，平面，則，因為，，、平面，則平面，所以，與平面所成角為，因為四邊形是邊長為的菱形，且，則，故，由余弦定理可得，因為，則，因為平面，平面，則，所以，，因為平面，平面，則，所以，，所以，，即與平面所成角的余弦值為，B錯；對于C選項，如下圖所示：

圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.且有，可將直三棱柱置于圓柱內，使得、的外接圓分別為圓、圓，如下圖所示：

因為，，則為等邊三角形，故圓的直徑為，所以，三棱柱的外接球的直徑為，所以，三棱柱的外接球的表面積為，C對；對于D選項，連接、，如下圖所示：

因為平面，平面，則，又因為且，則四邊形為矩形，所以，，因為，平面，平面，則平面，所以，點到平面的距離等于，因為點為的中點，則點到平面的距離為，所以，，因為四邊形為矩形，則，因為，，則，同理，在中，，，，由余弦定理可得，因為平面，平面，則，所以，，所以，，則，所以，，設點到平面的距離為，由，得，所以，，即點到平面的距離為，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.三、填空題13．某學生8次素養(yǎng)測試的成績統(tǒng)計如下：，則該組數據的第80百分位數為．【答案】92【分析】根據百分位數的計算即可求解.【詳解】由于,所以該組數據的第80百分位數為第七個數.故答案為：9214．已知一圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為.【答案】/【分析】依次求圓錐底面周長、底面半徑、高，由體積公式即可求.【詳解】由題意，圓錐底面周長為，故圓錐底面半徑，圓錐高，故圓錐的體積為.故答案為：15．滿足，的一個復數．【答案】（或中的一個，答案不唯一）【分析】設，根據可得出或，分、兩種情況討論，結合復數的模長公式可求得復數的值.【詳解】設，則，因為，則，即或.當時，即，由，解得或，此時，或；當時，即，由，解得，此時，.綜上所述，或.故答案為：（或中的一個，答案不唯一）16．在中，角的對邊分別為為的中點，，則的周長為．【答案】【分析】根據給定條件，利用余弦定理建立方程，即可求解作答.【詳解】在中，，由余弦定理得，即，整理得，在中，，由余弦定理得，相加整理得，即，因此，解得，所以的周長為.故答案為：四、解答題17．某種經濟樹木根據其底部周長的不同售價有所差異，底部周長在為三類樹，底部周長在為二類樹，底部周長大于或等于為一類樹．為了解一大片該經濟林的生長情況，隨機測量其中100株樹木的底部周長（單位：），數據均落在之間，按照分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計該片經濟林中二類樹約占多少；(2)將同組中的每個數據都用該組區(qū)間中點的數值代替，試估計該經濟林中樹木的平均底部周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據頻率之和為1即可求解，即可求解二類樹的頻率，（2）根據頻率分布直方圖中平均數的計算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，所以，解得．因為底部周長在為二類樹，所以由圖可得，．答：該片經濟林中二類樹木約占．（2）由題意可得，答：估計該經濟林中樹木的平均底部周長為．18．如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點．

(1)證明：∥平面；(2)證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由三角形中位線定理可得∥，再由線面平行的判定定理可證得結論；（2）由（1）知∥，而，則有，再由已知的線面垂直可得，則由線面垂直的判定定理可得平面，從而利用面面垂直的判定定理可證得結論.【詳解】（1）證明：在中，因為分別為的中點，所以∥．又因為平面平面，所以∥平面．（2）證明：由（1）可知∥，又因為，所以．因為平面平面，所以．又因為平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．19．已知向量，函數.(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據向量數量積的坐標表示函數，然后對函數進行降冪化簡，代入正弦函數的單調增區(qū)間求解；（2）先求，然后結合角的范圍及同角關系求得，然后利用兩角差的正弦公式化簡計算即可.【詳解】（1），由，解得，所以的單調遞增區(qū)間是.（2），因為，所以，所以，所以.20．某校知識競賽分初賽?復賽兩輪.某班從甲?乙兩名學生中選拔一人參加學校知識競賽（初賽），抽取了兩人6次模擬測試的成績，統(tǒng)計結果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲的成績（分）10090120130105115乙的成績（分）9512511095100135(1)試根據以上數據比較兩名同學的水平，并確定參加初賽的對象；(2)初賽要求如下：參賽者從5道試題中隨機抽取3道作答，至少答對2道方可進入復賽.若某參賽者會5道中的3道，求該參賽者能進入復賽的概率.【答案】(1)甲?乙的平均分相同，但甲的成績比乙穩(wěn)定；選甲參加知識競賽較合適(2)【分析】（1）根據表格數據計算平均數和方差，比較即可確定人選；（2）列舉總的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概率概率計算公式即可求解.【詳解】（1）由題意可得，，，，，所以，，所以甲?乙的平均分相同，但甲的成績比乙穩(wěn)定，故選甲參加知識競賽較合適.（2）在5道題中，參賽者會答的3道題分別記為，另外2道不會答的題分別記為，記“參賽者進入復賽”為事件，參賽者從5道題中抽3道題的結果有，，，共10種.進入復賽，即至少答對2道的情況有，，共7種.所以參賽者進入復賽的概率為.21．在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若，點在邊上，連接并延長至點，且．求面積的最大值及此時點的位置．【答案】(1)(2)最大值為；點在邊上靠近的三等分點【分析】（1）由正弦定理邊角互化以及輔助角公式，即可結合三角函數的性質求解，（1）根據正弦定理求解，進而由余弦定理以及面積公式，結合基本不等式即可求解最值，進而根據邊角大小，求解的長度，即可確定位置.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得．因為，所以．因為，所以，故，則,因為，所以，則,因此（2）在中，，由（1）知．在中，由正弦定理得．因為，所以，所以．在中，因為，所以．設．在中，由余弦定理，得．因為，所以，所以，當且僅當時等號成立．所以面積的最大值為．在中，因為，所以．在中，因為，所以．在Rt中，，所以點在邊上靠近的三等分點．

22．如圖，在四棱臺中，∥側面，為的中點，為棱上的點，∥平面．

(1)證明：平面∥平面；(2)求；(3)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由已知條件可證得四邊形是平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定可得∥平面，而∥平面，所以由面面平行的判定定理可證得結論；（2）由面面平行的性質可得∥，則得四邊形是平行四邊形，從而可求出；（3）在梯形中，過點作的垂線，垂足為，連接，則可得∥∥，可證得平面，則二面角的平面角是，然后在中求解即可.【詳解】（1）在四棱臺中，因為，所以，所以．又因為為的中點，所以．四棱臺中，∥，所以四邊形是平行四邊形，所以∥．又平面平面，所以∥平面．又因為∥平面平面平面，所以平面∥平面，（2）由（1）知平面∥平面，又因為平面平面，平面平面，所以∥，又因為∥，所以四