2022-2023學(xué)年江西省吉安市高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省吉安市高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．曲線在點處的切線斜率是A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令求得切線的斜率.【詳解】依題意，當(dāng)時，.故選A.【點睛】本小題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查曲線上某點切線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題.2．4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】D【詳解】試題分析：每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有兩種：一種是一家企業(yè)錄用一名，種；一種是其中有一家企業(yè)錄用兩名大學(xué)生，種，∴一共有種，故選D【解析】排列組合問題.3．已知數(shù)列的前項和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】由得：，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，.故選：C.4．已知數(shù)列是遞減數(shù)列，且對任意的正整數(shù)，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得，即對任意的正整數(shù)恒成立，由此可求得的范圍．【詳解】∵數(shù)列是遞減數(shù)列，且對任意的正整數(shù)，恒成立，∴對任意的正整數(shù)恒成立，∴，即對任意的正整數(shù)恒成立，∴，即．故選：D．5．有一個奇數(shù)列1，3，5，7，9，…，現(xiàn)進行如下分組：第1組為，第2組為；第3組為；…試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與該組的編號數(shù)n的關(guān)系為A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，觀察規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和與其組的編號數(shù)之間的關(guān)系.【詳解】由題意可得，第一組數(shù)字之和為；第二組數(shù)字之和為；第三組數(shù)字之和為，依次類推，按照規(guī)律，歸納可得，第組數(shù)字之和為，故選B.【點睛】本題主要考查了歸納推理，對于合情推理主要包括歸納推理和類比推理.數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).6．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，下列為真命題的序號為（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】由，，可得，即，，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的運算可求解.【詳解】由，可得，即，，故可得等差數(shù)列的公差，選項③正確；把已知的兩式相加可得整理可得結(jié)合上面的判斷可知故有，，故選項②正確；由于，，則，故選項①錯誤；由公差可得，結(jié)合等差數(shù)列的列的性質(zhì)，可得，從而可得，故，即選項④錯誤．故選：B．7．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致如下圖，則可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對其求導(dǎo)之后，由導(dǎo)函數(shù)的奇偶性排除CD，再由選項B中該函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)判定其一階導(dǎo)函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞增，即可判定答案.【詳解】由圖可知，的導(dǎo)函數(shù)是一個奇函數(shù)，其中選項CD的導(dǎo)函數(shù)分別為，其，都為非奇非偶函數(shù)，即可排除C,D，其中選項B的其中在顯然在上單調(diào)遞增，與圖象不符，錯誤，故選：A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，還考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)奇偶性的幾何意義，屬于簡單題.8．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，由得，令，，用導(dǎo)數(shù)的方法求出其最值，分別假設(shè)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，求出參數(shù)范圍，即可求出不單調(diào)時的參數(shù)范圍.【詳解】因為，所以，由得，令，，則，

由得或；由得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；又，，所以，①若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以只需；②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，只需，又因為函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以只需.故選：C.【點睛】本題主要考查由函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的問題，靈活運用導(dǎo)數(shù)的方法求解即可，屬于?？碱}型.二、多選題9．已知雙曲線，且p，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列，則（

）A．C的實軸長為4B．C的離心率為C．C的焦點到漸近線的距離為D．過焦點與C相交所得弦長為4的直線有3條【答案】AC【分析】根據(jù)等比數(shù)列求出雙曲線的方程，結(jié)合選項逐一判斷，A,B通過方程可得正誤，C通過點線距可得正誤，通過最短弦長和對稱性可得D的正誤.【詳解】因為p，q，r依次成公比為2的等比數(shù)列，所以，，即，．所以C的方程可化為，則，，即，．對于A，C的實軸長為4，故A正確；對于B，離心率為，故B錯誤；對于C，不妨設(shè)焦點坐標(biāo)為，一條漸近線的方程為，則焦點到漸近線的距離為，故C正確；對于D，交于同一支時弦長最小值為，交于兩支時弦長最小值為．根據(jù)對稱性可知過焦點與C相交所得弦長為4的直線有5條，故D錯誤．故選：AC.10．如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點，點P為線段上的動點，設(shè)，則（

）A．當(dāng)時，EP//平面 B．當(dāng)時，取得最小值，其值為C．的最小值為 D．當(dāng)平面CEP時，【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用兩點間距離公式計算判斷BC；確定直線與平面CEP交點的位置判斷D作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點，對于A，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯誤；對于B，，則，因此當(dāng)時，取得最小值，B正確；對于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，取的中點，連接，如圖，因為E為邊AD的中點，則，當(dāng)平面CEP時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點之間線段最短解決是關(guān)鍵.11．已知分別為橢圓和雙曲線的公共左，右焦點，（在第一象限）為它們的一個交點，且，直線與雙曲線交于另一點，若，則下列說法正確的是（

）A．的周長為 B．雙曲線的離心率為C．橢圓的離心率為 D．【答案】BCD【分析】設(shè)，則，由雙曲線定義得，，再由余弦定理得，然后由橢圓定義得，利用余弦定理求得，再求三角形周長，求出橢圓、雙曲線的離心率，從而判斷各選項．【詳解】設(shè)，則，，，中由余弦定理，得，化簡得，，D正確；又，所以，又，的周長為，A錯誤；中，，由余弦定理得，所以，因此雙曲線的離心率為，B正確；橢圓的離心率為，C正確，故選：BCD．12．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．在上是增函數(shù)B．存在唯一極小值點C．在上有一個零點D．在上有兩個零點【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)求得與，再根據(jù)在恒成立，確定在上單調(diào)遞增，及，且存在唯一實數(shù)，使，從而判斷A，B選項正確；再據(jù)此判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷零點個數(shù).【詳解】由已知得，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又時，且存在唯一實數(shù)，使，即，所以在上是增函數(shù)，且存在唯一極小值點，故A,B選項正確.且在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，，，所以在上有兩個零點，故D選項正確，C選項錯誤.故選：ABD.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、填空題13．已知正整數(shù)數(shù)列滿足,則當(dāng)時，.【答案】4【分析】根據(jù)遞推式求出數(shù)列的前幾項，歸納出數(shù)列從第二項起是周期數(shù)列，從而可得結(jié)論．【詳解】由題意，，，，，，…，數(shù)列從第二項起是周期數(shù)列，周期為3，所以．故答案為：4．14．已知過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，，則．【答案】【解析】根據(jù)拋物線方程可求得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)點，根據(jù)韋達定理可求得的值，又根據(jù)拋物線定義可知，代入可得其值為，再由，即可得到.【詳解】由題意知焦點，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過點的直線為，代入拋物線方程，得，化簡后為：，設(shè)，則有，根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，，又由，則.當(dāng)斜率不存在時，直線方程為，此時，不成立.故答案為：.【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．15．已知數(shù)列滿足，n為正整數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得，進而變形得，可知為等差數(shù)列，進而可求.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，由得，兩式相除得：，，故，進而得，，因此為等差數(shù)列，且公差為1，首項為3，故故答案為:16．已知函數(shù)，函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個不同的交點的問題；畫出圖象后可知，當(dāng)與在和上分別相切時，兩切線斜率之間的范圍即為所求的范圍，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和二次函數(shù)的知識分別求解出兩條切線斜率，從而得到所求范圍.【詳解】解：有四個零點等價于與有四個不同的交點當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時，，此時由此可得圖象如下圖所示：恒過，由圖象可知，直線位于圖中陰影部分時，有四個不同交點即臨界狀態(tài)為與兩段圖象分別相切當(dāng)與相切時，可得：當(dāng)與相切時設(shè)切點坐標(biāo)為，則又恒過，則即，解得：

由圖象可知：【點睛】本題考查利用函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題、零點問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點問題、利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題，是偏難題.四、解答題17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極大值，極小值.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，由點斜式得切線方程，化簡即可；（2）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后可得極值．【詳解】解：（1）因為所以即

又因為所以函數(shù)在處的切線方程為.（2）因為令，或

，所以，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減所以時取極大值，時取極小值.18．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.（1）求a2，a3的值；（2）是否存在一個實常數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請說明理由．【答案】（1）a2＝，a3＝；（2）存在，λ＝1，理由見解析.【分析】（1）由遞推關(guān)系式直接計算可得；（2）假設(shè)存在一個實常數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列，利用前3項成等差數(shù)列求出的值，再檢驗此值使得數(shù)列成等差數(shù)列.【詳解】（1）因為a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，所以a2＝＝＝，a3＝＝＝.（2）假設(shè)存在一個實常數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列，所以＝＋，所以＝＋，解之得λ＝1.因為－＝－＝－＝＝－，又＝－1，所以存在一個實常數(shù)λ＝1，使得數(shù)列是首項為－1，公差為－的等差數(shù)列．19．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點．(1)證明：平面；(2)設(shè)平面與平面的交線為l，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由線段之比相等得到線線平行，進而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行求解.【詳解】（1）如圖，連接DF交于點G，連接DE交AC于點H，連接GH，因為E，F(xiàn)分別為AB，的中點，且，，所以，，所以，，又因為平面，且平面，所以平面．（2）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，，所以，，，．設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，，，夾角為，則，，即，，不妨取，，得，所以，所以二面角的正弦值為．20．某商場為了吸引顧客，舉辦了一場有獎摸球游戲，該游戲的規(guī)則是：將大小相同的4個白球和4個黑球裝入不透明的箱子中攪拌均勻，每次從箱子中隨機摸出3個球，記下這3個球的顏色后放回箱子再次攪拌均勻.如果在一次游戲中摸到的白球個數(shù)比黑球多，則該次游戲得3分，否則得1分.假設(shè)在每次游戲中，每個球被模到的可能性都相等.解決以下問題：（1）設(shè)在一次摸球游戲中摸到的白球個數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）如果顧客當(dāng)天在該商場的消費滿一定金額可選擇參與4次或5次游戲，當(dāng)完成所選擇次數(shù)后的游戲的平均得分不小于2時即可獲得一份獎品.若某顧客當(dāng)天的消費金額滿足條件，他應(yīng)如何選擇游戲次數(shù)才會有更大的獲獎概率？說明理由.【答案】（1）分布列見解析，；（2）該顧客應(yīng)選擇完成4次游戲，會有更大的獲獎概率，理由見解析.【分析】（1）白球個數(shù)的取值為0，1，2，3，分別求得其概率后可得分布列，由期望公式計算出期望；（2）首先求得一次摸球游戲得3分的概率為，設(shè)n次游戲中，得3分的次數(shù)為X，則.顧客獲得獎品其總分應(yīng)不小于，由此求得的可能值，再求出獲得獎品的概率，比較次數(shù)為4或5時的概率可得結(jié)論．【詳解】（1）依題意，的取值為0，1，2，3.因為，.，.所以的分布列為0123P.（2）依題意，在一次游戲中，得3分的概率為.設(shè)n次游戲中，得3分的次數(shù)為X，則.所以.若該顧客選擇完成4次游戲，由，得，其獲獎的概率為；若該顧客選擇完成5次游戲，由，得，其獲獎的概率為.因為，所以該顧客應(yīng)選擇完成4次游戲，會有更大的獲獎概率.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，考查二項分布，概率的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是正確理解顧客獲得獎品的條件，根據(jù)這個條件確定解題方法．求出一次游戲中得3分的概率，然后確定次游戲中得分總數(shù)的估計值，確定得3分的次數(shù)為多少時能獲得獎品，再計算出概率．最后比較即可得．21．已知橢圓過點，且橢圓的離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過點且與橢圓相交于、兩點，橢圓的右頂點為，試判斷是否能為直角．若能為直角，求出直線的方程，若不行，請說明理由．【答案】（1）；（2）不能為直角，證明見解析.【分析】（1）可得，．．即可得橢圓的標(biāo)淮方程．（2）對直線的斜率分兩種情況討論：①當(dāng)直線垂直軸時，易得不能為直角；②當(dāng)直線不垂直軸時，可設(shè)直線代入橢圓方程，消去可得到關(guān)于的一元二次方程，再利用反證法，假設(shè)，得到與事實相矛盾，從而證明不能為直角.【詳解】（1）橢圓過點，，橢圓的離心率，．，．橢圓的標(biāo)淮方程為：.（2）①當(dāng)直線垂直軸時，易得，．橢圓的右頂點為，，，，是不為直角．②當(dāng)直線不垂直軸時，可設(shè)直線代入橢圓方程，消去可得：，設(shè)，，，，則有，，又，，，，，若是為直角：則，解得，不符合題意．故不能為直角．【點睛】本題考查橢圓的離心率與標(biāo)準(zhǔn)方程求解、直線與橢圓的置關(guān)系、向量數(shù)量積，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題．22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線