數(shù)學極坐標系

§4.1.2極坐標系(1)教學目標:1.理解極坐標的概念

2.學會用極坐標表示平面上的點教學重點:1.理解極坐標的意義

2.能夠在極坐標系中用極坐標確定點位置問題2：如何刻畫這些點的位置？一、問題情境情境1：軍艦巡邏在海面上，發(fā)現(xiàn)前方有一群水雷，如何確定它們的位置以便將它們引爆？情境2：請問到永登八中怎么走？從這向南走1000米。問題1：為了簡便地表示上述問題中點的位置，應創(chuàng)建怎樣的坐標系呢？請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向南走700米！出發(fā)點方向距離

在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。情境2：請問到永登八中怎么走？從這向南走700米.1、極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點.引一條射線OX，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）.這樣就建立了一個極坐標系.XO二、新知學習2、極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定

對于平面上任意一點M,用

表示線段OM的長度,用

表示以射線OX為始邊,射線OM為終邊所成的角,

叫做點M的極徑,

叫做點M的極角,有序數(shù)對(,)就叫做M的極坐標。XOM

極點的極坐標為_________________(0,),

可為任意值.思考:對比直角坐標系，比較異同要素：________________________________________；(2)平面內點的極坐標用_____表示.極點、極軸、長度單位、角度單位和正方向(,)例1.如圖，寫出各點的極坐標：。Ox

4

2564353

A?B?C?D?E?F?G?A(4,0)B(3,)

4C(2,)

2D(5,)56E(4.5,

)F(6,)43G(7,)53[變式訓練1

]在課本P6的圖上描下列點：[小結]由極坐標描點的步驟：

(1)先按極角找到點所在射線；

(2)在此射線上按極徑描點.3、點的極坐標的表達式的研究XOM

如圖：OM的長度為4，請說出點M的極坐標的其他表達式思考：這些極坐標之間有何異同？思考：這些極角有何關系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點M的極坐標統(tǒng)一表達式：極徑相同，不同的是極角思考:①平面上一點的極坐標是否唯一？若不唯一,那有多少種表示方法？②不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？4、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況[1]給定（

,）,就可以在極坐標平面內確定唯一的一點M[2]給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除極點外,平面內的點和極坐標就可以一一對應了.例2.在極坐標系中,(1)已知兩點，，求線段PQ的長度；

(2)已知點M的極坐標為(

,),R,說明滿足上述條件的點M的位置.

在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的情況下，也允許取負值(

<0):當

<0時如何規(guī)定(,)對應的點的位置？°Ox當

<0時，點M(,)的位置規(guī)定：

))|

|?M(,)°OxM(-2,)56)56???點M：在角

終邊的反向延長線上，且|OM|=|

|M(-2,)565、關于負極徑小結：從比較來看,負極徑比正極徑多了一個操作,將射線OP“反向延長”.。Ox

4

2565453

1162332A(-4,0)C(-2,)

2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)

6(-4,-)

3F?A?B?C?D?E?F[小結](,)(,2k

+)(-,+

)[-,+(2k+1)

]都是同一點的極坐標.例3.已知點Q(,)，分別按下列條件求出點P的坐標：

(1)P是點Q關于極點O的對稱點；

(2)P是點Q關于直線的對稱點.(3)P是點Q關于極軸的對稱點。

注意點M的極坐標具有多值性.[3]一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？三、小結[1]建立一個極坐標系需要哪些要素極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向.[2]極坐標系內一點的極坐標有多少種表達式？無數(shù)，極角有無數(shù)個.有。（ρ，2kπ+θ）四、課后作業(yè)教材P12頁1,2，思考:極坐標系中,點M的坐標為(-10,),則下列各