第十一章非參數(shù)檢驗(yàn)

212212第一節(jié)非參數(shù)檢驗(yàn)的基本概念及特點(diǎn)一、非參數(shù)檢驗(yàn)（一） 什么是“非參數(shù)”非參數(shù)模型：缺乏總體分布模式的信息。（二） 非參數(shù)檢驗(yàn)的定義非參數(shù)檢驗(yàn)：不需要假設(shè)總體是否為正態(tài)分布或方差是否為齊性的假設(shè)檢驗(yàn)稱非參數(shù)檢驗(yàn)。（三） 非參數(shù)檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：1、優(yōu)點(diǎn):一般不涉及總體參數(shù)，其假設(shè)前提也比參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)少得多，適用面較廣。計(jì)算簡(jiǎn)便。2、缺點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)效能遠(yuǎn)不如參數(shù)檢驗(yàn)方法。由于當(dāng)數(shù)據(jù)滿足假設(shè)條件時(shí)，參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法能夠從其中廣泛地充分地提取有關(guān)信息。 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法對(duì)數(shù)據(jù)的限制較為寬松， 只能從中提取一般的信息，相對(duì)參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法會(huì)浪費(fèi)一些信息。（四）非參數(shù)檢驗(yàn)的特點(diǎn)：1、 它不需要嚴(yán)格的前提假設(shè)；2、 特別適用于順序數(shù)據(jù)；3、 適用于小樣本，且方法簡(jiǎn)單；4、 最大的不足是不能充分利用資料的全部信息；5、 不能處理“交互作用”，即多因素情況。第二節(jié)兩個(gè)獨(dú)立樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)方法一、秩和檢驗(yàn)法秩和即秩次的和或等級(jí)之和。 秩和檢驗(yàn)法也叫Mann-Whitney-Wilcoxon檢驗(yàn)，它常被譯為曼—惠特尼—維爾克松檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱 M-W-W檢驗(yàn)，也稱Mann-WhitneyU檢驗(yàn)。秩和檢驗(yàn)法與參數(shù)檢驗(yàn)法中獨(dú)立樣本的 t檢驗(yàn)法相對(duì)應(yīng)。當(dāng)“總體正態(tài)”這一前提不成立時(shí)，不能用t檢驗(yàn)，可以用秩和檢驗(yàn)法。（一）秩統(tǒng)計(jì)量秩統(tǒng)計(jì)量指樣本數(shù)據(jù)的排序等級(jí)。 假設(shè)從總體中反復(fù)抽取樣本，就能得到一個(gè)對(duì)應(yīng)于樣本容量厲和n2的秩和U的分布。這是一個(gè)間斷而對(duì)稱的分布，當(dāng) 厲和n2都大于10時(shí)，秩和T的分布近期近似正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為CTCTmn2m n2 1其檢驗(yàn)值為手—T二T（二）計(jì)算過(guò)程1、小樣本：兩個(gè)樣本容量均小于 10（ni叩0,n2空10）例11-1:在一項(xiàng)關(guān)于模擬訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)中，以技工學(xué)校的學(xué)生為對(duì)象，對(duì)5名學(xué)生用針對(duì)某一工種的模擬器進(jìn)行訓(xùn)練，內(nèi)外讓6名學(xué)生下車(chē)間直接在實(shí)習(xí)中訓(xùn)練，經(jīng)過(guò)同樣的時(shí)間后對(duì)兩組人進(jìn)行該工種的技術(shù)操作考核，結(jié)果如下：模擬器組：56,62,42，72，76實(shí)習(xí)組：68，50，84，78，46，92假設(shè)兩組學(xué)生初始水平相同，則兩種訓(xùn)練方式有無(wú)顯著差異？表11-1兩種訓(xùn)練方式的成績(jī)考核成績(jī)成績(jī)排列等級(jí)等級(jí)和模擬器組56421（5人）6256442625￡=257272776768實(shí)習(xí)組68462（6人）5050384686T2=4178789468410929211檢驗(yàn)過(guò)程：1?建立假設(shè)H。:、R八R2，即兩樣本無(wú)顯著差異Ha:、R八R2，即兩樣本有顯著差異2?計(jì)算統(tǒng)計(jì)量1） 將數(shù)據(jù)從小到大排列，見(jiàn)上表。2） 混合排列等級(jí)，即將兩組數(shù)據(jù)視為一組進(jìn)行等級(jí)排列，見(jiàn)上表。3） 計(jì)算各組的秩和，并確定T值，即T=min（T1，T2）=min（25，41）=253.比較與決策若「VTvT2,則接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)。若T<T1，或T>T2，拒絕虛無(wú)假設(shè)，接受研究假設(shè)。查秩和檢驗(yàn)表，當(dāng)n1=5，n2=6，T1=19，T2=41,因?yàn)?9<25<41,即T1<T<T2,所以接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)，差異不顯著。說(shuō)明兩種訓(xùn)練的成績(jī)無(wú)顯著差異。

2、大樣本：兩個(gè)樣本容量均大于 10(ni>10,n2>10)例11-2：對(duì)某班學(xué)生進(jìn)行注意穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)?zāi)猩c女生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下， 試檢驗(yàn)?zāi)信g注意穩(wěn)定性有否顯著差異？男生：(ni=14)19,32,21,34,19,25,25,31,31,27,22,26,26,29女生：(門(mén)2=17)25,30,28,34,23,25,27,35,30,29,29,33,35,37,24,34,32檢驗(yàn)過(guò)程：?建立假設(shè)H0:1R八R2Ha:'R1八R2?計(jì)算統(tǒng)計(jì)量求秩和T。先混合排列等級(jí)，再計(jì)算 「和T2,最后確定T。排序如下：男生：1.5, 23.5, 3, 27,1.5, 8.5, 8.5, 21.5,21.5, 13.5, 4,11.5,11.5,17,女生8.5,19.5,15,27,5,8.5,13.5,29.5,19.5,17,17,25,29.5,31,6,27,23.5T=1.5 23.5 327 1.58.58.5 21.5 21.513.5 411.511.517=174求Z值1_14(14 17■1)-2=224,卩=n1(口1+口1_14(14 17■1)-2=224,門(mén)小2門(mén)丄n2 1門(mén)小2門(mén)丄n2 1121417(14171)25.2X12T-\174-22425.2=-1.98p0.05，拒絕虛無(wú)假設(shè)，差異達(dá)到顯著性水平。說(shuō)明男女在注意p0.05，拒絕虛無(wú)假設(shè)，差異達(dá)到顯著性水平。說(shuō)明男女在注意Z—1.98Z0.05/2穩(wěn)定性上有顯著差異。、中數(shù)檢驗(yàn)法（一）適用條件中數(shù)檢驗(yàn)法對(duì)應(yīng)著參數(shù)檢驗(yàn)中兩獨(dú)立樣本平均數(shù)之差的 t檢驗(yàn)。中數(shù)檢驗(yàn)法的基本思想是將中數(shù)作為集中趨勢(shì)的量度，檢驗(yàn)不同的樣本是否來(lái)自中位數(shù)相同的總體。因而其虛無(wú)假設(shè)（H0）為：兩個(gè)獨(dú)立樣本是從具有相同中數(shù)的總體中抽取的，它也可以是雙側(cè)檢驗(yàn)或單側(cè)檢驗(yàn)。雙側(cè)檢驗(yàn)結(jié)果若有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義， 意味著兩個(gè)總體中數(shù)有差異（并

沒(méi)有方向）；單側(cè)檢驗(yàn)結(jié)果若有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，則表明對(duì)立假設(shè)“一個(gè)總體中數(shù)大于另一個(gè)總體中數(shù)”成立。（二）計(jì)算過(guò)程例題13-8:為了研究核糖核酸是否可以作為記憶的促進(jìn)劑，研究者以老鼠為對(duì)象分成實(shí)驗(yàn)組與控制組。實(shí)驗(yàn)組注射 RNA，控制組注射生理鹽水，然后在同樣的條件下學(xué)習(xí)走迷津，如果如下（單位：時(shí)間）。試問(wèn)兩組的學(xué)習(xí)成績(jī)有無(wú)顯著差異？實(shí)驗(yàn)組：16.7，16.8，17.0，17.2，17.4，16.8，17.1，17.0，17.2，17.1，17.2，17.5，17.2，16.8，16.3，16.9控制組：76.6，17.2，16.0，16.2，16.8，17.1，17.0，16.0，16.2，16.5，17.1，16.2，17.1，16.8，16.51?提出假設(shè)H0:Amdn=Bmdn，即兩組中位數(shù)相等，或兩組成績(jī)無(wú)顯著差異Ha:Amdn=Bmdn，即兩組中位數(shù)不等，或兩組成績(jī)有顯著差異2?計(jì)算統(tǒng)計(jì)量1）求混合中數(shù)。將數(shù)據(jù)按大小排列，確定中數(shù)。表13-11 中數(shù)計(jì)算表1616.216.316.516.616.716.816.91717.117.217.417.5f2312115144511F256891015162024293031Mdn二Xn1=X311二X16=16.9~2~2）統(tǒng)計(jì)多個(gè)樣本在中數(shù)上下的次數(shù)，列出列聯(lián)表。表13-12計(jì)數(shù)表實(shí)驗(yàn)組控制組>Mdn的次數(shù)10515vMdn的次數(shù)51015X15153023）求 值=3.33P>0.05，差異不顯著，接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究2=30 1010-552=3.33P>0.05，差異不顯著，接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究15"5"5"5比較與決策32=3.33Jjya=3.84假設(shè)。說(shuō)明實(shí)驗(yàn)組與控制組在迷津?qū)W習(xí)中差異不顯著，即 RNA對(duì)記憶無(wú)明顯的促進(jìn)作用。第三節(jié) 配對(duì)樣本的非參數(shù)檢驗(yàn)方法—、符號(hào)檢驗(yàn)法（一）、適用條件符號(hào)檢驗(yàn)是以正負(fù)符號(hào)作為資料的一種非參數(shù)檢驗(yàn)程序。 它是一種簡(jiǎn)單的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，適用于檢驗(yàn)兩個(gè)配對(duì)樣本分布的差異， 與參數(shù)檢驗(yàn)中配對(duì)樣本差異顯著性 t檢驗(yàn)相對(duì)應(yīng)。符號(hào)檢驗(yàn)也是將中數(shù)作為集中趨勢(shì)的量度， 虛無(wú)假設(shè)是配對(duì)資料差值來(lái)自中位數(shù)為零的總體。它是將兩樣本每對(duì)數(shù)據(jù)之差（ Xi—Yi）用正負(fù)號(hào)表示，若兩樣本沒(méi)有顯著性差異，理論上正負(fù)號(hào)應(yīng)各占一半或不相上下。 相反，若正負(fù)個(gè)數(shù)相關(guān)較大， 則可能存在差異，由此表明兩個(gè)樣本不是來(lái)自同一總體，并可推論兩樣本的總體存在差異。（二）、計(jì)算過(guò)程1、小樣本符號(hào)檢驗(yàn)法N<25例11-4:用配對(duì)設(shè)計(jì)方法對(duì)9名運(yùn)動(dòng)員不同方法訓(xùn)練， 每一個(gè)對(duì)子中的一名運(yùn)動(dòng)員按傳統(tǒng)方法訓(xùn)練，另一名運(yùn)動(dòng)員接受新方法訓(xùn)練。課程進(jìn)行一段時(shí)間后對(duì)所有運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行同一考核，結(jié)果如下。能否認(rèn)為新訓(xùn)練方法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法配對(duì)123456789傳統(tǒng)（X）858887868282707280新法（Y）908487859094858892符號(hào)（X-Y）-+0+-----1） 建立假設(shè)單側(cè)檢驗(yàn)Ho:P<P_Ha:P>P_2） 標(biāo)記配對(duì)數(shù)據(jù)之差的符號(hào)。見(jiàn)上表。3） 統(tǒng)計(jì)符號(hào)總數(shù)N。符號(hào)總數(shù)中不包含0,只包括正號(hào)和負(fù)號(hào)個(gè)數(shù)和，即NF.n_=2+6=84） 將n-,n-中的較小者記為r，即r=minn,n_=n=25） 比較與決策根據(jù)符號(hào)總和N及顯著水平值查符號(hào)檢驗(yàn)臨界值表，見(jiàn)附表 15。表中列出了符號(hào)總和與顯著性水平?所對(duì)應(yīng)的臨界值r：，其判斷規(guī)則如下表。表11-2 單側(cè)符號(hào)檢驗(yàn)法的方法的統(tǒng)計(jì)判斷規(guī)則表r與臨界值（CR）比較P值差異顯著性r>「0.05P>0.05不顯著ro.0ivrwro.o5 0.01vPw0.05 顯者r<ro.oi Pw0.01 極顯著查附表15,N=8時(shí)，臨界值為0（0.05水平）,而實(shí)得r=n+=2>「0.05。所以差異不顯著,接受虛無(wú)假設(shè)，不能認(rèn)為新法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)方法。2、樣本容量N>25時(shí)在附表15中，雖然N是從1到90,就是說(shuō)N在這個(gè)范圍內(nèi)時(shí)都可以用查附表 15的方法，但是在世紀(jì)中當(dāng)N>25時(shí)常常使用正態(tài)近似法。將N分為n+和n-兩部分，為二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的原理，有1 1 p=q NpN二Npq=--2, 2 ,\r_Ar_N.2Z=丁一.N2為了更接近正態(tài)分布，采用較正公式，即Z_(r+0.05)-N/2例11-5：在教學(xué)評(píng)價(jià)活動(dòng)中，要求學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)進(jìn)行7點(diǎn)評(píng)價(jià)（即1-7分），下表是某班學(xué)生對(duì)一位教師期中與期末的兩次評(píng)價(jià)結(jié)果，試問(wèn)兩次結(jié)果差異是否顯著?學(xué)生期中（X）期末（Y）Xi—Yi136-227-354+415-532+623-713-837-932+1013-113301212-1354+1426-1536-1614-1753+1812-1946-2032+2137-2212-2313-2446-2535-2653+2743+2856-建立假設(shè)Ho:P.=P_Ha：P#P_確定正、負(fù)號(hào)數(shù)目，正負(fù)號(hào)總數(shù) N的r值n.=8,n_=19, =27,r=min(8,19)=8計(jì)算統(tǒng)計(jì)量(805)-27/2Z 1.92J27/2比較與決策Z|=1.92遼0.05/2P>0.05，接受虛無(wú)假設(shè)，差異不顯著。不能認(rèn)為期中、期末兩次評(píng)價(jià)結(jié)果有顯著差異。二、符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)法（一） 適用條件維爾克松符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)法（WilcoxonSigned-Ranktest）是由維爾克松提出的，又稱符號(hào)秩和檢驗(yàn)，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為維爾克松檢驗(yàn)法。其使用條件與符號(hào)檢驗(yàn)法相同，也適合于配對(duì)比較，但它的精度比符號(hào)檢驗(yàn)法高，因?yàn)樗粌H僅考慮差值的符號(hào)還同時(shí)考慮差值大小。目的是推斷配對(duì)樣本差值的總體中位數(shù)是否和 0有差別，即推斷配對(duì)的兩個(gè)相關(guān)樣本所來(lái)自的兩個(gè)總體中位數(shù)是否有差別。（二） 計(jì)算步驟1、小樣本（N<25）檢驗(yàn)（1） 把相關(guān)樣本對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之差值按絕對(duì)值從小到大作等級(jí)排列（注意差值為零時(shí)，零不參加等級(jí)排列）；（2） 在各等級(jí)前面添上原來(lái)的正負(fù)號(hào)；（3） 分別求出帶正號(hào)的等級(jí)和（T+）與帶負(fù)號(hào)的等級(jí)和（T―）,取兩者之中較小的記作T;（4）根據(jù)N,T查符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)表，當(dāng)T大于表中臨界值時(shí)表明差異不顯著；小于臨界值時(shí)說(shuō)明差異顯著。例11-6:某幼兒園對(duì)10名兒童在剛?cè)雸@時(shí)和入園一年后均進(jìn)行了血色素檢查， 結(jié)果如下，試問(wèn)兩次檢查有否明顯變化？?jī)和疉BCDEFGHIJ剛?cè)雸@12.311.313.015.012.015.013.512.810.011.0一年后12.014.013.813.811.414.013.513.512.014.7差值-0.32.70.8-1.2-0.6-1.000.72.03.7差值絕對(duì)值排等級(jí)184625379添符號(hào)-184-6-2-5379

1） 建立假設(shè)Ho:正負(fù)號(hào)等級(jí)和無(wú)顯著差異。即入園時(shí)和入園一年沒(méi)有顯著差異， T=ToHa：正負(fù)號(hào)等級(jí)和有顯著關(guān)系。即入園時(shí)和入園一年有顯著差異， T?=T_2） 求成對(duì)數(shù)據(jù)的差數(shù)D值，見(jiàn)上表。3）按D排列順序（不包括0）并添加符號(hào)。并將原來(lái)差值的正負(fù)號(hào)添加在等級(jí)前。4）計(jì)算正號(hào)等級(jí)和（T+）與負(fù)號(hào)等級(jí)和（T_）,并取較小者為T(mén)值，即T-=1+6+2+5=14;T+=8+4+3+7+9=31T二minT,T_min31,14=145） 根據(jù)符號(hào)總數(shù)N，查符號(hào)秩序臨界值表，進(jìn)行比較與決策表13-7單側(cè)符號(hào)秩序檢驗(yàn)法統(tǒng)計(jì)判斷規(guī)則T與臨界值（CR）比較P值差異顯著性T>T0.05P>0.05不顯著T0.01VTWT0.050.01VPW0.05顯著TWT0.01PW0.01極顯著當(dāng)N=n11n_n=54時(shí)，T0.05二6。因?yàn)?，T=14>T0.05=6,p>0.05，接受虛無(wú)假設(shè)，拒絕研究假設(shè)，差異不顯著。說(shuō)明入園時(shí)與入園一年幼兒的血色素沒(méi)有明顯變化。2、大樣本N>25T的分布接近正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：N(N1)N(N1)4]N(N+1I2N十1)V 2A檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:TOC\o"1-5"\h\z若出現(xiàn)相同等級(jí)較多（超過(guò) 25%）時(shí)，應(yīng)采用校正統(tǒng)計(jì)量 Z:T-n（n+1）/4|-0.5Zc 3n（n1）（2n1）/（tj-匕）\ 24 48式中，tj為第j（j=1,2,）次相持所含相同秩次的個(gè)數(shù)。如例10-1，第1次相持，有兩個(gè)差值的絕對(duì)值均為2.29,則t1=2;第2次相持，有兩個(gè)差值均為11.54，則t2=2。于是,'（t3J）二（t；-切（t|-t2）=（23-2）+（23-2）=12。例11-7:對(duì)例11-5進(jìn)行符號(hào)等級(jí)檢驗(yàn)。

序號(hào)期中x期末yX-y秩次添號(hào)136-321—-21227-527-2735416+6415-424.5-24.5532「16r+6623-16-6713-215.5-15.5837-424.5P-24.593216+61013-215.5-15.5113300012121-16r-6135416+61426-424.5-24.51536「-321P-211614-321-211753215.5+15.51812-16—-61946-215.5-15.5203216+62137-424.5P-24.522121-16P-62313-215.5-15.52446-215.5-15.52535 :-215.5r-15.52653215.5+15.5274316+62856-16-6建立假設(shè)Ho：Ha:「丁確定T值T=67,T「=311,T二min(「,T_)二「=673）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量①求均數(shù)2）求標(biāo)準(zhǔn)差Ut27(27 1)4=189①求均數(shù)2）求標(biāo)準(zhǔn)差Ut27(27 1)4=18927(271)(541)V24=41.63)求Z值67-18941.6-2.93Z=2.93>Z0.052二"96,pv0.05，拒絕虛無(wú)假設(shè)，接受研究假設(shè)，差異顯著。說(shuō)明對(duì)該教師的兩次評(píng)價(jià)有顯著差異。

第三節(jié)等級(jí)方差分析第三節(jié)等級(jí)方差分析、克一瓦氏單向方差分析（一）適用條件當(dāng)實(shí)驗(yàn)是按完全隨機(jī)方式分組設(shè)計(jì)， 且所得數(shù)據(jù)資料又不符合參數(shù)方法中的方差分析所需假設(shè)條件時(shí)，可進(jìn)行克—瓦氏單向方差分析，即 KruskalandWallis方差分析，也稱H檢驗(yàn)。（二）檢驗(yàn)步驟1、當(dāng)K=3且口三5時(shí)12N(N1)12N(N1)R2ni-3(N 1)12N(N1)Ri12N(N1)Ri12-3(N 1)12 371112 (52221811)-3123 3例11-8:有11名學(xué)生分別來(lái)自教師、工人和干部家庭，進(jìn)行創(chuàng)造力測(cè)驗(yàn)的結(jié)果如下,試問(wèn)家長(zhǎng)的職業(yè)與學(xué)生創(chuàng)造力有否某些聯(lián)系?教師家庭工人家庭干部家庭測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)等級(jí)9048931281191580111410106910171038926852'R371811=2.373）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策，查表17，當(dāng)m=5,匕=3,匕=3時(shí)，Ho.o5=5.51,HIH0.05，接受原假設(shè),說(shuō)明家長(zhǎng)的職業(yè)與學(xué)生創(chuàng)造力無(wú)顯著關(guān)系。2、K>3或ni>5時(shí)計(jì)算出H值，然后查的 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量表，df=K-1,進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策。

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量例11-9:A、BC、D四所學(xué)校分別選出一部分人作為本校代表隊(duì)參加物理競(jìng)賽，結(jié)果如下。問(wèn)四所學(xué)校成績(jī)有否顯著差異?成績(jī)相應(yīng)秩次ABCDABCD8099897610.532.5245.58891826622.526147879881752130133.58798807818.53010.58909986762532.518.55.58696867322.5281