空間連桿機(jī)構(gòu)運動分析未講

第七章空間連桿機(jī)構(gòu)運動分析第七章空間連桿機(jī)構(gòu)運動分析 1空間機(jī)構(gòu)運動分析矩陣法：剛體空間位移矩陣 2繞直角坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn) 2空間旋轉(zhuǎn)矩陣 3按右手規(guī)則繞三維直角坐標(biāo)軸的一系列旋轉(zhuǎn)表示空間旋轉(zhuǎn) 3繞空間任意軸u旋轉(zhuǎn)角表示空間旋轉(zhuǎn) 3用歐拉，和來描述空間旋轉(zhuǎn) 4剛體位移矩陣及其逆 4旋轉(zhuǎn)矩陣與位移矩陣的微分 5旋轉(zhuǎn)矩陣的微分 5位移矩陣的微分 6空間四桿機(jī)構(gòu)運動分析 7空間四桿機(jī)構(gòu)RSSR運動分析 7習(xí)題 8空間串聯(lián)機(jī)器人運動分析 83-RPR運動分析 8RRRRRR機(jī)械手運動分析 11空間并聯(lián)機(jī)器人運動分析 126-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析 12參考文獻(xiàn) 13空間機(jī)構(gòu)運動分析矩陣法：剛體空間位移矩陣是繞三角坐標(biāo)軸的一組旋轉(zhuǎn)矩陣、繞空間任意一軸的旋轉(zhuǎn)矩陣和歐拉角旋轉(zhuǎn)矩陣。下面分別討論這三種旋轉(zhuǎn)矩陣。繞直角坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)y v v2x y vα1x 1ovo1yxz圖表示固連在旋轉(zhuǎn)剛體上的一個定長向量繞z軸的旋轉(zhuǎn)向量v在位移前后的所有x-yv1

繞z軸旋轉(zhuǎn)角，到達(dá)v處2時，有下列方程（參見鄒老師的教材P62）把上式寫成矩陣的形式，有

v v2x 1xv v2y v v2z 1z

cosv1ysinv1y

sincos

(7.1)v cosv2xsin

sincos

0v 1x

(7.2)1y2y1y v 2z

0 1v 1z2上式可縮寫成如下的形式，即2

(v)

](v) (7.3)1式中[R,z

]為繞z軸轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)矩陣，有 cos sin [R,z

]sin cos 0 0 1

(7.4)同理，可寫出分別繞y軸和x軸旋轉(zhuǎn)的矩陣cos 0 sin[R ] 0 1 0

(7.5),y

sin 0 cos1 0 0 [R,z

]0 cos sin0 sin cos

(7.6)空間旋轉(zhuǎn)矩陣空間旋轉(zhuǎn)矩陣可用若干個基本旋轉(zhuǎn)矩陣來表示，其主要有以下三種形式。按右手規(guī)則繞三維直角坐標(biāo)軸的一系列旋轉(zhuǎn)表示空間旋轉(zhuǎn)3x3把每個矢量矩陣逐次相乘來求得，即當(dāng)三個旋轉(zhuǎn)順序為繞z旋轉(zhuǎn)角，繞yx軸轉(zhuǎn)12處矢量v的關(guān)系可用下式描述：(v)[R

][R

][R ](v)[R

][v] (7.7)2 ,x式中空間旋轉(zhuǎn)矩陣[R]為

,y

,z 1

1 cc[R ]cs

scss

s c

(7.8)

csc

csssc

cc式中cossin。u角表示空間旋轉(zhuǎn)ywyw51u42γouyβuxxuu’’ zu(u,u,u)T是單位向量。繞u軸旋轉(zhuǎn)角的運動，可按下列步驟來描x y z述：首先轉(zhuǎn)動剛體，使u軸平行于z軸，再以u的這一暫時位置為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角，然后把u軸旋回它原來的位置。這一完整的旋轉(zhuǎn)過程可用矩陣描述：(v)[R

][R

][R

][R

][R ](v)[R

](v) (7.9)2 ,y

,

,

,

,y 1

,u 1式中，[R,u當(dāng)形成[R,u

]稱為軸旋轉(zhuǎn)矩陣，它是描述剛體空間有限旋轉(zhuǎn)的最常用的形式之一。]時，單位向量u的方向余弦有下列代換：uxu2u2x zsinuxu2u2x zyuzu2u2x ycos u2zu2u2x y

(7.10)xcossinux把式(7.10)代入式(7.9)，有

z,coscosuz u2VC uuVuS uuVuS x x y z xz y [R,u

]ux

Vuy

S u2Vy

uVuyz

S

(7.11)ux

uVuz

S

uVuyz

S u2Vz式中，V1cosSsincos(7.11)可得如下形式：[R,u][P][P]cos[P]sin[Q

] (7.12)u u u u式中[P][P][IQ

] (7.13)u u u0 u u [P]u 0z yu

(7.14)u z xuy ux 0u2 uu uuu[Q]uxuu x y

x yu2 y

zuz22

(7.15)uxuz uyuz uz，和來描述空間旋轉(zhuǎn)z’’Φ4

zz’

y’’θ θ y’3 ψ yψx 2ψ1x’x’’XYZ1上；2X’Y’Z’z轉(zhuǎn)角而得到；3X’’Y’’Z’’是經(jīng)過兩個有序的相對旋轉(zhuǎn)即z轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)Z’’軸轉(zhuǎn)角，完成了剛體的運動。把上述過程用下列方程表示，有（可證一下，下式是否成立）(v)[R2 ,z''

][R,x

][R,

](v)1[R,z

][R,

][R,

](v)1

(7.16)式中[R,,

[R,,S]SS

](v)1SCCSCCSC

(7.17)剛體位移矩陣及其逆pp11q位于向量的頭端。這樣剛體的第一個位置（q之間的關(guān)系可用下式來描述：p11

）與任意位置（q－p）1(qp)[R,u](q1

p) (7.18)1式中(p)(p ,p ,p1 1x 1y

)T，(q1

)(q ,q ,q1x 1y

)T，(p)(p,p,px y

)T，(q)(q,q,q)Tx y z

]為空間旋轉(zhuǎn)矩陣，可用三種不同形式表示。zqzqqφ1px1opφy把式(7.18)進(jìn)一步整理，可得或

q[R,u](q

p)p1

(7.19)1q [R ]1

p[R

]pq1 ,u

,u 11 0 0 0

1 1

(7.20)q[D

]1式中[D,u

,u]D即為44位移矩陣。

1在剛體空間運動方程(7.20)p做為參考點，即該點在一個固udu沿u滑動，同時又以角繞u軸旋轉(zhuǎn)，式(7.20)可寫成q [R

] (

d(u)[R

]p)q1

,u 1

,u 11 0q

1 1

(7.21)[S]11式中，[S]即為有限螺旋位移矩陣。位移矩陣的逆，用下式很容易求得，設(shè)位移矩陣為 [R][D]

(b)

(7.22)0 0 0 1 式中[R]為旋轉(zhuǎn)矩陣，(b)為向量，則有 [R]T (b)[D]1

(7.23)0 0 0 1 旋轉(zhuǎn)矩陣與位移矩陣的微分旋轉(zhuǎn)矩陣的微分一個向量(v)的旋轉(zhuǎn)可用矩陣方程式描述為(v)[R](v) (7.24)1是以下幾種可能形式之一表示的(7.4)(7.5)、(7.6)、(7.8)、(7.11)等。向量(v)的位置對時間的變化率可通過對式(7.24)微分而得(v)[R](v)[R](v)1 1[R][R]T(v)[R](v)1

(7.25)[W](v)[R](v)1式中，[W][R][R]T是空間角速度矩陣。把式(7.25)對時間求二階導(dǎo)數(shù)，有(v)[R](v)[R](v)[R](v)[R](v)1 1 1 1[R][R]T(v)2[R](v)[R](v)

(7.26)1 1[W](v)2[R](v)[R](v)1 1式中，[W][R][R]T是空間角加速度矩陣。當(dāng)旋轉(zhuǎn)矩陣[R[R,u

時，可用下述方法求和](7.12)，可確定為[W]d[R

][P]dt0式中[P]由式(7.14)確定。同樣，有u

u

(7.27)]

d2

][P][P]2[P][P]

(7.28)dt20即

,u u u u u0 u u ]u 0z yu

(7.29)z xuy ux 0 (u21)2 (uu2uu) (uu2uu) x x y z z xz y y yzyxxz](uu2uu) (u21)2 (uu2uu)yzyxxz

(7.30)(u

u2u

)

u2uu)

yz x(u21)2 xz y y yz x x z位移矩陣的微分pqvv1

和任意位置v之間的關(guān)系，可用式(7.18)表示若由式(7.25)，可得速度矩陣[v]

(qp)01 1(qp)01 1由此得

(qp)[W](qp)q] (p]p)q[v]q

(7.31)(7.32)0 000

0 1 1 式中[v]就是速度矩陣。由式(7.26)，同樣可求得空間加速度矩陣，即q] (p]p)q[A]q

(7.33) 110 11式中[A]就是空間加速度矩陣?？臻g四桿機(jī)構(gòu)運動分析RSSR運動分析

zzaα,?,?13b1β,β’,β”21uoa0ab0xyub圖為空間RSSR四桿機(jī)構(gòu)。在坐標(biāo)系oxyz中，已知(a)(a a a )T0 0x 0y 0z(b)(b b0x 0(a)(a a1x 1(b)(b b

b )T0z)T1z)T1 1x 1y(u)(u ua ax

1zu )Taz(u)(u u u )Tb bx by bz另外，已知原動件2的運動,,。位置分析在圖中，構(gòu)件3的長度與機(jī)構(gòu)運動無關(guān)，因此可寫出機(jī)構(gòu)的位移約束方程，即(ab)T(ab)(a

b)T

b) (7.34)1 1 1 1式中，(a)可根據(jù)給定的輸入角來確定，即1a(a)[R,u](a1a

a)(a0

) (7.35)而(b則為未知輸出角的函數(shù)，即1(b)[R,u](b1

b)(b0 0

(7.36)式中[R,ub

]pub

][pub

b]cos[pub

]sin[Q ]ub

(7.37)把式(7.36)、(7.37)代入式(7.34)，經(jīng)整理可得：EcosFsinG

(7.38)式中E(ab)T[IQ ](bb)0 ub 1 0F(ab01

)T[pub

](b1

b)0G [(ab)T(a

)(bb)T(bb)

b)T(ab)](a

)T[Q ](bb)2 0

1 0 1

1 1 1 1

0 ub 1 0解三角方程式(7.38)，可得

F F2E2G22tg1[ ]EG

(7.39)速度分析將式(7.34)對時間求一階導(dǎo)數(shù)，可得速度約束方程式(ab)T(ab)0

(7.40)式中

](aa0

)[pu

](aa)0

(7.41)a a,ub

](bb0

)[pub

](bb0

(7.42)把式(7.42)代入(7.40)，可得

(a)T(ab)

(7.43)(ab)T[p ](bb)ub 0求得后，可由式(7.42)求得(b)。加速度分析把式(7.34)對時間求二階導(dǎo)數(shù)，有加速度約束方程為(ab)T(ab)(ab)T(ab)0

(7.44)式中,,u

](aa)[[p ]2[p ][p0 u u

]](aa)0

(7.45)a a a a,,ub

](bb0

)[[pub

]2[pub

][pub

b0

(7.46)上式代入式(7.44)，經(jīng)整理可得(ab)T{(a)2[p ][p ](bbu u

)}(ab)T(ab)

(7.47)習(xí)題

(ab)T[

][bb]u 0bRRSS機(jī)構(gòu)（103頁，矩陣法）RCCC機(jī)構(gòu)（106頁，矩陣法）空間串聯(lián)機(jī)器人運動分析3-RPR運動分析空間相對運動在對空間機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動分析之前，我們必須考慮兩個既相互獨立，而又相連接的剛體在運動副的約束下做相對運動的情形。jθjθjqujSφ0Pj1jθj1uj1（而該剛體本身又相對于動參考構(gòu)件運動j上的一點q，在空間運動鏈中常見的圓柱副的約束下，相對于前一構(gòu)件j1而運動。假定在相對運動的軸線u上的參考點P' 隨j1j1一起運動。我們用和j

j

分別表示該兩構(gòu)件的絕對角位移。繞u軸的相對角位移則用j

表示，旋轉(zhuǎn)的同時還伴隨有沿u軸的滑移S。每一個絕對角位移和j

j

都有一根相關(guān)的有限旋轉(zhuǎn)軸uj

和u 。j1相對位移構(gòu)件j上某點qj

的絕對位移，如圖所示，可描述為參考構(gòu)件j1上起初與q相重j合的點q'j1

qj

j1的相對位移。這個相對位移可用旋轉(zhuǎn)矩陣式(7.19)或(7.21)來描述。點Pj1

j1j1本身又可以對運動鏈中的構(gòu)件j2有相對運動。RPR機(jī)構(gòu)位置分析q1q1θu1p31θq’sq11q2θu1p’p’’φpθ0110首先計算q2繞固定軸u1

轉(zhuǎn)角，則p點的位置1

(q)[R1 0(p)[R

](q1](

p)(p)0 0p)(p)

(7.48)(7.49)軸u與u1

的方向為

1 ,u 1 0 00沿軸u移動的p和q點的位置為

(u)[R,u0

](u)1

(7.50)1 1(p)(p)S(u)1 1 (7.51)(q)(q)S(u)最后，可求出q點的位置把式(7.51)代入式(7.52)，有

1 1(q)[R ](qp(pu 1 1 1

(7.52)q R

(pS(u)[R

](p))q1

,u 1

,u

1 1

(7.53) 000

1 1上式是以螺旋矩陣方程的形式來表示總運動。要注意，p必須有式(7.49)中的1[R ]p

來計算。,u0 1 0RPR機(jī)構(gòu)相對速度分析

s’,s’’21

q(at3)q’(at2)3 uφ’,φ’’p(at3)p’(at2)u00p θ’,θ’’0q23上q相重合的q點的速度，即(q'p

)](q

) (7.54)2p的速度為

0 0(p'p

)](pp

(7.55)0 0由于p點在構(gòu)件3上，故圓柱副的相對速度（假定構(gòu)件2暫時固定）為(qpr r

)

](qp)

(7.56)(qr

)是相對速度，而(pr

)S(u)，由此得(q)[Wr

](qp)S(u)

(7.57)3上q點的絕對速度便為(q)(q')(qr

),u0

](qp0

)(p0

),u

](qp)S(u)

(7.58)在機(jī)構(gòu)運動分析時，往往p0

是固定點，即(p0

)(0)，故有(q),u0

](qp0

),u

](qp)S(u)

(7.59)RPR機(jī)構(gòu)相對加速度分析3上q（如圖所示）的加速度可用向量方程式來描述，即(q)(q')(a )(a rel cor

(7.60)式中(q')――參考構(gòu)件2上與構(gòu)件3上與q點相重合的q'點的加速度；(arel(acor

)――q點對參考構(gòu)件的相對加速度，其相對運動參數(shù)為S,S,,；――附加的科式加速度，它由參考構(gòu)件以旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生。所以，可導(dǎo)出各加速度分量為(q')[W,,u0

](qp0

)(p)0(arel

)[W,,u

](qp)S(u)這樣，有

(acor

)2[W,u0

](vrel

)2[W,u0

]{S(u),u

](qp)}(q)[W,,u0

](qp0

)(p0

)[W,

](qp)S(u)

(7.61)2[W,u0

]{S(u),u

](qp)}若uu0

軸轉(zhuǎn)動時，上式中(p0

)(0)，這是式(7.61)使用時常見的情況。RRRRRR機(jī)械手運動分析圖所示RRRRRR機(jī)械手是有6個轉(zhuǎn)動副和6個自由度的多用途機(jī)械手。按照圖中所取坐標(biāo)系，已知結(jié)構(gòu)參數(shù)為：l sAB

, l hBC 2

, l sCD

, l p ,DP 01 23

90, 45

056

，，，2 3，4

，Axyz6 00

中的位置和姿態(tài)。夾持器位置和姿態(tài)矩陣方程式：l u x 0 m v y [R ][R ][R ][R ][R ][R ]

1 00 0n w z

01 12 23 34 45 56

0 p 0 0 1 0其中l(wèi),m,n:z軸的方向余弦，u,v,w:x軸的方向余弦

0 1c

0 0 c

0 h c 0 01s11

0 c 0

s2

22

0 c 023[R ] 123

1 ，[R] 2 2

0 h2

2，[R ] 3 3 01 0 1 0 s

12 0

0 1 0

23 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1

0

0 1c

0 0 c

0

0 c

0 0455455

0 c 0

s5

0 c

0 s5

0 0[R ] 4

4 ，[R ] 5 5

，[R ] 5 5 34 0 1 0 0

45 0 1

0 0

56 0

0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1

0 0 1由此可得：x[psc5 4

c(2

)(s3

5

)s(2

)h3 2

]c1

5 4 1y[ps5 4

c(2

)(s3

5

)s(2

)h3 2

]s1

5

4 1z[ps5 4

s(2

)(s3

5

)c(2

)h3 2

]s0l[s5 4

c(2

)3

s(2

3

s5 4 1m[s5 4

c(2

)3

s(2

3

s5

4 1ns5

s(2

)3

c(2

)36 5 4 6 4 2 3 4 5 2 3 1 6 5 4 6 4 16 5 4 6 4 2 3 4 5 2 3 1 6 5 4 6 4 1)6 5 4 6 4 2 3 4 5 2 3 1 6 5 4 6 4 1ccss)s()csc()6 5 46 42 36 5 2 3vw

)c

)]c

)s空間并聯(lián)機(jī)器人運動分析6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析1.位置分析反解6-SPS6移動副的位移，這就是該機(jī)構(gòu)的位置反解。bbb45 b3bbp bbb6 1 2BzB4 BzB5 3x o yB6 BB 21在機(jī)構(gòu)的上、下平臺各建立一坐標(biāo)系，如圖所示，動坐標(biāo)系PXYZ建立在上平OXYZPXOXYZv變換到固定坐標(biāo)系中v[R]1vp (7.62)式中的[R]p為上平臺原點位置矢量，即何關(guān)系，可以很容易寫出上下平臺各鉸鏈點（bB,i1,2,...,6）在各自坐標(biāo)系中i i的坐標(biāo)值，再由公式錯誤！未找到引用源?？汕蟪錾舷缕脚_鉸鏈點在固定坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)值。這時6個驅(qū)動器桿長矢量li表示為

（i1,2,...,6）可在固定坐標(biāo)系中l(wèi)bi 或

B,i1,2,...,6i

(7.63)db'db'X

B11ix 12iy P ixldb'd b'Y B

(7.64)i21ixi db'

22iy P iyd b'Z 31ix從而得到機(jī)構(gòu)的位置反解計算方程l2l2l2l2ix iy i