二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

xyO

－222464－48二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)（1）?回憶一次函數(shù)的圖象是一條_____，反比例函數(shù)的圖象是________.(2)通常怎樣畫一個函數(shù)的圖象？直線雙曲線(3)二次函數(shù)的圖象是什么形狀呢？它又有哪些性質(zhì)？列表、描點、連線

結(jié)合圖象討論性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的研究函數(shù)的重要方法．我們得從最簡單的二次函數(shù)開始逐步深入地討論一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．1.列表：在y=x2中自變量x可以是任意實數(shù)，列表表示幾組對應值：x···－3－2－10123···y=x2······2.根據(jù)表中x,y的數(shù)值在坐標平面中描點（x,y）畫最簡單的二次函數(shù)y=x2

的圖象xyO－3336901491493.連線如圖，再用平滑曲線順次連接各點，就得到y(tǒng)=x2

的圖象．

從圖像可以看出，二次函數(shù)y=x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃球時球在空中所經(jīng)過的路線，只是這條曲線開口向上，這條曲線叫做拋物線y=x2

，二次函數(shù)y=x

2

的圖象是軸對稱圖形，

一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c12345x12345678910yo-1-2-3-4-5拋物線與它的對稱軸的交點（0，0）叫做拋物線的頂點它是拋物線的最低點．實際上,二次函數(shù)的圖象都是拋物線，對稱軸是y軸這條拋物線是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是？找?guī)讓ΨQ點？拋物線與對稱軸有交點嗎？

議一議(1)當x<0時,隨著x的值增大,y的值如何變化？當x>0呢？(2)當x取什么值時,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？觀察圖象,回答下列問題：xyO當x<0(在對稱軸的左側(cè))時,y隨著x的增大而減小.

當x>0(在對稱軸的右側(cè))時,y隨著x的增大而增大.

當x=-2時，y=4當x=-1時，y=1當x=1時，y=1當x=2時，y=4拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點外),頂點是它的最低點,開口向上,并且向上無限伸展;當x=0時,函數(shù)y的值最小,最小值是0.例1在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象．解：分別填表，再畫出它們的圖象，如圖x···－4－3－2－101234·········820.5084.520.54.5xyO

－222464－48觀察函數(shù)的圖象與函數(shù)y=x2的圖象相比，有什么共同點和不同點？xyO－222464－48相同點：開口方向：向上頂點：原點（0,0）——最低點對稱軸：y軸增減性：y軸左側(cè)，y隨x增大而減小

y軸右側(cè)，y隨x增大而增大簡稱：左降，右升

不同點：開口大小不同a值越大，拋物線的開口越?。畼O值：x=0時,y最小=0y=ax2(a≠0)a>0圖象開口方向頂點坐標對稱軸增減性極值xyO向上(0,0)y軸當x<0時，y隨著x的增大而減小。x=0時,y最小=0拋物線y=ax2(a>0)的形狀是由a來確定的,一般說來,a越大,歸納小結(jié)當x>0時，y隨著x的增大而增大。拋物線的開口就越小.a越小,拋物線的開口就越大.練習1：根據(jù)函數(shù)圖象填空：拋物線y=2x2的開口方向是對稱軸是

，頂點坐標是

,在

側(cè)，y隨著x的增大而增大；在

側(cè)，y隨著x的增大而減小，當x=

時，函數(shù)y的值最小，最小值是

,拋物線y=2x2在x軸的

方（除頂點外）。（0，0）y軸對稱軸的右對稱軸的左00上向上練習2：若拋物線y=ax2（a≠0），過點（－1，3）.

（1）則a的值是

；

（2）對稱軸是

，開口

.（3）頂點坐標是

，

拋物線在x軸的

方（除頂點外）.3y軸向上(0,0)上（4）求出這個二次函數(shù)的最大值或最小值.

（5）在此拋物線上有兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小.子目內(nèi)容1.2.1二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)第二課時圖象特征頂點．開口對稱性函數(shù)性質(zhì)增減性最值原點,是圖象的最低點．開口向上．關(guān)于y軸對稱．也可表示為：x<0時，y隨x的增大而減?。粁>0時，y隨x的增大而增大．x＝0時，函數(shù)y取最小值0．二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，簡稱為“右升”;圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，簡稱為“左降”.a越大,拋物線開口越小．鞏固練習：1、已知點(-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函數(shù)y=x2的圖象上，則（）

A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2

C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y32、拋物線y=x2的開口向

，頂點坐標為

，對稱軸為

，當x=-2時，y=

；當y=3時，x=

,當x≤0時，y隨x的增大而

；當x＞0時，y隨x的增大而

.探究

我們已經(jīng)會畫的圖象，能不能從它得出二次函數(shù)的圖象呢？在的圖象上任取一點

它關(guān)于x軸的對稱點Q的坐標是.

從點Q的坐標看出，點Q在

的圖象上．由此可知，的圖象與的圖象關(guān)于x軸對稱.因此只要把的圖象沿著x軸翻折并將圖象“復制”出來，就可以得到

的圖象.說一說

觀察的圖象，你能說說圖象具有哪些特征，該函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？圖象特征頂點開口對稱性函數(shù)性質(zhì)增減性最值原點,是圖象的最高點．開口向下．關(guān)于y軸對稱．也可表示為：x<0時，y隨x的增大而增大；x>0時，y隨x的增大而減?。畑＝0時，函數(shù)y取最大值0．二次函數(shù)

的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，簡稱為“右降”；圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，簡稱為“左升”.一般地，當a<0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì)．于是我們畫y=ax2（a<0）的圖象時，可以先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分，在畫右邊部分時，只需“列表、描點、連線”三個步驟．結(jié)論舉例例2畫二次函數(shù)的圖象．解列表舉例描點、連線畫出圖象在y軸右邊的部分．利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分,這樣就得到了

圖象．

練習在同一直角坐標系中畫出二次函數(shù)y＝-0.3x2及y＝-8x2的圖象，并比較它們的共同點與不同點.不同點：圖象開口的大小不同，可以發(fā)現(xiàn)a<0時，a越大,圖象開口越大．相同點：兩函數(shù)圖象頂點都是原點且是圖象的最高點，開口都向下，都是軸對稱圖形，對稱軸是y軸，在y軸的左側(cè)函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，在y軸的右側(cè)函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，x＝0時，函數(shù)y取最大值0．結(jié)論圖象特征頂點．開口對稱性函數(shù)性質(zhì)增減性最值原點,是圖象的最高點．開口向下．關(guān)于y軸對稱．也可表示為：x<0時，y隨x的增大而增大；x>0時，y隨x的增大而減?。畑＝0時，函數(shù)y取最大值0．二次函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象特征和函數(shù)性質(zhì)圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，簡稱為“右降”；圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，簡稱為“左升”.a越大,拋物線開口越大．在棒球賽場上，棒球在空中沿著一條曲線運動，它與二次函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象相像嗎？說一說以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點為原點建立直角坐標系，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向上，則可以看出棒球在空中經(jīng)過的路線是形如y=ax2(a<0)的圖象的一段．由此受到啟發(fā)，我們把函數(shù)y=ax2的圖象這樣的曲線叫作拋物線（parabola），簡稱為拋物線y=ax2．實際上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線.結(jié)論意大利著名科學家伽利略將炮彈發(fā)射經(jīng)過的路線命名為“拋物線”.小知識聯(lián)系實際，感受拋物線聯(lián)系實際，感受拋物線練習1．函數(shù)y=3x2,當x＝

時，函數(shù)y取得最_____值，函數(shù)y的最＿＿值為＿＿＿＿；當x<0時，y隨x的增大而＿＿＿＿，當x>0時，y隨x的增大而＿＿＿＿．０小?。皽p小增大練習2．若二次函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象上有兩點(2,y1)，(3,y2)，

則y1-y2

的值是（

）．A.正數(shù)B.負數(shù)C.非正數(shù)D.非負數(shù)A練習3．函數(shù)y=x2，，y=-2x2的圖象如圖所示，請指出

三條拋物線的名稱．答：①為拋物線，②為拋物線y=x2，③為拋物線y=-2x2．（1）本節(jié)課主要學習了哪些知識?小結(jié)與復習

y=ax2a>0a