5頻域分析1頻率特性基本概念

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法本章的主要內(nèi)容頻率特性的基本概念

典型環(huán)節(jié)的頻率特性

開環(huán)頻率特性

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)

穩(wěn)定裕度

閉環(huán)頻率特性

頻率特性分析

頻率響應(yīng)分析法的基本思想是：（1）把控制系統(tǒng)中的各個變量看成一些信號，而這些信號又是由許多不同頻率的正弦信號合成的。（2）各個變量的運動就是系統(tǒng)對各個不同頻率信號響應(yīng)的總和。（3）這一思想來源于通訊科學(xué)，在通訊科學(xué)中，各種音頻信號和視頻信號都被看作由不同頻率的正弦信號合成的。（4）這種方法于20世紀(jì)30年代被引入控制科學(xué)后，極大地推動了控制理論的發(fā)展，它克服了直接用微分方程研究系統(tǒng)的種種困難，解決了許多理論問題和工程問題，形成了分析和綜合系統(tǒng)的完整方法。概述

頻域分析法以控制系統(tǒng)的頻率特性作為數(shù)學(xué)模型，以極坐標(biāo)圖和伯德圖等圖表作為分析工具，來研究、分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。

（1）物理意義鮮明?？刂葡到y(tǒng)的運動是信號在一個一個環(huán)節(jié)之間依次傳遞的過程，每個信號又是一些不同頻率的正弦信號合成的，這些不同頻率正弦信號的振幅和相位在傳遞過程中，依一定的函數(shù)關(guān)系變化，就產(chǎn)生形式多樣的運動。（2）可以用實驗的方法求出對象的數(shù)學(xué)模型，特別是對于那些機(jī)理復(fù)雜或機(jī)理尚不明確而難以列寫微分方程的對象。（3）應(yīng)用乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，可不必求閉環(huán)特征方程的根，而由開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（4）頻率法的計算工作量小，這是因為它的部分工作是由作圖法完成的。由于采用作圖，使得這種方法比較直觀，易于工程技術(shù)人員掌握。（5）頻域法不僅適用于線性時不變系統(tǒng)，而且可以推廣到某些非線性系統(tǒng)。頻域法的優(yōu)點：5.1頻率特性

5.1.1基本概念下面以RC電路為例，說明頻率特性的基本概念。網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為若網(wǎng)絡(luò)輸入為正弦信號，即可得：網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出仍是正弦電壓，其頻率和輸入電壓頻率相同，幅值是輸入的倍，相角比輸入滯后，兩者都是的函數(shù)，稱為RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性，稱為RC網(wǎng)絡(luò)的相頻特性。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)響應(yīng)：稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性，習(xí)慣上用表示，即，將頻率特性和傳遞函數(shù)比較可知，只要將傳遞函數(shù)中的s以置換，即可得頻率特性，即這一結(jié)論對任何穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)都是正確的。5.1.2頻率特性的定義

頻率特性：輸出信號的Fourier變換象函數(shù)與輸入信號的Fourier變換象函數(shù)之比。其物理意義即反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力：同頻、變幅、移相。對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。若：則：拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時：式中，分別為：即為系統(tǒng)的頻率特性：而幅頻特性為的偶函數(shù)相頻特性為的奇函數(shù)實部是頻率的偶函數(shù)虛部是頻率的奇函數(shù)于是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量為：式中為輸入信號的幅值，為輸出信號的幅值上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，輸入為正弦信號時，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動了。

和都是頻率的函數(shù)。

相頻特性是輸出信號正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性。

由此可見幅頻特性是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與正弦輸入信號的幅值之比。它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的幅值放大特性。幅頻特性函數(shù)：相頻特性函數(shù)：實頻特性函數(shù)：虛頻特性函數(shù)：

微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性的關(guān)系5.1.3頻率特性的幾何表示方法1、極坐標(biāo)圖或幅相頻率特性曲線（Nyquist曲線）

這種曲線的特點是把頻率看成參變量，當(dāng)從變化時，將頻率特性的幅頻和相頻特性或?qū)嶎l和虛頻特性同時表示在復(fù)數(shù)平面上。例如，以RC電路的頻率特性為例，，給出一組數(shù)據(jù)：極坐標(biāo)圖（Nyquist曲線）：①規(guī)定實軸正方向為相角零度線，曲線逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)。②對于一個給定的值，必有一個幅值為、相角為的向量與之對應(yīng)。如時，則有③幅相曲線實際上是當(dāng)變化時，矢量的矢端在

平面上描繪出的一條曲線。根據(jù)以上表格，可以畫出RC網(wǎng)絡(luò)的幅相曲線，如下圖。④由于幅頻為的偶函數(shù)，相頻為的奇函數(shù)，所以當(dāng)時的幅相曲線對稱于實軸。⑤變化時相應(yīng)的向量矢端曲線可以看成是S平面上這段虛軸經(jīng)的映射而來；同樣，變化時相應(yīng)的向量矢端曲線可以看成是S平面上這段虛軸經(jīng)的映射而來。

2、對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）對數(shù)頻率特性圖也稱為伯德圖（Bode），是由對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線組成。對數(shù)頻率特性圖的橫坐標(biāo)是，采用以10為底的對數(shù)分度（對于頻率是非線性分度），單位是rad/s。對數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，按均勻分度，單位是dB，常用符號表示，即(dB)；相頻特性的縱坐標(biāo)為，按度（）或弧度（rad）線性分度。由于當(dāng)時，無意義，對數(shù)頻率特性只能表示的情況，所以由此構(gòu)成的坐標(biāo)系又稱為半對數(shù)坐標(biāo)系。1貝爾（B）=10分貝（dB）

對數(shù)頻率特性圖的優(yōu)點：①由于橫坐標(biāo)采用了對數(shù)分度（對于每十倍頻率范圍，對數(shù)分度呈左疏右密狀），所以使高頻部分橫坐標(biāo)得到了壓縮，而低頻部分相對展寬。從而一方面可以擴(kuò)大頻率的觀察范圍，另外一方面又可以將低頻部分放大；②可以簡化運算將原來對數(shù)幅頻的乘除運算，變成為了取對數(shù)以后的加減運算，從而使運算得到了簡化。③方便疊加作圖對數(shù)頻率特性可以用分段直線的漸近線來表示，因此在進(jìn)行疊加作圖時，只需要在直線斜率變化時，修正直線的斜率即可，因而大大簡化了作圖過程，降低了工作量。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：，頻率特性：，幅頻特性：，相頻特性：對數(shù)幅頻特性：，對數(shù)相頻特性：ReImK極坐標(biāo)圖：Bode圖：5.2.2積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：，頻率特性：，幅頻特性：，幅值的大小與成反比，相頻特性：，因此曲線在負(fù)虛軸上。對數(shù)幅頻特性：，對數(shù)相頻特性：以－20dB/dec的直線經(jīng)過極坐標(biāo)圖：Bode圖：5.2.3微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：，頻率特性：，幅頻特性：，幅值大小與成正比，相頻特性：，因此曲線在正虛軸上。對數(shù)幅頻特性：，對數(shù)相頻特性：

微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性僅差一個符號，因此它們的伯德圖關(guān)于橫軸對稱。以+20dB/dec的直線經(jīng)過極坐標(biāo)圖：Bode圖：5.2.4慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：，頻率特性：，幅頻特性：，相頻特性：，

對數(shù)幅頻特性：

上式中稱為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可以概括為：

位于第四象限的半圓

為什么是第四象限？對數(shù)相頻特性：

圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍(lán)線是實際曲線。極坐標(biāo)圖：Bode圖：5.2.5一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：，頻率特性：，幅頻特性：，相頻特性：，

對數(shù)幅頻特性：

上式中稱為微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可以概括為：

對數(shù)相頻特性：

一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)特性曲線與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)特性是依橫軸成鏡像對稱的。

極坐標(biāo)圖：Bode圖：5.2.6振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：

幅頻特性：，相頻特性：

實頻特性：虛頻特性：

上式中稱為振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。隨著由的變化，振蕩環(huán)節(jié)的幅值從1開始不斷減小，直至為0。但實際情況是在阻尼比，且頻率為某一值時，振蕩環(huán)節(jié)的幅值會超過1，可見在此頻率時，振蕩環(huán)節(jié)一定發(fā)生了諧振。利用高等數(shù)學(xué)中求極值的方法，可以求得諧振時的頻率和諧振時的幅頻峰值?？梢詺w納如下：對數(shù)幅頻特性：諧振頻率諧振峰值振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可以概括為：

誤差修正：對數(shù)相頻特性：

極坐標(biāo)圖：Bode圖：5.2.7二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：，相頻特性：實頻特性：，虛頻特性：