材料力學(II)第三章

第3章能量方法§3-1概述§3-2應(yīng)變能·余能§3-3卡氏定理§3-4用能量法解超靜定系統(tǒng)§3-5虛位移原理及單位力法1§3-1概述圖中AB和AC桿的直徑分別是d1=12mm，d2=15mm，彈性模量均為E=210GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)2若利用外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，即就不需要用到變形幾何關(guān)系，計算較為簡便。若用解析法求解時，必須利用圖c列出變形的幾何關(guān)系，計算比較麻煩。1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)x45o30oyA(b)F3利用功和能的概念求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法統(tǒng)稱為能量法。能量法的應(yīng)用很廣，也是有限元法求解固體力學問題的重要基礎(chǔ)。4(a)軸向拉（壓）桿Ⅰ應(yīng)變能(1)線彈性體1.基本變形形式【材料力學(Ⅰ)】利用應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力功W，可得§3-2應(yīng)變能·余能5(b)扭轉(zhuǎn)6(c)彎曲純彎曲橫力彎曲7可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成式中，F(xiàn)為廣義力，可以代表一個力，一個力偶，一對力或一對力偶等。D為廣義位移，可以代表一個線位移，一個角位移，一對線位移或一對角位移等。8Fi為廣義力，Di為Fi的作用點沿Fi方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。

3.組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）小變形時不計FS產(chǎn)生的應(yīng)變能，M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角dqFN

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移dDT(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角dj2.有n個廣義力同時作用時9對于dx微段，F(xiàn)N(x),T(x),M(x)均為外力。略去高階微量后，dx段的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為10(a)由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。小變形時，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能等于各力單獨作用時產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。4.應(yīng)變能的特點:EAF2F1ab例F1F2Me11(b)應(yīng)變能的大小與加載順序無關(guān)（能量守恒）F和Me

同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值——簡單加載。在線性彈性范圍時，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。上圖中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)12先加F,再加Me

(圖b，c)式中，F(xiàn)·wC,Me為力F在由Me產(chǎn)生的C點處的撓度上作功，所以無1/2系數(shù)。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),13還可以先加Me

，再加F，得到的應(yīng)變能Ve和以上的值相同。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),14因為是彈性體，所以應(yīng)變能在數(shù)值上仍等于外力功，即Ve=W，但必須注意F-D以及s-e的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計算外力功。(2)非線性彈性體(3-1)應(yīng)變能為（F-D曲線和D軸之間的面積）應(yīng)變能密度為（s-e

曲線和e軸之間的面積）(3-2)1.軸向拉伸與壓縮15應(yīng)變能密度式中，Me為扭轉(zhuǎn)力偶矩，j為扭轉(zhuǎn)角，t為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，g為切應(yīng)變。2.扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能16式中，Me為外力偶矩，q為彎曲轉(zhuǎn)角，s為正應(yīng)力，e為線應(yīng)變。應(yīng)變能密度應(yīng)變能和應(yīng)變能密度之間的關(guān)系為式中，V為體積。3.梁應(yīng)變能17原為水平位置的桿系如圖a所示，試計算在荷載F1作用下桿系的應(yīng)變能。兩桿的材料均線彈性彈性模量均為E,橫截面面積均為A。例題3-118(1)將(1)式代入上式得(2)首先分析力F和位移D之間的關(guān)系，求出F=f(D)的表達式，然后利用求Ve。設(shè)兩桿的軸力均為FN

，兩桿的伸長量和A點的位移分別為例題3-1解:19由結(jié)點A的平衡方程，得由于a為小角度，(3)(4)所以(5)將(4)式代入(3)式，得例題3-120或?qū)懗?7)F

和D的關(guān)系如圖b所示。將(5)式代入(2)式，得(6)桿的應(yīng)變能為例題3-121(1)由于力F引起的變形

l，對FN產(chǎn)生影響，形成F和D的非線性關(guān)系，而應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)詾榫€性關(guān)系——幾何非線性。當材料為非線性彈性體時，即應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榉蔷€性時——物理非線性。例題3-1(2)幾何非線性時，不能用求應(yīng)變能，而只能用求應(yīng)變能。22例1

求圖示簡支梁的變形能，并求yC

解：

1.求支反力

2.列彎矩方程

AC段：

CB段：

23例1

求圖示簡支梁的變形能，并求yC

解：

1.求支反力

2.列彎矩方程

AC段：

CB段：

3.求梁的變形能

4.求fC24Ⅱ.余能圖a為非線性體彈性體的受拉桿，其F-D和s-e關(guān)系如圖b、c所示。(1)余功的定義為(3-6)25其大小為曲面OF1a的面積如圖d所示。Wc

和外力功W具有相同的量綱，且Wc

為矩形OF1aD1

的面積與曲面OaD1

的面積（W）之差（圖d）,故稱Wc

為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無物理概念，即沒有什么力作的功為Wc

。FF1WcaWD1Do(d)26余能密度為(3-8)(3-7)和(3-8)式，分別以F和

s為自變量，D=f(F)，e

=f(s

)。所以Vc=f(F)為受力狀態(tài)的函數(shù)。VcVeF1FD

D1

a(e)o(3)線彈性體(圖e)Ve

和Vc

數(shù)值相等，但概念和計算方法不同，仿照Ve=W，余能為(3-7)(2)余能(3-9)余能為27圖a中兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸時的

s~e關(guān)系如圖b

所示。求結(jié)構(gòu)的余能。例題3-228由結(jié)點C的平衡方程，得二桿的軸力為應(yīng)力為解:該題為物理非線性問題，需用求Vc。其中。例題3-229余能密度為結(jié)構(gòu)的余能為由b圖所示的單軸拉伸時的s~e的關(guān)系可得例題3-230設(shè)各力和相應(yīng)位移的瞬時值分別為fi、δi，各力在其相應(yīng)的位移上做功,并注意到材料為非線性彈性體，梁的應(yīng)變能為圖示梁的材料為非線性彈性體，F(xiàn)i為廣義力，Di為廣義位移。各力同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡單加載）。Ⅰ.卡氏第一定理(3-10)§3-3卡氏定理為位移狀態(tài)函數(shù)。31假設(shè)與第i個荷載Fi相應(yīng)的位移Di有一微小位移增量dDi，而與其余荷載相應(yīng)的位移,以及各荷載均保持不變。外力功和應(yīng)變能的增量分別為(dDi不是由Fi產(chǎn)生的，F(xiàn)idDi為常力做的功)(a)(b)式中，為應(yīng)變能對位移Di的變化率。32(3-11)式為卡氏第一定理。它說明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。以上推導(dǎo)中并沒有涉及到梁的具體性質(zhì)，故(3-11)適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。對于線彈性體也必須把Ve寫成給定位移的函數(shù)形式。(3-11)得令33圖a所示結(jié)構(gòu)中，AB和BC桿的橫截面面積均為A，彈性模量均為E。兩桿處于線彈性范圍內(nèi)。試用卡氏第一定理，求B點的水平位移D1和鉛垂位移D2

。例題3-334解:1.計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能Ve

卡氏第一定理要求把應(yīng)變能寫成位移D1和D2的函數(shù)，D1和D2是由AB和BC桿的變形量dAB及dBC所引起的。首先分析dAB、dBC與D1和D2的幾何關(guān)系。dAB=D1，dBC=D1cos45?

=設(shè)B點只發(fā)生水平位移D1(圖b)，例題3-335D1和D2同時發(fā)生時，由于是線彈性問題，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為(2)設(shè)B點只發(fā)生鉛垂位移D2(圖c)，例題3-336(3)(4)可以驗證(3)和(4)式相當于平衡方程。聯(lián)立求解(3)和(4)，得由卡氏第一定理，得2.由卡氏定理求D1，D2例題3-337也可用結(jié)點A的位移圖(圖d)求dAB、dBC與D1和D2之間的關(guān)系。由圖d可得例題3-3(d)38Ⅱ.卡氏第二定理圖示為非線性彈性桿，F(xiàn)i為廣義力，Di為廣義位移。各力按簡單加載方式作用在梁上。設(shè)加載過程中各位移和相應(yīng)力的瞬時值分別為di、fi。梁的余能為表明(1)余能定理(3-12)39令上式稱為余能定理?？捎糜谇蠼夥蔷€性彈性結(jié)構(gòu)與Fi相應(yīng)的位移。(3-13)得設(shè)第i個力Fi有一個增量dFi，其余各力均保持不變，各位移均不變。余功和余能的改變量分別是40圖a中兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A，材料在單軸拉伸時的s－e的關(guān)系如圖b所示。試用余能定理求結(jié)點C的鉛垂位移D1。例題3-441解:在例題3-3中，已求出結(jié)構(gòu)的余能為由余能定理得例題3-442設(shè)BC和CD桿的伸長量為d，容易驗證上式的，即為變形的幾何關(guān)系。兩桿的伸長量為由平衡方程得則BC和CD桿橫截面上的的應(yīng)力為故例題3-443(2)卡氏第一定理和余能定理的比較

余能定理

卡氏第一定理Di→Di+dDi，其它位移均不變，所有的力均不變。Fi→Fi+dFi，其它力均不變，所有的位移均不變。44續(xù)表

余能定理

卡氏第一定理(平衡方程)(變形的幾何關(guān)系)適用于非線性和線性彈性體適用于非線性和線性彈性體45(3)卡氏第二定理當結(jié)構(gòu)為線彈性體時，由于力F和位移D成正比，Vc在數(shù)值上等于應(yīng)變能Ve（如圖）。若把Ve用力表示，即(3-13)式可改寫成(3-14)上式稱為卡氏第二定理，它是余能定理在線彈性情況下的特殊情況。僅適用于線彈性體，它將是研究的重點。VcF1FD

D1

a(e)O46它表明，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對于作用其上的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移。注意:組合變形（不計剪力的影響）時也可以寫成用該式計算時，可減少計算工作量。47圖示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI，不計剪力對位移的影響。試用卡氏第二定理求梁A端的撓度wA。例題3-548因為A截面處無與wA相應(yīng)的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虛加一個與wA相應(yīng)的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即這是因為為n個獨立廣義力的二次齊次式,其中也可以作為一個廣義力。解:1.分析例題3-549

梁的彎矩方程以及對F的偏導(dǎo)數(shù)分別為利用卡氏第二定理，得這種虛加F力的方法，也稱為附加力法。（和假設(shè)的F

的指向一致）2.求wA例題3-550圖

a所示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI。用卡氏第二定理求中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角DqB。不計剪力對位移的影響。例題3-651

在中間鉸B的兩側(cè)截面處各加一個外力偶矩

MB

，并求出在一對外力偶

MB及q共同作用下梁的支反力(圖

b)。B截面兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角，就是與一對外力偶

MB

相應(yīng)的相對角位位移，即解:1.分析例題3-652梁的彎矩方程及其對MB的偏導(dǎo)數(shù)分別為AB段2.求DqB例題3-653中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角DqB為結(jié)果為正，表示廣義位移的轉(zhuǎn)向和MB的轉(zhuǎn)向一致。(0≤x≤l)()BC段例題3-654圖a所示為一等截面開口圓環(huán)，彎曲剛度為EI，材料為線彈性。用卡氏第二定理求圓環(huán)開口處的張開量D。不計剪力和軸力的影響。例題3-755解:圓環(huán)開口處的張量就是和兩個F力相對應(yīng)的相對線位移，即

用j角表示圓環(huán)橫截面的位置，并規(guī)定使圓環(huán)內(nèi)側(cè)受拉時彎矩為正，則彎矩方程及其對F的偏導(dǎo)數(shù)分別為例題3-756

結(jié)果為正，表示廣義位移方向和廣義力的指向一致。利用對稱性，由卡氏第二定理，得例題3-757[例11-6]軸線為半圓形的平面曲桿，作用于A端的集中力P垂直于軸線所在的平面。試求A點的垂直位移。已知GIp、EI為常量。(1)扭矩和彎矩方程AF解：FFARA58(2)應(yīng)變能(3)豎向位移59圖a所示Z字型平面剛架中，各桿的彎曲剛度均為EI，材料為線彈性，不計剪力和軸力對位移的影響。用卡氏第二定理求A截面的水平位移DAx

及鉛垂位移DAy和A截面的轉(zhuǎn)角qA。例題3-860在A截面處虛加Fx和MA（圖b），則解:1.分析例題3-861M(x)=-Fx-MA(0≤x≤

3a)AB段2.分段列彎矩方程，并分別對Fx、F、MA求偏導(dǎo)數(shù)例題3-862B

(c)M(x)F3FaxqABC段將力F向B截面簡化，得到作用于B的豎直力F和力偶矩3Fa，F(xiàn)x和F在垂直于BC桿方向上的分力分別為Fxsinq和Fcosq，指向如圖c中虛線所示。例題3-863M(x)=Fx4a-Fx-MA

(0≤

x≤3a)CD段例題3-864由卡氏第二定理可得3.求DAx

、DAy、qA。例題3-865（）例題3-86667懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1、2兩截面的撓度分別為w1和w2。試證明：w11FF2w2例題3-968證明：設(shè)作用在1、2兩截面的外力分別為F1和F2，且F1=F2＝F，則梁的應(yīng)變能為Ve=Ve(F1，F(xiàn)2)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有w11FF2w2例題3-969由以上結(jié)果可知，若結(jié)構(gòu)上有幾個外力的字符相同時，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點沿該力方向的位移時，應(yīng)將該力與其它力區(qū)分開，利用卡氏定理后，再把該力用原來的字符表示。例如，求上述梁的w1時，應(yīng)將1截面的力設(shè)為F1，則例題3-9w11FF2w270圖a所示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和軸力對位移的影響。試用卡氏第二定理求A截面的鉛垂位移DAy。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2例題3-1071由于剛架上A、C截面的外力均為F，求A截面的鉛垂位移時，應(yīng)將A處的力F和C處的力F區(qū)別開(圖b)，在應(yīng)用卡氏第二定理后，令FA=F。即解:1.分析(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2例題3-1072AB段（0≤x≤l）

M(x)=?FAx，各段的彎矩方程及其對

FA的偏導(dǎo)數(shù)分別為BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=?FAl，2.求DAy例題3-10(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y273CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=?FAl?Fy2，

令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得例題3-1074

圖示各桿的直徑均為d，材料的彈性常數(shù)G=0.4E。試用卡氏第二定理求

A端的鉛垂位移DAz（不計剪力對位移的影響）。FlCBAlxxyzO例題3-1175解:1.分段列彎矩方程及扭矩方程，并分別對力F求偏導(dǎo)數(shù)AB段的彎矩方程及其對F的偏導(dǎo)數(shù)分別為（0≤x≤l）（0≤y≤l）BC段的彎矩和扭矩方程及其對F的偏導(dǎo)數(shù)分別為例題3-1176

A端的鉛垂位移為2.求DAz例題3-1177Ⅰ.卡氏第一定理()§3-4用能量法解超靜定系統(tǒng)78圖a所示各桿的彈性模量均為E，橫截面面積均為A。試用卡氏第一定理求各桿的軸力。例題3-1279

設(shè)1、2、3桿的軸力分別為FN1、FN2和FN3（圖b），相應(yīng)的位移為D1、D2和D3（圖c）。由對稱性可知，F(xiàn)N1=FN2，D1＝D2。由圖c可知：(1)若求出D3，可由(1)求出D1（D2）。再由胡克定律求出各桿的軸力。以D3為基本未知量，該題為一次超靜定。解:1.分析例題3-1280(2)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為將(4)式代入(1)得解得(4)(3)得，由2.求D1(D2)、D3例題3-1281由胡克定律得3.求各桿的軸力例題3-1282以位移作為基本未知量求解超靜定問題的方法，稱為位移法。(1)式為變形的幾何方程，(3)式為平衡方程。求軸力時又應(yīng)用了物理方程。故位移法仍然是綜合考慮了平衡方程，幾何關(guān)系和物理方程來求解超靜定問題的。例題3-1283圖a中k≥3。各桿的彈性模量均為E，橫截面面積分別為A1,A2

…，Ak

。試用卡氏第一定理求各桿的軸力。例題3-1384若以各桿的軸力為未知量，該題為(k-2)次超靜定問題。若以A點的水平位移Dx和鉛垂位移Dy為未知量，各桿的位移均可用Dx、Dy表示，再由胡克定律求出軸力，該題為二次超靜定問題。解:1.分析例題3-1385由圖b可知，第

i根桿的伸長量為(2)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為(3)第i根桿的長度為(1)2.求Ve例題3-1386由，得(5)聯(lián)解(4)，(5)可得Dx和Dy

。把Dx和Dy代入(2)可得Dli，由胡克定律得到第i根桿的軸力(4)3.求各桿軸力例題3-1387Ⅱ.余能定理()88三桿的材料相同，s

=Ke1/n(n>1)，橫截面面積均為A，1、2兩桿長度為

l。用余能定理求各桿的軸力。例題3-1489以鉸鏈D的支反力X為多余未知力，基本靜定系如圖b所示，F(xiàn)，X看作基本靜定系上獨立的外力，所以Vc=Vc

(F,X)（不能含有其它未知力）因為鉸鏈

D

處沿鉛垂方向的位移為零，應(yīng)有由該式求出X

后，再利用平衡方程求各桿的軸力。解:1.分析例題3-1490(1)（軸力均用F和X表示）由平衡方程得各桿的軸力分別為各桿的應(yīng)力分別為(2)(3)由得2.計算結(jié)構(gòu)的余能（因為該題是幾何線性，而材料為非線性問題，故先計算各桿的余能密度。）例題3-1491結(jié)構(gòu)的余能為三桿的余能密度分別為例題3-1492由，得將X值代入(1)，得以力為基本未知量解超靜定問題的方法，稱為力法。(4)式包含了平衡方程和物理方程，而，表示變形的幾何關(guān)系。3.求各桿軸力例題3-1493Ⅲ.卡氏第二定理()用卡氏第二定理來解超靜定問題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載及選定的多余未知力作為基本靜定系上獨立的外力，應(yīng)變能只能為荷載及選定的多余未知力的函數(shù)，即變形幾何關(guān)系為，

Di為和Xi的相應(yīng)位移，它是和約束情況有關(guān)的已知量。9495圖a所示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和力對位移的影響，用卡氏第二定理求支座約束力。例題3-15ACBqll(a)96由，得該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力FCy

為多余未知力，基本靜定系如圖b所示。由于Ve為荷載q及選定的多余未知力FCy的函數(shù)，即Ve=V(q,FCy)，但是在中，出現(xiàn)FAx(Ve

也將出現(xiàn)FAx)，必須把FAx用q,FCy

表示。

解:1.分析例題3-15qABlFAyFCyFCxl(b)yxFAxCACBqll(a)97CB、AB段的彎矩方程及其對X的偏導(dǎo)數(shù)分別為由，得2.求FCy，并由平衡求其它支反力例題3-15qABlFAyFCyFCxl(b)yxFAxC98解得（↓）和圖示方向相反。其結(jié)果可以結(jié)合平衡條件求得其它支座約束力例題3-15qABlFAyFCyFCxl(b)yxFAxC99半圓環(huán)的彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對位移的影響，用卡氏第二定理求對稱截面上的內(nèi)力。例題3-16100沿半圓環(huán)的對稱截面處將半圓環(huán)截開，取兩個1/4圓環(huán)為基本靜定系（圖b)，多余未知力為軸力X1，彎矩X2，剪力X3。該題為三次超靜定。(a)

但由于結(jié)構(gòu)與荷載均是對稱的，內(nèi)力也應(yīng)該是對稱的，但X3是反對稱的，故X3＝0，問題簡化為二次超靜定。半圓環(huán)的應(yīng)變能只能為F、X1、X2的函數(shù)，即解:1.分析例題3-16101與X1、X2相應(yīng)的位移條件分別為兩截面的相對線位移和相對角位移為零，即(b)例題3-16102彎矩方程及其對X1，X2的偏導(dǎo)數(shù)分別為(c)2.求X1和X2例題3-16103注意到基本靜定系為兩個1/4圓環(huán)，(b)式成為(d)(e)將(c)式代入(d)和(e)式，可解得X1和X2的結(jié)果為正值，表示與假設(shè)的方向一致。例題3-16104105Ⅰ.虛位移原理(1)剛體虛位移——滿足約束條件的假想的任意微小位移。虛位移原理——作用于剛體上的力對于任何虛位移所作的元功等于零（平衡的必要和充分條件）?！?-5虛位移原理及單位力法106(2)可變形固體——外力作用下，物體產(chǎn)生變形的同時產(chǎn)生內(nèi)力虛位移——滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任意微小位移。虛位移原理——外力和內(nèi)力對于虛位移所作的總虛功等于零（平衡的充要條件），即We（外力虛功）＋Wi（內(nèi)力虛功）＝0(3-15)1071.梁的虛位移原理圖a所示的位移為由荷載產(chǎn)生的實際位移，簡稱實位移。荷載對于其相應(yīng)位移上所作的功為實功。圖b所示的位移為梁的虛位移