用特殊化思想巧解高考選擇題-2

用特殊化思想巧解高考選擇題廣西上思縣上思中學(文)王春雷（中學二級教師）(評注)凌旭球（中學特級教師）如果對于一般條件A，命題成立，那么對于一般條件A中的特殊條件、具體問題，命題也應成立。據(jù)此，對一些較為抽象或一般規(guī)律又無顯露的數(shù)學問題，尤其是答案相對唯一的選擇題，可以采用抽象問題具體化、一般問題特殊化的方法來驗證，而無需作費時費力的嚴格推證，從而避免“小題大做”，以降低難度，盡快確定正確答案。這種解題思路就是所謂的數(shù)學解題中的特殊化思想。本文擬就如何運用特殊化思想巧解高考選擇題例舉如下：一、抓住特殊因素，尋求解題思路。某些數(shù)學問題，有時難以識別它屬于我們所熟悉的哪一類常規(guī)問題，或雖有常規(guī)方法，但解法將不勝其煩。對于這類問題，應著眼于問題本身的特殊性，緊緊抓住一、兩個重要的特殊因素，并以此作為突破口，去探求解題思路。例1-1(1997年全國高考)定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合。設，給出下列不等式：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④其中成立的是()：A、=1\*GB3①=4\*GB3④B、=2\*GB3②=3\*GB3③C、=1\*GB3①=3\*GB3③D、=2\*GB3②=4\*GB3④解：特取，，則、滿足題目條件。設，代入驗證易知，=1\*GB3①、=3\*GB3③成立，故選C。評注：本例據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)和特征，從滿足條件的特殊函數(shù)(特殊值)入手分析探求，尋求出問題的解題思路和結論。例1-2(2001年全國高考)設、都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題：=1\*GB3①若單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增=2\*GB3②若單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增=3\*GB3③若單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減=4\*GB3④若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減其中正確的命題是()A、=1\*GB3①=3\*GB3③B、=1\*GB3①=4\*GB3④C、=2\*GB3②=3\*GB3③D、=2\*GB3②=4\*GB3④解：特取，知命題=1\*GB3①錯，排除A，B特取，知命題=4\*GB3④錯，排除D，從而選C。評注：本題從發(fā)現(xiàn)符合條件的特殊例子(有時是特殊數(shù)值)入手，借用特殊解決一般，收到事半功倍之效。例1-3：(1999年全國高考)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且則函數(shù)在區(qū)間上是()A、增函數(shù)B、減函數(shù)C、可以取得最大值MD、可以取得最大值解：不妨取，得，畫出函數(shù)圖象，即知選C。評注：對于條件或結論是一般性的三角題，通常取特例(即考慮特殊角、特殊三角函數(shù))進行驗算解答，可以起到以特殊估一般之效。二、巧用特殊因素，優(yōu)化解題方案。對有些外形貌似熟題的數(shù)學問題，如果輕易套用常規(guī)方法，則會加大計算量，甚至無法求出結果，此時，應巧妙地運用特殊因素，尋求最優(yōu)方案，方能收到事半功倍之效。例2-1(2001年全國高考)若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足，則的取值范圍是()A、B、C、D、解：特取時，可排除C、D；而當時，無意義，故選A。評注：本例常規(guī)解法是：由于，知，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，即，故選A。然而這里運用了特殊值求解，更顯方法之優(yōu)。例2-2（2002年全國高考）已知，則有（）A、B、C、D、解：特取，則所以應選D。評注：對于某些只需比較大小的題目而言，若用常規(guī)方法來解（或證明），有時會不勝其煩，但若巧取特殊值（如：時可取，時可取等等）則會大大優(yōu)化解題過程。例2-3(2001年北京春季高考)根據(jù)市場調(diào)查結果，預測某種家用商品從年初開始的幾個月內(nèi)累積的需求量(萬件)近似地滿足。按此計算，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是()A、5月、6月B、6月、7月C、7月、8月D、8月、9月解：設月的需求量為，由備選項可取則，，由此可排除A、B、D，故選C。評注：本例從題設結構入手，巧取特殊項，從而減少運算量，簡化了解題過程。三、分析特殊因素，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律對一些較為抽象的數(shù)學問題，一般規(guī)律又無顯露，此時，可利用特殊因素來探路，進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出正確結論。圖3-1例3-1：（2001年全國高考）一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：=1\*GB3①單向傾斜；=2\*GB3②雙向傾斜；=3\*GB3③四向傾斜。記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3。若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則

(A)P3=P2>P1

(B)P3>P2=P1

(C)P3>P2>P1

(D)P3=P2=P1圖3-1解：令，即可知選D。評注：由射影面積公式（）可知：與斜面和水平面所成角有關，而與斜面內(nèi)圖形形狀及圖形放置無關。本例抓住“所成角都是”及“射影面積（民房面積）不變”，取特值，將三種不同的房蓋均變成平房蓋，而同一間民房的房蓋面積（即射影面積）全部相等，從而得解。例3-2：(1999年全國高考)如圖3-21，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）圖3-21A、B、5圖3-21C、6D、解：特取直三棱柱BCF－AGD，如圖3-22，則圖3-22圖3-22故選D評注：有些立體幾何問題，為了考查考生的辨別能力，故意將有規(guī)則的幾何圖形改造為不規(guī)則的圖形。對此，我們可用“割補法”補成規(guī)則圖形或?qū)D形規(guī)則化、特殊化，從而使問題化解。由此可知，眾多數(shù)學問題具備各自的特殊性，若能充分挖掘隱藏于數(shù)學問題中或與之相關的特殊值、特殊式、特殊點(線、面)、特殊位置、特殊關系…，就能巧妙地利用這些特殊因素使問題得以順利求解?？傇u：數(shù)學充滿著辯證法，一般性往往寓于特殊性之中。解決數(shù)學問題時，將一般問題特殊化和將特殊問題一般化是常用的兩種策略。數(shù)學思想是