2022-2023學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．橢圓的長軸長為（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得.【詳解】因橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，即，故長軸長為.故選：B.2．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式以及切線的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率等于3，所以直線的斜率等于，即，解得，故選:D.3．在等比數(shù)列中，，，則是（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用等比中項(xiàng)求解即可.【詳解】等比數(shù)列中,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，，所以，故選：D.4．已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可求，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋裕蔬x:C.5．定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（

）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，再結(jié)合即可求解的值．【詳解】依題意得，又，所以．故選：C．6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別令，2，3，4代入通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】把，2，3，4依次代入通項(xiàng)公式，得，，，.故選：A7．已知，函數(shù).若存在，使得，則當(dāng)取最大值時(shí)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，由結(jié)合參變量分離法可得出，可求得的最大值，將的最大值代入函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，依題意，因?yàn)榇嬖?，使得，所以，即有解，因?yàn)椋瑒t，所以有解，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的最大值?此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故選：C.8．已知函數(shù)，，，，若，，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)選項(xiàng)中不等式特征構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，繼而構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性推出，再結(jié)合不等式性質(zhì)即可推出答案.【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故，即，由于，，故，則，即，所以A錯(cuò)誤，B正確；由，，無法確定還是，C，D錯(cuò)誤，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)各選項(xiàng)中不等式特征，能夠構(gòu)造函數(shù)以及，繼而判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解決問題.二、多選題9．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)C．在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是D．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為【答案】BCD【分析】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項(xiàng)A正誤;利用數(shù)列的通項(xiàng)公式等于110,計(jì)算出結(jié)果,即可得選項(xiàng)B的正誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,即可得選項(xiàng)C、D的正誤.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列-2023,0,4的首項(xiàng)是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項(xiàng)是4,所以兩個(gè)數(shù)列不是同一個(gè),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),解得:或(舍),即110是該數(shù)列的第10項(xiàng),故選項(xiàng)B正確;因?yàn)閿?shù)列可寫為:,所以第8個(gè)數(shù)是,故選項(xiàng)C正確;因?yàn)樗钥梢钥醋鰯?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,故選項(xiàng)D正確.故選：BCD10．已知無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．在數(shù)列中，最大； B．在數(shù)列中，最大C． D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】由題得，即可解決.【詳解】由題知，無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以，所以等差數(shù)列為遞減數(shù)列，所以在數(shù)列中，最大；當(dāng)時(shí)，；故選：AD11．設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)數(shù)存在，且，則當(dāng)時(shí)（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】對于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反例即可排除；對于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞增，從而得以判斷.【詳解】對于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯(cuò)誤(排除)，若，則，故B錯(cuò)誤(排除)；對于CD，因?yàn)?，在上的?dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D正確.故選：CD.12．已知函數(shù)，，則（

）A．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則B．若函數(shù)恒成立，則C．若函數(shù)和共有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．若函數(shù)和共有三個(gè)不同的零點(diǎn)，記為、、，且，則【答案】ABD【分析】對于A，利用參變量分離法可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；對于B，由參變量分離法可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可判斷B選項(xiàng)；對于C，由參變量分離法可知，直線與函數(shù)、的圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；對于D，先利用同構(gòu)法得到，再利用的單調(diào)性結(jié)合圖像得到，，進(jìn)而證得，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，由，可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，函數(shù)的極小值為，如圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A對；對于B選項(xiàng)，由可得，令，其中，，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故，所以，，B對；對于C選項(xiàng)，令，可得，因?yàn)楹瘮?shù)、共有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則直線與函數(shù)、的圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)、的圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，若函數(shù)和共有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若函數(shù)和共有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，且在上單調(diào)遞減，故，同理：，即，又由得，故，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.三、填空題13．設(shè)，則.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】由，所以，即.故答案為：14．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，則．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，解得即可.【詳解】因?yàn)?，則，令可得解得.故答案為：15．兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)有即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，所以.故答案為:.16．已知數(shù)列滿足是的等差中項(xiàng)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】利用等差中項(xiàng)列式，探討數(shù)列項(xiàng)間關(guān)系，求出的通項(xiàng)，再列出不等式求解作答.【詳解】依題意，，即，因此，而，即，于是得數(shù)列都是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此，，即有，，由得：，整理得，即，于是得對恒成立，而，恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.四、解答題17．已知函數(shù)，(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；(2)遞減區(qū)間為和，遞增區(qū)間為.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，切點(diǎn)為，所求切線的斜率為，所求切線的點(diǎn)斜式方程是，即：；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.18．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)運(yùn)用等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出；(2)根據(jù)條件求出的通項(xiàng)公式，再分組求和.【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，，解得，；（2），.；綜上，19．隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質(zhì)要求越來越高.某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進(jìn)行了質(zhì)量滿意調(diào)查.現(xiàn)從消費(fèi)者人群中隨機(jī)抽取500人作為樣本，得到下表（單位：人）老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080(1)從樣本中任意取1人，求這個(gè)人恰好對生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率；(2)從該地區(qū)青年人中隨機(jī)選取3人，以頻率估計(jì)概率，記這3人中對酸奶滿意的人數(shù)為，求的分布列與期望；(3)依據(jù)表中三個(gè)年齡段的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪一個(gè)消費(fèi)群體鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫出結(jié)果）注：本題中的滿意度是指消費(fèi)群體中滿意的人數(shù)與該消費(fèi)群體總?cè)藬?shù)的比值.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望(3)青年人【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，計(jì)算滿意的概率；（2）由條件可知，，根據(jù)二項(xiàng)分布，求分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合每類人對鮮奶的滿意度，即可作出判斷.【詳解】（1）設(shè)這個(gè)人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為，樣本總?cè)藬?shù)為500人，其中對酸奶滿意人數(shù)為人，所以；（2）用樣本頻率估計(jì)總體概率，青年人對酸奶滿意的概率，的取值為，，，，，，所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望是.（3）青年人青年人總體人數(shù)最多，對鮮奶的滿意度較低，所以鮮奶的滿意度提高0.1，則人數(shù)提高最多，則整體對鮮奶的滿意度會(huì)大幅提高.20．在棱長為4的正方體中，點(diǎn)P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大??；(2)求點(diǎn)P到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線面角的定義找出直線與平面所成的角，再求其正弦值即可；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解】（1）連接，由正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易知面，為垂足，所以即為所求的線面角，∵，∴，由勾股定理知，，∴．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，故有，令，則，故，故點(diǎn)P到平面的距離．21．已知橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為上任意一點(diǎn)到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為1.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形在橢圓上，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程，結(jié)合可解；（2）設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合四邊形為平行四邊形可的點(diǎn)P坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上可解.【詳解】（1）由題可知，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所?，所以.所以橢圓的方程為：.（2）聯(lián)立，消去，化簡整理得：，需滿足，設(shè)，由韋達(dá)定理可知：.則以為鄰邊作平行四邊形，則，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，即化簡得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿足又，由于，所以，所以，故，所以的取值范圍為.22．已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且.求證：.【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求最小值.先根據(jù)，為函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，可得，為的兩根，可得，帶入后即證，再根據(jù)，和的關(guān)系，消元后只需要證明即，結(jié)合，即證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．（2）依題意，在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．所以在R上有兩個(gè)不等的實(shí)根，，且．令，，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最小值，要使得在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，必須滿足得，此時(shí)，故．因?yàn)?，是的兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，即要證：，即證：，只要證：．下面首先證明：．要證：，即證：，因，在上單調(diào)遞增，只要證：，即證：，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，，即．因?yàn)椋裕?，故．要證：，只要證：，即證：，只要證：，即證：，事實(shí)上，，顯然成立，得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙變量問題常用解題策略：1.變更主元，對于題目涉及到的兩個(gè)變元，已知中一個(gè)變元在題設(shè)給定的范圍內(nèi)任意變動(dòng)，求另一外變元的取值范圍問題，這類問題我們稱之不“偽雙變量”問題.