2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知曲線在處的切線方程是，則與分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】在切線上，故，又切線斜率為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.故選：D2．“”是“，，成等比數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要【答案】B【分析】判斷“”和“，，成等比數(shù)列”的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，成立，但此時(shí)，，構(gòu)不成等比數(shù)列；反之，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，必有成立，故“”是“，，”成等比數(shù)列的必要不充分條件，故選：B3．已知，則（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由，則故選：D4．在遼寧電視臺(tái)有一闖關(guān)節(jié)目，該節(jié)目設(shè)置有兩關(guān)，闖關(guān)規(guī)則是：當(dāng)?shù)谝魂P(guān)闖關(guān)成功后，方可進(jìn)入第二關(guān).為了調(diào)查闖關(guān)的難度，該電視臺(tái)調(diào)查了參加過(guò)此節(jié)目的100名選手的闖關(guān)情況，第一關(guān)闖關(guān)成功的有70人，第一關(guān)闖關(guān)成功且第二關(guān)闖關(guān)也成功的選手有63人，以闖關(guān)成功的頻率近似作為闖關(guān)成功的概率，已知某個(gè)選手第一關(guān)闖關(guān)成功，則該選手第二關(guān)闖關(guān)成功的概率為（

）A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.431【答案】C【分析】若令“第一關(guān)闖關(guān)成功”為事件，“第二關(guān)闖關(guān)成功”為事件，則由題意可得，，然后利用條件概率的計(jì)算公式可求得結(jié)果.【詳解】第一關(guān)闖關(guān)成功的選手有人，則第一關(guān)闖關(guān)成功的頻率為，第一關(guān)闖關(guān)成功且第二關(guān)闖關(guān)也成功的選手有人，則兩關(guān)都成功的頻率為．設(shè)“第一關(guān)闖關(guān)成功”為事件，“第二關(guān)闖關(guān)成功”為事件，，，某個(gè)選手第一關(guān)闖關(guān)成功，則該選手第二關(guān)闖關(guān)成功的概率為.故選：C5．已知指數(shù)曲線進(jìn)行適當(dāng)變換后得到的方程為，則二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)作線性變化得，對(duì)比系數(shù)得到，的值，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及開(kāi)口即可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間【詳解】?jī)蛇吶?duì)數(shù)，可得作線性變化得，由于指數(shù)曲線進(jìn)行線性變換后得到的回歸方程為，則，，，即由于函數(shù)為二次函數(shù)即，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C6．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由關(guān)系且可得，利用累加法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【詳解】由題設(shè)，則，又都為正項(xiàng)，則，故，所以，所以，故.故選：C7．已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨(dú)立，設(shè)其中被治愈的人數(shù)為X，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．存在，使得成立【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式、期望與方差公式及期望與方差的性質(zhì)計(jì)算即可逐一判定.【詳解】由題意可得，則，所以，，故AC錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布的概率公式得，故B正確；，若，則，化簡(jiǎn)得，解得，與條件矛盾，即D錯(cuò)誤.故選：B.8．已知函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，轉(zhuǎn)化原不等式為，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，分離參數(shù)求的最小值即可.【詳解】由題意可得恒成立，故恒成立，即恒成立，令，則單調(diào)遞增，原不等式可化為，所以，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則，，成等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，且，則C．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，則的最大值是D．若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為4048【答案】BCD【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷；B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷；D.利用數(shù)列并項(xiàng)求和判斷.【詳解】對(duì)于A：等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，令，則，，，顯然，即，，不成等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為等比數(shù)列，且，則，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋瑒t，，則，所以，，所以為遞減等差數(shù)列，且，所以數(shù)列前項(xiàng)的和最大，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，故D正確.故選：BCD10．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，，….，，由此得到的線性回歸方程為，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．回歸直線至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，….，中的一個(gè)點(diǎn)B．若，，則回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．若點(diǎn)，，….，都落在直線上，則變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)D．若，，則相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A、選項(xiàng)B可由回歸直線必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，不一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)來(lái)判斷；選項(xiàng)C，可通過(guò)已知方程，得到斜率，去判斷相關(guān)系數(shù)；選項(xiàng)D，樣本點(diǎn)的殘差等于該點(diǎn)的實(shí)際值減去模擬出的預(yù)測(cè)值，即可做出判斷.【詳解】線性回歸方程為不一定經(jīng)過(guò)，，…，中的任何一個(gè)點(diǎn)，但一定會(huì)經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，B正確；選項(xiàng)C，直線的斜率，且所有樣本點(diǎn)都落在直線上，所以這組樣本數(shù)據(jù)完全負(fù)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)達(dá)到最小值，即樣本相關(guān)系數(shù)，故C正確；選項(xiàng)D，樣本點(diǎn)的殘差為，故D正確.故選：BCD.11．若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對(duì)A，根據(jù)遞推公式即可判斷；對(duì)利用判斷；D利用數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合斐波那契數(shù)列的前項(xiàng)和即可判斷；對(duì)C，根據(jù)遞推公式，即可判斷.【詳解】對(duì)A：，，，所以，，，，故A正確；對(duì)B：由，可得，，故B正確；對(duì)C：，可得，即有，故C正確；對(duì)于，故不正確．故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查斐波那契數(shù)列的遞推公式，以及其偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的和的求解；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)遞推公式，找到相鄰項(xiàng)的和與差的關(guān).系12．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B．若方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則C．當(dāng)時(shí)，D．設(shè)，若對(duì)，，使得成立，則【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性即可；B選項(xiàng)，結(jié)合A選項(xiàng)分析出的單調(diào)性，符號(hào)信息，作出圖像，然后根據(jù)圖像的變換得到的圖像，將方程的根轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；C選項(xiàng)，結(jié)合A選項(xiàng)的單調(diào)性進(jìn)行分析；D選項(xiàng)，由題干選項(xiàng)，只需比較值域的關(guān)系即可.【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，時(shí)，，則單調(diào)遞減，結(jié)合A選項(xiàng)的分析可知，在上單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增，由可得時(shí)，，時(shí)，，結(jié)合已經(jīng)分析的的信息，作出圖像如下：

根據(jù)圖像的變換，的圖像為：

故，即時(shí)，有4個(gè)不等的實(shí)根，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性，時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則，由于，不等式兩邊同時(shí)乘以，故，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于時(shí)，，時(shí)，，若對(duì)，，使得成立，故，解得，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合的考察了高中階段常見(jiàn)模型之一：的相關(guān)性質(zhì)，熟知圖像性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合來(lái)處理是解題關(guān)鍵.三、填空題13．函數(shù)的極值點(diǎn)為.【答案】【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可得解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).故答案為：.14．設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占、、，甲、丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別為和.現(xiàn)從中任取一件，若取到的是次品的概率為，則推測(cè)乙車間的次品率為.【答案】【分析】設(shè)出事件，設(shè)出未知數(shù)，利用全概率公式列出方程，求出答案.【詳解】設(shè)表示“取到的是一件次品”，分別表示取到的產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)的，顯然是樣本空間的一個(gè)劃分，且有，由于，設(shè)，由全概率公式得即，解得，推測(cè)乙車間的次品率為故答案為：15．在數(shù)列中，，且.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】判斷是以為首項(xiàng)，以公差的等差數(shù)列，從而可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，以公差的等差數(shù)列，所以，則，故答案為：.16．已知函數(shù)，，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)m的最大值為.【答案】/0.5【分析】設(shè)出公切線和兩個(gè)曲線相切的切點(diǎn)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義找到的關(guān)系，然后化二元為一元，將用一個(gè)量表示，結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具求解.【詳解】由題意可知：，設(shè)公切線和相切于，和相切于，因?yàn)榫蜎](méi)有垂直于軸的切線，故公切線斜率存在，設(shè)公切線斜率為.于是由可得，；由化簡(jiǎn)整理可得，.根據(jù)可得，，故，設(shè)，則，1.當(dāng)時(shí)，顯然；2.當(dāng)時(shí)，則，令，則，故在上遞增，注意到，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上遞增，在上遞減，故，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口在于，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，找出參數(shù)和兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用消元的思想，消去一個(gè)未知量，然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.四、解答題17．已知函數(shù).(1)若在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若，求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)極小值為，無(wú)極大值.【分析】（1）求得，得到，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；（2）由，得到，求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值點(diǎn)與極值的定義，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，可得，即在處的切線的斜率為，因?yàn)樵谔幍那芯€與直線垂直，可得，解得.（2）解：若，可得，所以，其中，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.18．環(huán)保部門隨機(jī)調(diào)查了某市2022年中100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到江邊綠道鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)1（優(yōu)）610252（良）910123（輕度污染）7874（中度污染)321若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．(1)估計(jì)該市2022年（365天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：．0.10.010.0012.7066.63510.828【答案】(1)天(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【分析】（1）由頻數(shù)分布表得到空氣質(zhì)量等級(jí)為或的概率，從而得到“空氣質(zhì)量好”的概率，即可估計(jì)天數(shù)；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷.【詳解】（1）依題意可得，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為的概率為，等級(jí)為的概率為，所以“空氣質(zhì)量好”的概率為，所以該市年（天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)為（天）.（2）依題意列聯(lián)表如下所示：人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好所以，因此沒(méi)有的把握認(rèn)為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．19．已知數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明為定值即可；（2）先根據(jù)（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，則，①，②，由①②得，所以.20．某次考試中，英語(yǔ)成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下.(1)如果成績(jī)大于135分的為特別優(yōu)秀，則隨機(jī)抽取的500名學(xué)生中本次考試英語(yǔ)、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布）(2)如果英語(yǔ)和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中英語(yǔ)特別優(yōu)秀的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科同時(shí)特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附公式：若～，則，.【答案】(1)英語(yǔ)成績(jī)特別優(yōu)秀的有人，數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的有人；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)參考數(shù)據(jù)，求得英語(yǔ)成績(jī)?cè)诖笥?35的概率，再乘以500求得人數(shù)；根據(jù)頻率分布直方圖，求得數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得的取值，結(jié)合題意分別求得對(duì)應(yīng)概率，再求數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1），，故英語(yǔ)成績(jī)特別優(yōu)秀的有人.由頻率分布直方圖知，數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的頻率為故數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的有人.（2）依題意：，，，，其分布列為：

.21．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，若數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)已知，記.若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得，從而可求出公比，進(jìn)而可得的通項(xiàng)，由題意得，由求出，然后利用累加法可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求出，則由，得恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，得，由，得，所以，即，解得（舍去），或，所以，因?yàn)?，所以，由，得，得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，（2）由（1）得，所以，由恒成立，得，得恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，所以，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的基本量計(jì)算，考查累加法求通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相法求和法，解題的關(guān)鍵是將，化為，從而可求出，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.22．已知函數(shù)，其中.(1)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）時(shí)，，求出定義域，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)的值分情況討論即可求