2022-2023學(xué)年遼寧省撫順市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年遼寧省撫順市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位若復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可；【詳解】所以虛部為，故選：B.2．若扇形的面積為，半徑為4，則該扇形的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形面積公式直接計(jì)算可得.【詳解】由扇形面積公式可得：，解得.故選：D3．設(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B4．下列命題正確的是（

）（1）已知平面和直線m，n，若，，則；（2）已知平面，和直線m，n，且m，n為異面直線，，．若直線滿足，，，，則與相交，且交線平行于；（3）已知平面，和直線m，n，若，，，，則；（4）在三棱錐中，，，，垂足都為P，則P在底面上的射影是三角形的垂心A．（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）【答案】A【分析】舉反例可判斷（1）；過直線m上點(diǎn)A作，記所在平面為，然后證明，即可判斷（2）；根據(jù)面面平行的判定定理可判斷（3）；作平面，結(jié)合已知證明平面，然后可得，然后可判斷（4）.【詳解】對(duì)于（1）：在正方體中，平面，平面，顯然與異面，故（1）錯(cuò)誤；

對(duì)于（2）：假設(shè)，因?yàn)椋?，又，所以（矛盾），故與相交，記交線為.過直線m上點(diǎn)A作，記所在平面為，因?yàn)?，，，所以，又，所以，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，?）正確；

對(duì)于（3）：由面面平行判定定理可知（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4）：作平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平?又平面，所以.因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即點(diǎn)O在的BC邊的高上.同理，點(diǎn)O在的AB邊和AC邊的高上，所以點(diǎn)O為高的交點(diǎn)，即O為的垂心，（4）正確.

故選：A.5．已知函數(shù)，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平方關(guān)系、降冪及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最小正周期.【詳解】由題設(shè)，，所以最小正周期為.故選：B6．已知函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線是角的終邊，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題意，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角函數(shù)的定義求出，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行弦化切，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合三角函數(shù)的定義得到，又.故選：C.7．設(shè)，若，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先對(duì)變形，從而表示出，然后根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，利用基本不等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，即，于是有，所以，因?yàn)?，所以，于是有，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值，故選：A.8．在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)芻童的幾何性可知外接球的球心在四棱臺(tái)上下底面中心連線上，設(shè)球心為O，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑即可求其表面積．【詳解】如圖，連接AC、BD、、，設(shè)AC∩BD＝M，∩＝N，連接MN．∵棱臺(tái)側(cè)棱相等，∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設(shè)外接球球心為O，如圖當(dāng)球心在線段MN延長線上時(shí)，易得，MC＝2，，，MN＝1，由得，，即，故OC＝，∴外接球表面積為．如圖當(dāng)球心在線段MN上時(shí)，由得，，即舍去，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用芻童的幾何性確定外接球的球心是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．z的虛部為 B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C． D．z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根【答案】BCD【分析】把復(fù)數(shù)化成，利用復(fù)數(shù)的意義判斷A；求出、判斷BC；利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的虛部為，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，B正確；，，則，C正確；，即z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，D正確.故選：BCD10．在△中，角所對(duì)的邊分別為，且，下列說法正確的是（

）A．△為鈍角三角形 B．邊的中線長為3C．△周長為 D．△的外接圓面積為【答案】ACD【分析】利用正弦定理、余弦定理以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),∵,∴，可知，，（為比例系數(shù)），∵，∴判斷最長邊所對(duì)應(yīng)的角是否為鈍角即可，由余弦定理得：，解得，又∵，∴,∴△為鈍角三角形，則選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng),∵,∴，，，由正弦定理得，即，解得，∵角為銳角，∴,設(shè)的中點(diǎn)為，在△中，由余弦定理得：,則,即邊的中線長為，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng),△周長為，則選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng),由正弦定理得:，則△外接圓的面積為,則選項(xiàng)正確，故選：ACD.11．已知平面四邊形，是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若，則是平行四邊形B．若，則是矩形C．若，則為直角三角形D．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心【答案】ACD【分析】由向量相等可判斷A；由數(shù)量積的性質(zhì)結(jié)合模的運(yùn)算可判斷B和C；由向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線可判斷D.【詳解】由，可得，且，故是平行四邊形，所以A正確；由，平方可得，即，但不一定是矩形，所以B錯(cuò)誤；由，可得，即，因此，所以為直角三角形，所以C正確；作于，由于，所以，即，故的軌跡一定通過的重心，所以D正確.故選：ACD.12．我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用．圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體；如圖2，已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為2，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，則（

）A．正四棱柱和正四棱錐的高均為B．正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為C．球的表面積為D．正四棱錐的側(cè)面、側(cè)棱與其底面所成的角分別為、，則【答案】BC【分析】根據(jù)正四棱柱和正四棱錐的幾何的性質(zhì)，結(jié)合球的對(duì)稱性、球的表面積公式、線面角、二面角的定義逐一判斷即可.【詳解】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為，球的半徑為，根據(jù)正四棱柱和球的對(duì)稱性可知：該幾何體的外接球的球心為正四棱柱的中心，球的直徑即為正四棱柱的體對(duì)角線，且正四棱柱的體心到正四棱錐的頂點(diǎn)的距離，根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線公式得，因此，所求球的表面積為，故選項(xiàng)A不正確，C正確；在直角三角形中，，所以正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為：，所以選項(xiàng)B正確，如圖所示：，，顯然有，所以選項(xiàng)D不正確，故選：BC三、填空題13．是虛數(shù)單位，已知．寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)．【答案】（答案不唯一，滿足均可）【分析】設(shè)，根據(jù)已知得a，b關(guān)系，然后可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，整理得，取?故答案為：（答案不唯一，滿足均可）14．已知中，為邊上的點(diǎn)，且，若，則.【答案】【分析】以為基底表示出，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15．由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為，則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為.【答案】【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，分別用表示出以該四棱錐的高為邊長的正方形面積和該四棱錐側(cè)面積，即可得出答案.【詳解】如圖，

設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，為的中點(diǎn)，則由題意得：，所以，則設(shè)以該四棱錐的高為邊長的正方形面積為，，設(shè)該四棱錐側(cè)面積為，所以.故答案為：16．若函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用三角恒等變換化函數(shù)為的形式，再根據(jù)給定條件及函數(shù)性質(zhì)分析作答.【詳解】，而，則，，依題意得，解得，即，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題17．已知，．(1)若與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若為與的夾角，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模長與數(shù)量積，由向量垂直列方程即可得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)平面向量夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，，又與垂直，所以，解得；（2）因?yàn)?，所以?8．已知，，且.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)，且，求出，則可求，再求；（2）先根據(jù)，，求出，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）∵且，∴，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，∴，，所以.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．本題考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.19．三棱柱的棱長都為2，D和E分別是和的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)若，點(diǎn)B到平面的距離為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）法一，根據(jù)中位線可得線線平行，證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明，即可得證；（2）根據(jù)線面平行可得，由等體積法求解.【詳解】（1）在三棱柱中，，取中點(diǎn)F，連接DF，EF，∵D和E分別是和的中點(diǎn)，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面，∴面//平面，而面DEF，故直線//平面．法二，連接CE交于點(diǎn)G，連接CD交于點(diǎn)H，連接HG，如圖，在三棱柱中，，，∴，，∴，則，又面，面，∴直線平面.（2）如圖，∵直線//平面，∴，又，所以平行四邊形邊上的高，由B到面的高，則.20．在銳角中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b，c，其面積為S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理、三角形面積公式變形給定等式，求出即可作答.（2）利用正弦定理把三角形面積表示為角C的函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）在銳角中，，由余弦定理，得，即，又，，因此，有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，由正弦定理得：，即，則，又是銳角三角形，則有，即，亦即，于是，，所以S的取值范圍是.21．如圖（1），平面四邊形中，，，，將沿邊折起如圖（2），使______，點(diǎn)，分別為，中點(diǎn).在題目橫線上選擇下述其中一個(gè)條件，然后解答此題.①.②為四面體外接球的直徑.③平面平面.（1）判斷直線與平面是否垂直，并說明理由；（2）求直線和所成的角的余弦值.【答案】條件選擇見解析，（1）垂直，理由見解析；（2）.【分析】（1）若選①：由，得到，再由，證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，因?yàn)椋纯傻玫狡矫妫暨x②：由為四面體外接球的直徑，得到，進(jìn)而證得平面，從而證得平面．若選③：由平面平面和，證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，得到平面．（2）取AB中點(diǎn)E，連接ME，DM，得到或其補(bǔ)角為直線DM和BC所成的角，再中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】（1）若選①：垂直.因?yàn)椋谥?，，，可得，又由，所以，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又由，且平面，所以平面，又因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，所以，所以平面．若選②：垂直.由為四面體外接球的直徑，則，，因?yàn)?，可證得平面，又，分別為，中點(diǎn)，，所以平面．若選③：垂直.由平面平面，平面平面，因?yàn)?，且平面，所以平面，又由平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，，所以平面．（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為邊中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角為直線和所成的角.在中，，，，所以.又，由余弦定理可得：，

所以直線和所成的角的余弦值為.22．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，記方程在上的根從小到大依次為，試確定的值，并求的值.【答案】(1)(2)，【分析】（