北京市西城區(qū)北京第四十四中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

北京市西城區(qū)北京第四十四中學2024屆高一數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若m∥α，m∥β，則α∥β②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③m?α，n?β，m、n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β其中正確的命題是（）A.①② B.②③C.③④ D.④2．下列函數(shù)值為的是（）A.sin390° B.cos750°C.tan30° D.cos30°3．把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，且對任意，，有，則使得成立的x的取值范圍是（）A. B.C. D.5．且，則角是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角6．已知函數(shù)，若有且僅有兩個不同實數(shù)，，使得則實數(shù)的值不可能為A. B.C. D.7．下列四個圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖象是（）A B.C. D.8．下列函數(shù)中，在區(qū)間單調遞增的是（）A. B.C. D.9．（）A. B.3C.2 D.10．下列關系中，正確的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則_________.12．已知為三角形的邊的中點，點滿足，則實數(shù)的值為_______13．已知函數(shù)和函數(shù)的圖像相交于三點，則的面積為__________.14．利用隨機數(shù)表法對一個容量為90，編號為00，01，02，…，89的產(chǎn)品進行抽樣檢驗，抽取一個容量為10的樣本，若選定從第2行第3列的數(shù)開始向右讀數(shù)（下面摘取了隨機數(shù)表中的第1行至第5行），根據(jù)下圖，讀出的第3個數(shù)是___________.15．16/17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務之急，約翰納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù).后來天才數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了對數(shù)與指數(shù)的關系，即.現(xiàn)在已知，，則__________.16．已知，，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，（為常數(shù)）.（1）當時，判斷在的單調性，并用定義證明；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）討論零點的個數(shù).18．已知，，，為第二象限角，求和的值.19．已知函數(shù)（1）當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由20．某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是______小時.21．求函數(shù)的定義域，并指出它的單調性及單調區(qū)間

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】利用平面與平面垂直和平行的判定和性質，直線與平面平行的判斷，對選項逐一判斷即可【題目詳解】①若m∥α，m∥β，則α∥β或α與β相交，錯誤命題；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交．錯誤的命題；③m?α，n?β，m、n是異面直線，那么n與α相交,也可能n∥α，是錯誤命題；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β．是正確的命題故選D【題目點撥】本題考查平面與平面的位置關系，直線與平面的位置關系，考查空間想象力，屬于中檔題.2、A【解題分析】由誘導公式計算出函數(shù)值后判斷詳解】，，，故選：A3、D【解題分析】先得到兩個正三角形面積之和的表達式，再對其求最小值即可.【題目詳解】設一個正三角形的邊長為，則另一個正三角形的邊長為，設兩個正三角形的面積之和為，則，當時，S取最小值.故選：D4、A【解題分析】解有關抽象函數(shù)的不等式考慮函數(shù)的單調性，根據(jù)已知可得在單調遞增，再由與的圖象關系結合已知，可得為偶函數(shù)，化為自變量關系，求解即可.【題目詳解】設，在增函數(shù)，函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移2個單位得到，且函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以的圖象關于軸對稱，即為偶函數(shù)，等價于，的取值范圍是.故選：A.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性、奇偶性、解不等式問題，注意函數(shù)圖象間的平移變換，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.5、D【解題分析】直接由三角函數(shù)的象限符號取交集得答案.【題目詳解】由，可得為第二或第四象限角；由，可得為第一、第四及軸非負半軸上的角∴取交集可得，是第四象限角故選：D6、D【解題分析】利用輔助角公式化簡，由，可得，根據(jù)在上有且僅有兩個最大值，可求解實數(shù)的范圍，從而可得結果【題目詳解】函數(shù)；由，可得，因為有且僅有兩個不同的實數(shù)，，使得所以在上有且僅有兩個最大值，因為，，則；所以實數(shù)的值不可能為，故選D【題目點撥】本題主要考查輔助角公式的應用、三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了數(shù)形結合思想，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于基礎題7、C【解題分析】根據(jù)函數(shù)中每一個自變量有且只有唯一函數(shù)值與之對應，結合函數(shù)圖象判斷符合函數(shù)定義的圖象即可.【題目詳解】由函數(shù)定義：定義域內(nèi)的每一個x都有唯一函數(shù)值與之對應，A、B、D選項中的圖象都符合；C項中對于大于零的x而言，有兩個不同的函數(shù)值與之對應，不符合函數(shù)定義.故選：C8、B【解題分析】根據(jù)單調性依次判斷選項即可得到答案.【題目詳解】對選項A，區(qū)間有增有減，故A錯誤，對選項B，，令，，則，因為，在為增函數(shù)，在為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，故B正確.對選項C，，，解得，所以，為減函數(shù)，，為增函數(shù)，故C錯誤.對選項D，在為減函數(shù)，故D錯誤.故選：B9、D【解題分析】利用換底公式計算可得答案【題目詳解】故選：D10、C【解題分析】利用元素與集合的關系依次對選項進行判斷即可【題目詳解】選項A：，錯誤；選項B，，錯誤；選項C，，正確；選項D，與是元素與集合的關系，應該滿足，故錯誤；故選C【題目點撥】本題考查元素與集合的關系，屬于基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由題意可得：點睛：熟記同角三角函數(shù)關系式及誘導公式，特別是要注意公式中的符號問題；注意公式的變形應用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問題時簡化解題過程的關鍵所在12、【解題分析】根據(jù)向量減法的幾何意義及向量的數(shù)乘便可由得出,再由D為△ABC的邊BC的中點及向量加法的平行四邊形法則即可得出點D為AP的中點，從而便可得出，這樣便可得出λ的值【題目詳解】=,所以，D為△ABC的邊BC中點，∴∴如圖，D為AP的中點；∴,又，所以-2.故答案為-2.【題目點撥】本題考查向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，及向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，屬于中檔題.13、【解題分析】解出三點坐標，即可求得三角形面積.【題目詳解】由題：，，所以，，所以，.故答案為：14、75【解題分析】根據(jù)隨機數(shù)表法進行抽樣即可.【題目詳解】從隨機數(shù)表的第2行第3列的數(shù)開始向右讀數(shù)，第一個編號為62，符合；第二個編號為38，符合；第三個編號為97，大于89，應舍去；下一個編號為75，符合.所以讀出的第3個數(shù)是：75.故答案為：75.15、2【解題分析】先根據(jù)要求將指數(shù)式轉為對數(shù)式，作乘積運算時注意使用換底公式去計算.【題目詳解】∵，∴，∴故答案為2【題目點撥】底數(shù)不同的兩個對數(shù)式進行運算時，有時可以利用換底公式：將其轉化為同底數(shù)的對數(shù)式進行運算.16、【解題分析】根據(jù)已知條件求得的值，由此求得的值.【題目詳解】依題意，兩邊平方得，而，所以，所以.由解得，所以.故答案為：【題目點撥】知道其中一個，可通過同角三角函數(shù)的基本關系式求得另外兩個，在求解過程中要注意角的范圍.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）；（3）見解析.【解題分析】（1）利用函數(shù)的單調性的定義，即可證得函數(shù)的單調性，得到結論；（2）由得，轉化為，設，利用二次函數(shù)的性質，即可求解.（3）把函數(shù)有個零點轉化為方程有兩個解，令，作的圖像及直線圖像，結合圖象，即可求解，得到答案.【題目詳解】（1）當時，且時，是單調遞減的.證明：設，則又且，故當時，在上是單調遞減的.（2）由得，變形為，即，設，令，則，由二次函數(shù)的性質，可得，所以，解得.（3）由有個零點可得有兩個解，轉化為方程有兩個解，令，作的圖像及直線圖像有兩個交點，由圖像可得：i）當或，即或時，有個零點.ii）當或或時，由個零點；iii）當或時，有個零點.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的單調性的判定，以及函數(shù)與方程的綜合應用，其中解答中熟記函數(shù)的單調性的定義，以及合理分離參數(shù)和轉化為圖象的交點個數(shù)，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及分類討論思想的應用，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.18、，【解題分析】由已知可求得，，根據(jù)和的余弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求出.詳解】，，，，為第二象限角，則，解得，，，.19、（1）；（2）不存在，理由見解析【解題分析】（1）結合題意得到關于實數(shù)的不等式組，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由題意結合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，即可求得是否存在滿足題意的實數(shù)的值，得到答案【題目詳解】（1）由題設，對一切恒成立，且，∵，∴在上減函數(shù)，從而，∴，∴的取值范圍為；（2）假設存在這樣的實數(shù)，由題設知，即，∴，此時，當時，，此時沒有意義，故這樣