2024屆北京市對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2024屆北京市對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.2．已知直線，直線，則與之間的距離為（）A. B.C. D.3．方程的解所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.4．已知且，則（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值5．已知，若函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)在上有最大值，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的最小值為（）A. B.C.0 D.7．設(shè)函數(shù)，其中，，，都是非零常數(shù)，且滿足，則（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)在上的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是A. B.C. D.9．命題“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，10．針對(duì)“臺(tái)獨(dú)”分裂勢(shì)力和外部勢(shì)力勾結(jié)的情況，為捍衛(wèi)國(guó)家主權(quán)和領(lǐng)土完整，維護(hù)中華民族整體利益和兩岸同胞切身利益，解放軍組織多種戰(zhàn)機(jī)巡航.已知海面上的大氣壓強(qiáng)是，大氣壓強(qiáng)（單位：）和高度（單位：）之間的關(guān)系為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是常數(shù)），根據(jù)實(shí)驗(yàn)知高空處的大氣壓強(qiáng)是，則當(dāng)殲20戰(zhàn)機(jī)巡航高度為，殲16D戰(zhàn)機(jī)的巡航高度為時(shí)，殲20戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)是殲16D戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)的（）倍（精確度為0.01）.A.0.67 B.0.92C.1.09 D.1.26二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則______.12．經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（寫出一般式）___13．已知函數(shù)，則______14．已知函數(shù)，若是的最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______15．函數(shù)的定義域是______16．已知是球上的點(diǎn)，,，,則球的表面積等于________________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)（1）求證：CD⊥平面A1ABB1；（2）求證：AC1∥平面CDB118．（1）化簡(jiǎn)：.（2）已知都是銳角，，求值.19．已知集合，函數(shù)的定義域?yàn)榧?（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷的奇偶性，并求在區(qū)間上的值域.21．如圖所示，某居民小區(qū)內(nèi)建一塊直角三角形草坪，直角邊米，米，扇形花壇是草坪的一部分，其半徑為20米，為了便于居民平時(shí)休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)兩條小路和，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求M、N在斜邊上，O在弧上（點(diǎn)O異于D，E兩點(diǎn)），，.（1）設(shè)，記，求的表達(dá)式，并求出此函數(shù)的定義域.（2）經(jīng)核算，兩條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元，如何設(shè)計(jì)的大小，使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】根據(jù)函數(shù)的周期性與奇偶性可得，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，得到結(jié)果.【題目詳解】∵∴的周期為4，∴，又是上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將未知解析式的區(qū)間上函數(shù)的求值問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上來求，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的能力及代數(shù)計(jì)算的能力.2、D【解題分析】利用兩平行線間的距離公式即可求解.【題目詳解】直線的方程可化為，則與之間的距離故選：D3、B【解題分析】作差構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解.【題目詳解】令，則，，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，即方程的解所在的區(qū)間是.故選：B.4、A【解題分析】根據(jù)，變形為，再利用不等式的基本性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后由，利用基本不等式求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A.【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：本題思路是利用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為，再由，利用不等式的性質(zhì)構(gòu)造，再利用基本不等式求解.5、A【解題分析】由復(fù)合函數(shù)在上的單調(diào)性可構(gòu)造不等式求得，結(jié)合已知可知；當(dāng)時(shí)，，若，可知無最大值；若，可得到，解不等式，與的范圍結(jié)合可求得結(jié)果.【題目詳解】在上為減函數(shù)，解得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)，時(shí)，在上單調(diào)遞增無最大值，不合題意當(dāng)，時(shí)，在上單調(diào)遞減若在上有最大值，解得：，又故選【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍、根據(jù)分段函數(shù)有最值求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式得到處于不同范圍時(shí)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)有最值構(gòu)造不等式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略對(duì)數(shù)真數(shù)大于零的要求，造成范圍求解錯(cuò)誤.6、C【解題分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)在時(shí)取得最小值【題目詳解】，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，因此當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，而時(shí)，，所以時(shí)，故選：C7、C【解題分析】代入后根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求出答案【題目詳解】解：由題，∴，∴，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8、A【解題分析】利用分段函數(shù)，通過一次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)判斷求解即可【題目詳解】解：函數(shù)在上的值域?yàn)镽，當(dāng)函數(shù)的值域不可能是R，可得，解得：故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】利用全稱量詞命題的否定變換形式即可求解.【題目詳解】的否定是，的否定是，故“，”的否定是“，”，故選：D10、C【解題分析】根據(jù)給定信息，求出，再列式求解作答.【題目詳解】依題意，，即，則殲20戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)，殲16D戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)，，所以殲20戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)是殲16D戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)的倍.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】結(jié)合冪函數(shù)定義，采用待定系數(shù)法可求得解析式，代入可得結(jié)果.【題目詳解】為冪函數(shù)，可設(shè)，，解得：，，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)解析式和函數(shù)值的求解問題，關(guān)鍵是能夠明確冪函數(shù)的定義，采用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題.12、x+y-5=0或2x-3y=0【解題分析】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得其方程為2x﹣3y＝0；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得它的斜率為﹣1，由此設(shè)出直線方程并代入P的坐標(biāo)，可求出其方程為x+y﹣5＝0，最后加以綜合即可得到答案【題目詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為y＝kx，∵直線經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），∴2＝3k，解之得k，此時(shí)的直線方程為yx，即2x﹣3y＝0；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y+c＝0，將點(diǎn)P（3，2）代入，得3+2+c＝0，解之得c＝﹣5，此時(shí)的直線方程為x+y﹣5＝0綜上所述，滿足條件的直線方程為：2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0故答案為：x+y-5=0或2x-3y=0【題目點(diǎn)撥】本題給出直線經(jīng)過定點(diǎn)且在兩個(gè)軸上的截距相等，求直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題13、【解題分析】由分段函數(shù)解析式先求，再求.【題目詳解】由已知可得，故.故答案為：2.14、【解題分析】先求出時(shí)最大值為，再由是的最大值，解出t的范圍.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在時(shí)取得最大值；當(dāng)時(shí)，，且是的最大值，所以，解得：.故答案為：15、【解題分析】，即定義域?yàn)辄c(diǎn)睛：常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)16、【解題分析】由已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，所以，又，，所以四面體的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別以SA,AB,BC三邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方體的外接球的半徑，因?yàn)椋?所以，所以球的表面積點(diǎn)睛：本題考查了球內(nèi)接多面體，球的表面積公式，屬于中檔題．其中根據(jù)已知條件求球的直徑（半徑）是解答本題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解題分析】（1）欲證CD⊥平面A1ABB1，可先證平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，滿足根據(jù)面面垂直的性質(zhì)；（2）欲證AC1∥平面CDB1，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC1與平面CDB1內(nèi)一直線平行，連接BC1，設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E，連接DE．根據(jù)中位線可知DE∥AC1，DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，滿足定理所需條件【題目詳解】（1）證明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1∵AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB∴CD⊥平面A1ABB1（2）證明：連接BC1，設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為E，連接DE∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1．∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題18、（1）；（2）【解題分析】（1）通分，然后用輔助角公式計(jì)算即可；（2）先通過角范圍求出，再通過，利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可.【題目詳解】（1）；（2）因?yàn)槎际卿J角，則，又，，，19、(1)或；(2)或.【解題分析】（1）由知4滿足函數(shù)的定義域，由此可得，解不等式可得所求范圍．（2）由可得，再根據(jù)的大小關(guān)系求得集合A，然后根據(jù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解不等式組可得所求范圍試題解析：（1）因?yàn)?，∴，解得?∴實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）由于，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，函數(shù)無意義，∴，由,得，解得，∴.①當(dāng)，即時(shí)，，由得，解得；②當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)不滿足；③當(dāng)，即時(shí)，，由得，解得.又，故.綜上或∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.點(diǎn)睛：（1）解答本題時(shí)要注意分類討論的運(yùn)用，根據(jù)實(shí)數(shù)的不同的取值得到不同的集合；另外還應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，在本題中將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式組求解（2）對(duì)于題中的對(duì)數(shù)函數(shù)，要注意定義域的限制，特別是在本題中得到這一隱含條件是被容易忽視的問題20、（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析（2）函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上的值域?yàn)椤窘忸}分析】（1）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性；（2）先得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合得到函數(shù)為奇函數(shù)，利用第一問的單調(diào)性求出在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】在區(qū)間