2024屆一輪復(fù)習(xí)人教B版 第六章第03講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（九大題型） 學(xué)案

第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）理解等比數(shù)列的概念．（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．2023年甲卷（理）第5題，5分2023年II卷第8題，5分2023年乙卷（理）第15題，5分高考對(duì)等比數(shù)列的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)是（1）選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計(jì)算；（2）解答題多與等差數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實(shí)際問題或其他知識(shí)考查．知識(shí)點(diǎn)一．等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．（2）等比中項(xiàng)：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?．知識(shí)點(diǎn)二．等比數(shù)列的有關(guān)公式（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．推廣形式：（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為注①等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要分與兩種情況討論求解．②已知（項(xiàng)數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項(xiàng)的推廣．若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．（4）其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時(shí)，不為偶數(shù)）．【解題方法總結(jié)】（1）若，則．（2）若，（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為．（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（6）當(dāng)，時(shí)，是成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)．（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等．特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于中間項(xiàng)的平方．（8）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1．（2023·北京·高三匯文中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或【答案】D【解析】由題意，，在等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為，，即，解得或，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：D.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知遞增的等比數(shù)列中，前3項(xiàng)的和為7，前3項(xiàng)的積為8，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由前3項(xiàng)的和為7，得前3項(xiàng)的積為8，得，即，則，代入，得，即，解得或，因?yàn)闉檫f增的等比數(shù)列，所以，則，所以，故選：D．例3．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確，所以，B錯(cuò)誤；故選：D.變式1．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，若，，則公比q應(yīng)為（

）A． B． C． D．－2【答案】D【解析】因?yàn)椋獾胵＝－2.故選：D變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.變式3．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則該數(shù)列的以及依次為（

）A．682， B．， C．682，或 D．，或【答案】C【解析】根據(jù)題意，得，解方程得，或，，或.故選：C變式4．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則=（

）A．64 B．81 C．128 D．192【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，由，得，所以，解得或（舍去），所以.故選：B.變式5．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾；所以，則，解得，所以．故選：A．【解題方法總結(jié)】等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量，，，，，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比的分類討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．題型二：等比數(shù)列的判定與證明例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩個(gè)容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將其倒入對(duì)方的容器并攪勻，這稱為一次調(diào)和．記，，經(jīng)次調(diào)和后，甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度分別為，．(1)試用，表示，．(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項(xiàng)．【解析】（1）由題意，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為，所以，．（2）由（1）知，，，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以①，又因?yàn)?/p>

②．聯(lián)立①②得，．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項(xiàng)和．證明：(1)是等比數(shù)列．(2)．【解析】（1）∵，∴，兩式相減得：，即．∴．當(dāng)時(shí)，，即又∵，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得，所以令，則．不等式左邊的前2n項(xiàng)和．又，∴原不等式得證．例6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙、丙三個(gè)小學(xué)生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時(shí)，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)，設(shè)第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)；(2)求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.【解析】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得，，，，……………，以上各式相加，可得；（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，則，∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴.變式6．（2023·廣東東莞·?？既＃┮阎獢?shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且，記.(1)求；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(3)求.【解析】（1）由題意可知：（2）由，而，若，則，顯然不能是等比數(shù)列，若，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（3）由（2）可知，若，則為常數(shù)列，各項(xiàng)均為0，故；若，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的求和公式得：=.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列、滿足，，，，且，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題可知：，，故可得，又，∴，∴，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（2）方法一：∵是遞增數(shù)列，∴對(duì)任意恒成立，∵，∴則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，由（1）知，∴對(duì)任意恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為1，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.方法二：得即，又，故數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，又由（1）知，所以，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以對(duì)任意恒成立.所以，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為1，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前和滿足，(1)求的值及與的關(guān)系；(2)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，故?dāng)時(shí)，，得；（2）由（1）知，則有，由于，故，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.變式10．（2023·云南·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列有遞推關(guān)系，，記，若數(shù)列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數(shù)項(xiàng).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：為等比數(shù)列，并求其首項(xiàng)和公比.【解析】（1）因?yàn)?，所以，，由已知得，所以，解得或，因?yàn)?，所?（2）由（1）知，，，，，，因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.變式11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和．【解析】（1）由題意得．又因?yàn)椋裕允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得．所以．所以.變式12．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：和都是等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，又由，得，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，所以，，所以，所以．【解題方法總結(jié)】等比數(shù)列的判定方法定義法若（為非零常數(shù)，或（為非零常數(shù)且，），則是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列中，且，則是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成（均為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式法若數(shù)列的前項(xiàng)和（為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用例7．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則__________.【答案】【解析】由題意可得，，，故有.故答案為：例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）若m，n是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且m，n，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則__________.【答案】【解析】由題可得，則成等比數(shù)列，得.又不妨設(shè)，則成等差數(shù)列，得.結(jié)合，可得，解得或（舍去），即.故答案為：例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，且、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)樵跀?shù)列中，，，則，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，因?yàn)椤⑹呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，因?yàn)?，可得，所以，，由等比中?xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.變式13．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項(xiàng)的乘積為1，則______．【答案】16【解析】由題意得：，故，故，所以.故答案為：16變式14．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，與是方程的兩個(gè)根，則_________.【答案】5【解析】因?yàn)榕c是方程的兩個(gè)根，所以，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為_____________.【答案】或【解析】∵，，∴是方程的兩根，∴或，∵，∴或，∴或故答案為：或變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于_____________.【答案】27【解析】依題意，，所以，所以或（舍去），所以.故答案為：變式17．（2023·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．【答案】4【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．故答案為：4．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則__________.【答案】【解析】由題意可知，，所以；由等比數(shù)列性質(zhì)可得；又因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即，所以；令，則；所以，即.故答案為：變式19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則__________.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，根?jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算得到：，所以.由等比數(shù)列的性質(zhì)得到：.故答案為128.變式20．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則______________．【答案】240【解析】因?yàn)?，所以，所以?故填240.【解題方法總結(jié)】（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則．”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例10．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，，則的值為__________.【答案】40【解析】因?yàn)?，，所以，，則等比數(shù)列的公比，所以，，也是等比數(shù)列，所以，，也是等比數(shù)列，所以，即，解得或，又，所以.故答案為：40.例11．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.【答案】510【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，，，…，，…構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且是該等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，所以.故答案為：510.例12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)公比為.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以，?dāng)時(shí)，有最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：.變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則______.【答案】600【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，解得或，因?yàn)椋?，則，由，，成等比數(shù)列，可得即，解得，故答案為：600變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為______.【答案】91【解析】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設(shè)公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比__________.【答案】/【解析】由，得.又正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，故，∴，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴故，解得：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，所以，故故答案為：變式24．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則___________.【答案】/【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，得，故，所以.故答案為：.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，的等差中項(xiàng)為__________.【答案】/【解析】設(shè)，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，成等比數(shù)列.因?yàn)?，，所以，解得或（舍去?所以，的等差中項(xiàng)為.故答案為：.變式26．（2023·江西南昌·南昌十中?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為_______【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不合乎題意，所以，，由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、、成等比數(shù)列，且公比為，所以，，，因此，.故答案為：.【解題方法總結(jié)】（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比為．①若共有項(xiàng)，則；②若共有項(xiàng)，．（2）等比數(shù)列中，表示它的前項(xiàng)和．當(dāng)時(shí)，有也成等比數(shù)列，公比為．題型五：求數(shù)列的通項(xiàng)例13．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知向量，，若，且，則通項(xiàng)為________．【答案】【解析】∵，∴，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，，兩式作差得：，即，所以是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則，又不符合上式，所以.故答案為：.例14．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列和滿足，，，.則數(shù)列的通項(xiàng)______.【答案】【解析】，，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列故答案為：例15．（2023·上海浦東新·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)冪函數(shù)，數(shù)列滿足：，且（），則數(shù)列的通項(xiàng)__．【答案】【解析】∵，∴，∵，∴數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且各項(xiàng)均不為，∴，∴數(shù)列各項(xiàng)均不為，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴.故答案為：.變式27．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）寫出一個(gè)滿足前5項(xiàng)的和為31，且遞減的等比數(shù)列的通項(xiàng)___________．【答案】（答案不唯一）【解析】不妨設(shè)，依題意數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，所以，又，所以取公比，所以，滿足題意，所以.故答案為：（答案不唯一）.變式28．（2023·山西太原·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)_______．【答案】【解析】先求得時(shí)；再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.當(dāng)時(shí),,解得；由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:變式29．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)___________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，不滿足上式，所以.考點(diǎn)：數(shù)列已知求.【思路點(diǎn)晴】已知求是一種非常常見的題型，這些題都是由與前項(xiàng)和的關(guān)系來求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可由數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，注意：當(dāng)時(shí)，若適合，則的情況可并入時(shí)的通項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．變式30．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{}的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間滿足關(guān)系則=__________【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，整理得，即是以為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)n=1時(shí)也符合，故答案為：變式31．（2023·上海·高三專題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)的通項(xiàng)，由與中公共項(xiàng)，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前項(xiàng)和.【解析】設(shè)，即.，即為奇數(shù)，，∴．【解題方法總結(jié)】（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．推廣形式：（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為題型六：奇偶項(xiàng)求和問題的討論例16．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．【解析】（1）因?yàn)樗?，，，所以．又因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，，所以是一個(gè)增數(shù)列，因?yàn)椋?，所以滿足題意的n的最小值是20．例17．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由題意可得：，且，則，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知：，即，可得：，所以，即，則，可得，則，兩式相減得：，所以.例18．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）由，得所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)．所以變式32．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）設(shè)為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，證明：；(3)記，求.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意，，即，解得.所以.因?yàn)?，，所以，從?（2）由（1）知，，所以.因?yàn)?，所?（3）因?yàn)椋裕兪?3．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知，數(shù)列{}滿足.(1)求數(shù)列{}與數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿足，n為偶數(shù)，求{}前2n項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，即，，.，①，②所以①-②得，，.當(dāng)時(shí)，，符合..（2），依題有：.記，則.記，則.所以.變式34．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公比為q.因，則.又各項(xiàng)為正數(shù)，則，故；（2）由（1）及題意可得，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，..變式35．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列滿足：，且對(duì)任意的，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1），.由題意得，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1）知.運(yùn)用分組求和，可得.變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，因?yàn)?，所以，，所以，?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，因?yàn)?，所以?所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，所以，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)，.綜上所述，.【解題方法總結(jié)】求解等比數(shù)列的前項(xiàng)和，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項(xiàng)數(shù)的值；對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，求證：(1)數(shù)列為等差數(shù)列；(2)數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，所以數(shù)列的公差為，，則，又，，故數(shù)列為等差數(shù)列.（2）證明：假設(shè)數(shù)列中存在不同三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，不妨設(shè)、、（、、均不相等）成等比數(shù)列，即，由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，將此式展開可得，所以有，即，所以，，所以，，化簡整理得，，與假設(shè)矛盾，故數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列.例20．（2023·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，．(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題知，則，解得．（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，，則．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，___________.在①，，成等比數(shù)列，②，③數(shù)列為等差數(shù)列，這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線，使得條件完整，并解答：(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為選擇①：由題意得，故，解得，所以.選擇②：由題意得，即解得，所以.選擇③：由題意得，故，解得，所以.（2）由當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，得數(shù)列的前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，由當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，得數(shù)列的前項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為，故.變式37．（2023·四川資陽·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，（其中）成等差數(shù)列．問：，，是否成等差數(shù)列？并說明理由．【解析】，，成等差數(shù)列.理由如下：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由于，，（其中）成等差數(shù)列，所以，若，則有，，顯然不成立，故公比．于是有，即有，即，故有．則，即，成立，所以，，成等差數(shù)列.變式38．（2023·江蘇·高考真題）已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)若（m，k是大于2正整數(shù)），求證：；(2)若（i是某一正整數(shù)），求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)q的值，并加以說明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，可得，；因?yàn)?，故，，?（2），由可得，解得或，但，故，因?yàn)闉檎麛?shù)，故是整數(shù)；設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為，只要證明數(shù)列中存在某一項(xiàng)，使得即可，即方程關(guān)于有正整數(shù)解即可.則，，也即，若，則，那么，；若，則（舍）；若，則（舍）；若，則為正整數(shù)，又因?yàn)?，故只要考慮時(shí)的情況，此時(shí)是正整數(shù).數(shù)列中任意一項(xiàng)與數(shù)列中的第項(xiàng)相等，故結(jié)論成立.（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有，設(shè)，則，令，則，，因?yàn)?，故（舍去?fù)根），故存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列.變式39．（2023·河南開封·高三?？茧A段練習(xí)）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的的最大值.【解析】（1）因?yàn)椋?，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，解得，所以.（2）由可得，由

得又，所以的最大值為13.變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.若存在，求出這樣的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，是遞增的等比數(shù)列且，；則，解得：（舍）或；.（2）由題意知：，即；假設(shè)存在項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即；成等差數(shù)列，，代入上式得：，，化簡得：，，不合題意；綜上所述：不存在項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.變式41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前n項(xiàng)和.【解析】（1）證明：因?yàn)闀r(shí)，，則，即，，·因?yàn)?，·則①，所以②，則①②得，即，·所以為等差數(shù)列.（2）由（1）可得的首項(xiàng)為，公差為，所以，所以，所以，則，記的前n項(xiàng)和為，則①，所以②，則①②得，·所以，·所以.·【解題方法總結(jié)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，正項(xiàng)等比數(shù)列通過對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題例22．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列【答案】D【解析】對(duì)于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最?。划?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；對(duì)于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對(duì)于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：D.例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【解析】對(duì)于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：，故③正確；對(duì)于④：，，故④正確．故選：D．例24．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則取最大值時(shí)的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時(shí)的值為9，故選：B.變式42．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（

）．A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值【答案】C【解析】若公比為，則，又，故，所以為單調(diào)遞增數(shù)列且，則在時(shí)取最大值，但無最小值.故選：C變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定【答案】A【解析】因?yàn)闈M足，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，故選：A變式44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是遞增的等比數(shù)列，且，則其公比滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】是等比數(shù)列，故，當(dāng)時(shí)，各項(xiàng)正負(fù)項(xiàng)間隔,為擺動(dòng)數(shù)列,故,顯然，由得，又是遞增的等比數(shù)列，故為遞減數(shù)列,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知.故選:D變式45．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1，前n項(xiàng)積為，且，則使得的n的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】設(shè)公比為，則，由，得，因?yàn)椋詾檫f增數(shù)列，所以，所以，，，，，，，，所以n的最小為8.故選：D．變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng) D．?dāng)?shù)列有最小項(xiàng)【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，則，由可得且，對(duì)于AB選項(xiàng)，若，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)，則，此時(shí)數(shù)列不單調(diào)，AB都錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，則有最小項(xiàng)，無最大項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，若為正奇數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞減，則；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增，則.故當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為.綜上所述，有最小項(xiàng).故選：D.變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為【答案】B【解析】若，，，則與矛盾，若，，，則與矛盾，，故B正確；，則，，故A錯(cuò)誤；，單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；，，故C錯(cuò)誤．故選：B．變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是數(shù)列中的最大值C． D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】C【解析】等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，又由，即，又，則有或，又當(dāng)時(shí)，可得，由，則與矛盾所以，則有，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以前?xiàng)積為中，是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；對(duì)于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：C.變式49．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯(cuò)誤；對(duì)任意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯(cuò)誤故選：B.變式50．（2023·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】D【解析】等比數(shù)列的公比為，若，則，由，可得，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，若，當(dāng)時(shí)，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；因?yàn)?，所以，故正確；根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故正確；由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故錯(cuò)誤．故選：．變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是數(shù)列中的最大項(xiàng)；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解析】，，，，．，故①正確；，，故②不正確；，是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故③正確；，，使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．正確結(jié)論的序號(hào)是①③．故選：B．變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，都有成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【解析】（1），.，，.又，，，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別是以2，4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，，（2）方法一：，.，.方法二：，，，，∴時(shí)，為遞增數(shù)列，時(shí)，為遞減數(shù)列，若，都有成立，只需使，則且，則.變式53．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列，其中，且，且是遞增數(shù)列，求的范圍.【解析】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)與公比都為的等比數(shù)列，所以.因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即.當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)，，若，則恒成立，因?yàn)?，所?綜上，或.變式54．（2023·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且對(duì)恒成立，則的范圍為______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以，即?duì)恒成立，對(duì)恒成立，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭钦龜?shù)數(shù)列，所以，所以的取值范圍為.故答案為：變式55．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意正整數(shù)n有，則q的范圍為____________.【答案】【解析】對(duì)于任意正整數(shù)n有，當(dāng)時(shí)，，符合要求，當(dāng)時(shí)，，且，，，，綜上可得，.故答案為：變式56．（2023·北京東城·北京市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）若三角形三邊成等比數(shù)列，則公比q的范圍是_____.【答案】；【解析】設(shè)三邊：、、、則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊，即（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于解二次不等式：，由于方程兩根為：，故得且，即（2）當(dāng)時(shí)，為最大邊，即得，解之得或且即綜合（1）（2），得：故答案為：題型九：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例25．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________（答案精確到1）.【答案】9920【解析】由題知，，，，，，由得，則，解得，所以，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因，所以.故答案為：例26．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┲袊糯鷶?shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.【答案】6【解析】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，而，因此，解得，所以此人在第六天行走的路程（里）.故答案為：6例27．（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┠掣咧袌D書館為畢業(yè)生提供網(wǎng)上閱讀服務(wù)，其中電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級(jí)+學(xué)號(hào)+特別碼構(gòu)成.這個(gè)特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到.以此類推特別碼是學(xué)生屆別數(shù)對(duì)應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：1997屆3班21號(hào)學(xué)生的登陸碼為1997321*.（