2024屆一輪復(fù)習(xí)人教B版 第三章第01講 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 作業(yè)

第01講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算（模擬精練+真題演練）1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，故，又，所以，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A.2．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：，（）的焦點(diǎn)為F，為C上一動(dòng)點(diǎn)，若曲線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為，則直線FM的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，，∴，由題意知，，解得：，又∵M(jìn)在上，∴，解得：，∴，∴.故選：B.3．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則（

）A． B．2 C．±2 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以的圖象在處的切線方程為.因?yàn)榍芯€與坐標(biāo)軸能圍成三角形，所以，令，得，令，得，所以，所以.故選：D4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，對(duì)于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率均小于0，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故B不正確；對(duì)于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故C不正確；對(duì)于D，由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選：D5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．2 B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】.故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.故選：C6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若過原點(diǎn)與曲線相切的直線，切點(diǎn)均與原點(diǎn)不重合的有2條，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)過原點(diǎn)的切線與曲線在處相切，所以切線的斜率，整理得，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)過原點(diǎn)與曲線相切的直線有2條.故選：C7．（2023·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)公切線為是與的切點(diǎn)，由，得，設(shè)是與的切點(diǎn)，由，得，所以的方程為，因?yàn)椋淼?，同理，因?yàn)?，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，即直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?，令，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以有極小值為，有極大值為，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)趨近于時(shí)，趨近于0；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，故的圖象簡(jiǎn)單表示為下圖:所以當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn).故選：A.8．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，都有的最小值為0，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，都有的最小值為0，可轉(zhuǎn)化為直線與相切.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得，可得.令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，即的最小值為.故選:A.9．（多選題）（2023·重慶·校聯(lián)考三模）德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無(wú)限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，對(duì)，，且，總有，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，根據(jù)可得，在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，且，總有，所以函?shù)圖象上凸，畫出函數(shù)圖象，由幾何意義可知，表示函數(shù)圖象上的各點(diǎn)處的切線斜率，顯然隨著的增大，切線斜率變小，且恒為正，因?yàn)?，所以，B正確；C選項(xiàng)，，結(jié)合函數(shù)圖象可知，C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD10．（多選題）（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）若一條直線與兩條或兩條以上的曲線均相切，則稱該直線為這些曲線的公切線，已知直線：為曲線：和：的公切線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象在軸的上方B．當(dāng)時(shí)，C．若，則D．當(dāng)時(shí)，和必存在斜率為的公切線【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，由，得，可知曲線的圖象在軸的上方，故A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，：，：，對(duì)于：，有，因?yàn)橹本€：為曲線的切線，所以，即，此時(shí)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入切線方程中，有，整理得，可得，即B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，公切線為，設(shè)，，則，，所以，，解得，，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，，則，，若和存在斜率為的公切線，則存在和使得，，由選項(xiàng)B可知，，即，所以，，即，，符合題意，故當(dāng)時(shí)，和必存在斜率為的公切線，即D正確．故選：ABD．11．（多選題）（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)的直線與曲線相切，則與直線垂直的直線為（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，即，故，解得或，所以直線的斜率為或，對(duì)于A：直線的斜率為，符合題意，故A正確；對(duì)于B：直線的斜率為，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：直線的斜率為，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線的斜率為，符合題意，故D正確；故選：AD12．（多選題）（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點(diǎn)為、、不重合，設(shè)直線、分別與y軸交于點(diǎn)A、B，則（

）A．、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值 B．直線的斜率為定值C．線段AB的長(zhǎng)度為定值 D．面積的取值范圍為【答案】BCD【解析】由函數(shù)，則，設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，故B正確；對(duì)于C，易知直線，直線，令，則，即，同理可得，，故C正確；對(duì)于D，聯(lián)立，整理可得，解得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，故D正確.故選：BCD.13．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若這兩個(gè)函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則_________．【答案】/【解析】因?yàn)椋裕?，因?yàn)樵诠颤c(diǎn)處有相同的切線，所以即，所以故答案為：14．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，所求切線的斜率為，故所求切線方程為，即.故答案為：.15．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象在處的切線與在處的切線相互垂直，則的最小值是___________.【答案】/【解析】因?yàn)椋?，依題意可得，所以,所以且，或且，當(dāng)且時(shí)，，，，，所以，，，所以，，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.當(dāng)且時(shí)，，，，，所以，，，所以，，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.綜上所述：的最小值是.故答案為：.16．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使函數(shù)圖象在這兩點(diǎn)處的切線斜率之積小于0且斜率之和等于常數(shù)e，則稱該函數(shù)為“e函數(shù)”，下列四個(gè)函數(shù)中，其中為“e函數(shù)”的是________．①；②；③；④【答案】①③④【解析】記，，．①，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，有最小值，值域?yàn)?，∴存在、使，故是e函數(shù)；②∵，，∴，，∴，不存在、使，故不是e函數(shù)；③，，值域?yàn)镽，∴存在、使，故是e函數(shù)；④，值域?yàn)?，∴存在、使，故是e函數(shù)．故答案為：①③④1．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．，將代入得，故選D．2．（2019·全國(guó)·高考真題）曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在曲線上．則在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選C．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．【答案】【解析】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可.[方法三]：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．【答案】【解析】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為____