2022-2023學(xué)年北京延慶縣四海中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年北京延慶縣四海中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}（a1≠a2）的公比為q，且a7，a1，a4成等差數(shù)列，則q=（）A．1或 B． C．1或 D．1參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意可得a7+a4=2a1，即，求解該方程得答案．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，∵a7，a1，a4成等差數(shù)列，∴a7+a4=2a1，即，∴q6+q3﹣2=0，解得q3=1（舍）或q3=﹣2．∴．故選：B．2.已知是的重心，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，若，則的取值范圍是(

)

A、

B、

C、

D、參考答案：C略3.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則的值為

（

）A．-3

B.

C.

D.3參考答案：B：因?yàn)闀r(shí),,所以時(shí)，，即，所以，故選B。4.若非零向量，則△ABC的形狀是A．等邊三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形參考答案：C5.已知集合則A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，若輸入的值為6，則輸出的值為

參考答案：略7.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為（

）A、 B、 C、 D、參考答案：A8.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：組距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]頻數(shù)234542則樣本在(10,50]上的頻率為(

)

(A).

(B).

(C).

(D).

參考答案：答案：D9.已知函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到的圖像恰好關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為

（

）A.

B.

C.

D.以上都不對(duì)參考答案：A10.函數(shù)y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的圖象重合，則φ的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義．【分析】利用誘導(dǎo)公式將y=f（x）=cos（2x+φ）轉(zhuǎn)化為f（x）=sin[+（2x+φ）]，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得φ的值．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+φ）=sin[+（2x+φ）]=sin（2x++φ），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）++φ）]=sin（2x﹣+φ），又f（x﹣）=sin（2x+），∴sin（2x﹣+φ）=sin（2x+），∴φ﹣=2kπ+，∴φ=2kπ+，又﹣π≤φ＜π，∴φ=．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，且，則實(shí)數(shù)

．參考答案：解：．由12.已知△ABC的外接圓半徑為8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，則△ABC的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理． 【分析】sinA：sinB：sinC=2：3：4，利用正弦定理可得a：b：c=2：3：4，利用余弦定理可得cosA，sinA=．再利用正弦定理可得=2×8，解得a，即可得出三角形面積． 【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴a：b：c=2：3：4， cosA==，sinA==． ∴=2×8，解得a=16×=2． ∴b=3，c=4． ∴S=bcsinA=3×4×=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積計(jì)算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 13.函數(shù)處有極值10，則的值為

.參考答案：略14.函數(shù)f（x）=lnx的圖象在點(diǎn)x=1處的切線方程是

．參考答案：y=x﹣1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先x=1代入解析式求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后代入求出f′（1），即為所求的切線斜率，再代入點(diǎn)斜式進(jìn)行整理即可．【解答】解：把x=1代入f（x）=lnx得，f（1）=ln1=0，∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，0），由f′（x）=（lnx）′=，得在點(diǎn)x=1處的切線斜率k=f′（1）=1，∴在點(diǎn)x=1處的切線方程為：y=x﹣1，故答案為：y=x﹣1．15.從等腰直角的底邊上任取一點(diǎn)，則為銳角三角形的概率為

；參考答案：

16.若展開式的常數(shù)項(xiàng)是60，則常數(shù)a的值為

．參考答案：17.已知直線,,則的值為▲,直線間的距離為▲.參考答案：；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某商場(chǎng)為了了解顧客的購物信息，隨機(jī)在商場(chǎng)收集了100位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

一次購物款（單位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,+∞)顧客人數(shù)20a3020b

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示100位顧客中購物款不低于150元的顧客占30%，該商場(chǎng)每日大約有4000名顧客，為了增加商場(chǎng)銷售額度，對(duì)一次購物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品.（Ⅰ）試確定a，b的值，并估計(jì)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量；（Ⅱ）為了迎接春節(jié)，商場(chǎng)進(jìn)行讓利活動(dòng)，一次購物款200元及以上的一次返利30元；一次購物不超過200元的按購物款的百分比返利，具體見下表：一次購物款（單位：元）[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)返利百分比06%8%10%

請(qǐng)問該商場(chǎng)日均大約讓利多少元？參考答案：（Ⅰ）由已知，100位顧客中購物款不低于150元的顧客有，；.該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量大約為.（Ⅱ）設(shè)顧客一次購物款為元.當(dāng)時(shí)，顧客約有人；當(dāng)時(shí)，顧客約有人；當(dāng)時(shí)，顧客約有人；當(dāng)時(shí)，顧客約有人.該商場(chǎng)日均大約讓利為：（元）.

19.已知函數(shù)f（x）=（xlnx+ax+a2﹣a﹣1）ex，（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論f（x）在區(qū)間（，+∞）上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）是否存在a，使得f（x）在區(qū)間（，+∞）上與x軸相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）若a=0，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（II）利用導(dǎo)數(shù)分別討論a的取值，進(jìn)而討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（，+∞）上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（III）假設(shè)存在a，使得f（x）在區(qū)間（，+∞）上與x軸相切，則f（x）必與x軸相切于極值點(diǎn)處，利用導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系進(jìn)行討論．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（xlnx﹣1）ex，（x＞0）導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x+1）exlnx，所以x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0．可得f（x）的減區(qū)間為（0，1），f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）；（Ⅱ）f′（x）=（lnx+xlnx+ax+a2）ex，令m（x）=lnx+xlnx+ax+a2m′（x）=+lnx+1+a，又令φ（x）=+lnx+1+aφ′（x）=﹣+．x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＜0，φ（x）遞減；x∈（1，+∞），φ（x）＞0，φ（x）遞增．m（x）min=m′（1）=2+a≥0，所以m（x）在區(qū)間（，+∞）單調(diào)遞增，m（）=（a﹣1）（a+1+），①m（）≥0，即：﹣2≤a≤﹣1﹣或a≥1時(shí)m（x）在區(qū)間（，+∞）上無零點(diǎn)，f（x）無極值點(diǎn)②m（）＜0，即：﹣1﹣＜a＜1，m（x）在區(qū)間（，+∞）上有唯一零點(diǎn)，f（x）有唯一極值點(diǎn)．（Ⅲ）假設(shè)存在a，使得f（x）在區(qū)間（，+∞）上與x軸相切，則f（x）必與x軸相切于極值點(diǎn)．由（2）可知﹣1﹣＜a＜1，設(shè)極值點(diǎn)為x0，聯(lián)立得x0=e﹣（a+1）代入上式得e﹣（a+1）+（a+1）﹣a2=0令t=﹣（a+1），t∈（﹣2，），h（t）=et﹣t﹣（t+1）2h′（t）=et﹣2t﹣3，h″（t）=et﹣2＜0h′（t）在t∈（﹣2，）上單調(diào)遞減，h′（﹣2）=e﹣2+1＞0，＜0∴h′（t）在t∈（﹣2，）上存在唯一零點(diǎn)t0即當(dāng)t∈（﹣2，t0）時(shí)，h′（t）＞0，h（t）單調(diào)遞增，當(dāng)t∈（t0，）時(shí)，h（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減h（﹣2）＞0，h（）＜0，所以h（t）在t∈（﹣2，t0）上無零點(diǎn)，在t∈（t0，）上有唯一零點(diǎn)h（0）=0，a+1=0，a=﹣1所以存在a=﹣1，使得f（x）在區(qū)間（，+∞）上與x軸相切．20.如圖1，，，過動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．（Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大?。畢⒖即鸢福航夥?：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．由，知，△為等腰直角三角形，所以.由折起前知，折起后（如圖2），，，且，所以平面．又，所以．于是

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)，即時(shí),三棱錐的體積最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大．

（Ⅱ）解法1：以為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系．由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．于是可得，，，，，，且．設(shè)，則.因?yàn)榈葍r(jià)于，即，故，.所以當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由及，得可?。O(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得，即．略21.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知，不等式的解集是

(1)求a的值;

(2)若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：由得：即當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是，無解；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是，得……………（5分）（2）由題：因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)解，只需大于的最小值由絕對(duì)值的幾何意義，，所以解得：…………………（10分）22.設(shè)是定義