材料加工中的數(shù)值模擬方法-微觀組織數(shù)值模擬(3)課件

《材料加工過(guò)程的數(shù)值模擬》——微觀組織數(shù)值模擬(III)任課教師:王錦程Office：公字樓216TelO)Email：jchwang@上節(jié)內(nèi)容回顧微觀組織數(shù)值模擬方法：MD,MC,CA,PFM,FTM,LSM朗道連續(xù)相變理論：序參量，朗道自由能多項(xiàng)式Gibbs自由能熱力學(xué)模型：固溶體、化合物機(jī)械混合理想溶液真實(shí)體系常數(shù)，則為規(guī)則溶液相互作用參數(shù)原子在兩個(gè)亞點(diǎn)陣中分配程度的不同-不同的有序度以體心立方結(jié)構(gòu)的固溶體為例bccfcc雙亞點(diǎn)陣模型（Twosublatticemodel）間隙式固溶體(Interstitialsolidsolution)線性化合物(Linearcompound)例(a鐵素體)通式分子式元素進(jìn)入原子分?jǐn)?shù)實(shí)體亞點(diǎn)陣亞點(diǎn)陣成分亞點(diǎn)陣成分雙亞點(diǎn)陣模型對(duì)間隙固溶體成分的描述例（合金滲碳體）通式分子式元素進(jìn)入原子分?jǐn)?shù)M亞點(diǎn)陣N亞點(diǎn)陣結(jié)點(diǎn)比亞點(diǎn)陣成分亞點(diǎn)陣成分亞點(diǎn)陣成分亞點(diǎn)陣成分雙亞點(diǎn)陣模型對(duì)線性化合物成分的描述

由于亞點(diǎn)陣模型假設(shè)各亞點(diǎn)陣之間的相互作用可以忽略不計(jì)，一個(gè)亞點(diǎn)陣內(nèi)組元的相互作用與其它亞點(diǎn)陣內(nèi)組元的種類無(wú)關(guān)。將每一個(gè)亞點(diǎn)陣中不同組元混合的理想混合熵相加，就可得到理想混合熵對(duì)Gibbs自由能的貢獻(xiàn)。Gibbs自由能的參考面是是AaCc、BaCc、AaDc、BaDc等化合物Gibbs自由能的機(jī)械混合。亞點(diǎn)陣模型的過(guò)剩Gibbs自由能是描述同一亞點(diǎn)陣內(nèi)組元的相互作用對(duì)理想溶體的偏差。如果一個(gè)亞點(diǎn)陣上只有一種組元，則這個(gè)亞點(diǎn)陣上的過(guò)剩Gibbs自由能為零。當(dāng)亞點(diǎn)陣中有兩種以上的組元時(shí)，可以按正規(guī)溶液模型計(jì)算其過(guò)剩Gibbs自由能。表示當(dāng)?shù)诙€(gè)亞點(diǎn)陣中充滿了C組元時(shí)，第一個(gè)亞點(diǎn)陣中A和B之間的相互作用參數(shù)在Ni-Al二元合金中，

′相具有fcc有序結(jié)構(gòu)，可看作是由四個(gè)相互穿插的亞點(diǎn)陣構(gòu)成，可采用四亞點(diǎn)陣熱力學(xué)模型來(lái)描述：請(qǐng)給出

′相Gibbs自由能表達(dá)式??×0.25

相場(chǎng)法基本原理及其應(yīng)用

相場(chǎng)法起源及發(fā)展歷史相場(chǎng)法的應(yīng)用領(lǐng)域相場(chǎng)法基本思想相場(chǎng)模型的建立對(duì)于一個(gè)封閉空間Ω

Rd，材料由界面(t)Rd-1分割為固/液兩態(tài)。對(duì)于純物質(zhì)有枝晶生長(zhǎng)：典型的Stefan問(wèn)題（自由邊界問(wèn)題）

遠(yuǎn)場(chǎng)條件尖銳界面模型需跟蹤界面Gibbs-Thompson系數(shù)kineticmobility相場(chǎng)法的起源及發(fā)展歷史傳熱方程界面守恒Gibbs-Thomson關(guān)系（曲率效應(yīng)）

尖銳界面模型(ShapeInterfaceModel)在這類模型中，界面是尖銳的（數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為厚度無(wú)限小），固、液相在界面兩側(cè)銳變。彌散界面模型(DiffuseInterfaceModel)固相、液相和界面作為不同的相態(tài)用一個(gè)標(biāo)量統(tǒng)一表示，這個(gè)標(biāo)量與其它變量構(gòu)成一組偏微分方程。VanderWaals(1893)Korteweg(1901)Landau-Ginzburg(1950)Cahn-Hilliard(1958)Halperin,Hohenberg&Ma(1977)J.Langer(1978)相場(chǎng)法的起源及發(fā)展歷史對(duì)具有十分復(fù)雜的界面結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)，用經(jīng)典尖銳界面模型去跟蹤界面演化，會(huì)遭遇到嚴(yán)重的數(shù)值困難。

真實(shí)材料中的相界或晶界實(shí)際上并不是嚴(yán)格的零厚度界面，而是具有一定厚度（納米尺度）的邊界層，這層厚度控制材料相變動(dòng)力學(xué)（如凝固中的非平衡效應(yīng)，溶質(zhì)截流效應(yīng)等）。相場(chǎng)法的關(guān)鍵是引入一個(gè)序參量場(chǎng)

來(lái)區(qū)分兩相（如固相和液相），通常稱之為相場(chǎng)。在相場(chǎng)中，

在固/液界面的一側(cè)從一個(gè)常值逐漸過(guò)渡至界面另一側(cè)的某一常值，將這個(gè)擴(kuò)散界面層定義為界面，因此，在相場(chǎng)法中的固/液界面為彌散型界面。的主要目的是跟蹤兩相不同的熱力學(xué)狀態(tài)，可以不嚴(yán)格地將其理解為結(jié)晶程度的度量。

相場(chǎng)法的起源及發(fā)展歷史序參量彌散界面統(tǒng)一自由能形式平均場(chǎng)理論Hohenberg

和

Halperin（1977）提出ModelC的概念。

相場(chǎng)模型的想法最初由Langer(1978,1986)提出，Collin和Levine(1985)也引入了類似的相場(chǎng)模型(Phasefieldmodel)。Caginalp(1985-1991)分析了這些相場(chǎng)模型，證明它們?cè)诮缑鎸雍穸融呌诹銜r(shí)可以還原為尖銳界面的自由邊界模型，這就從數(shù)學(xué)上證明了Langer等人相場(chǎng)模型的有效性。Fix(1983),Kobayashi(1991)等采用相場(chǎng)模型對(duì)具體凝固過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬。相場(chǎng)法的起源及發(fā)展歷史1992年，Wheeler，Boettinger和McFadden建立了WBM相場(chǎng)模型，1995年Warren等首次對(duì)Ni-Cu合金凝固過(guò)程組織演化進(jìn)行了模擬。1993年Chen，Wang及Khachaturyan等將彌散界面概念用于固態(tài)相變模擬，建立了可考慮彈性場(chǎng)作用的相場(chǎng)模型(continuumfieldmodel)。1998年Kim等基于界面局部平衡建立了KKS相場(chǎng)模型。1998年及2001年Karma建立了純物質(zhì)凝固及合金凝固的定量相場(chǎng)模型。2002年Elder等建立了晶體相場(chǎng)模型（phasefieldcrystalmodel).相場(chǎng)法的起源及發(fā)展歷史模型中的基本方程不是從不可逆過(guò)程的熱力學(xué)原理出發(fā)推出的，其推論不能與經(jīng)典熱力學(xué)的熵增加原理相融洽。因此這些模型的推導(dǎo)在理論上看不很自然。Penrose和Fife(1990,1995)克服了以上相場(chǎng)模型的第一個(gè)缺點(diǎn)。他們建立了與熱力學(xué)原理相洽的相場(chǎng)模型。這一相場(chǎng)理論后又經(jīng)Sekerka,A.A.Wheeler,McFadden,Coriell等進(jìn)一步完善化。這種相場(chǎng)理論的建立基于引入熵泛函表達(dá)式，保證了系統(tǒng)中局部熵增加原理永遠(yuǎn)成立。這些相場(chǎng)模型在應(yīng)用于凝固過(guò)程的數(shù)值計(jì)算時(shí)，只能用于過(guò)冷度大的情形。對(duì)于實(shí)際上大量出現(xiàn)的小過(guò)冷度情形(如枝晶生長(zhǎng)屬此情形)，用這些相場(chǎng)模型很難求得數(shù)值模擬解。A.Karma和W-J.Rappel(1996)克服了以上相場(chǎng)模型的第二個(gè)缺點(diǎn)，他們?cè)诓煌臉O限條件下，讓相場(chǎng)模型還原成自由邊界模型，從而對(duì)相場(chǎng)模型中一些參數(shù)賦予了新的物理意義，使得相場(chǎng)模型用于小過(guò)冷度條件下凝固過(guò)程的數(shù)值模擬成為可能。相場(chǎng)法的起源及發(fā)展歷史

相場(chǎng)法基本原理及其應(yīng)用

相場(chǎng)法起源及發(fā)展歷史相場(chǎng)法的應(yīng)用領(lǐng)域相場(chǎng)法基本思想相場(chǎng)模型的建立

相變過(guò)程流體力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化生物學(xué)

……相場(chǎng)法應(yīng)用領(lǐng)域液/固相變（枝晶生長(zhǎng)、多元多相凝固、多晶凝固等）固態(tài)相變（沉淀相析出、馬氏體相變、鐵電相變等）應(yīng)力相變（薄膜生長(zhǎng)，定向粗化）結(jié)構(gòu)缺陷相變（裂紋擴(kuò)展、位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)）外場(chǎng)耦合（溫度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、流場(chǎng)、電磁場(chǎng)）自由枝晶（多晶）自由枝晶（多晶）自由枝晶（多晶）Ryschenkow&FaivreJCG(1988)SeSpheruliticgrowthL.Gránásy,

T.B?rzs?nyi,T.PusztaiResearchInstituteforSolidSttePhysicsandOptics,Budapest,HungaryFractal-likemultidomains:Fleury,Nature(1997)自由枝晶（耦合流場(chǎng)）定向凝固定向凝固共晶生長(zhǎng)共晶生長(zhǎng)EutecticFibres共晶生長(zhǎng)偏晶生長(zhǎng)相場(chǎng)法在固態(tài)相變中的應(yīng)用(Al-Cu)相場(chǎng)法在固態(tài)相變中的應(yīng)用（Ni-Al）馬氏體相變微彈性位錯(cuò)攀移與滑移剪切與拉伸外延生長(zhǎng)外延生長(zhǎng)

相場(chǎng)法基本原理及其應(yīng)用

相場(chǎng)法起源及發(fā)展歷史相場(chǎng)法的應(yīng)用領(lǐng)域相場(chǎng)法基本思想相場(chǎng)模型的建立相場(chǎng)法的關(guān)鍵是引入一個(gè)序參量場(chǎng)

來(lái)區(qū)分兩相，通常稱之為相場(chǎng)。在相場(chǎng)中，

在界面的一側(cè)從一個(gè)常值逐漸過(guò)渡至界面另一側(cè)的某一常值，將這個(gè)擴(kuò)散界面層定義為界面，因此，在相場(chǎng)法中的界面為彌散型界面。的主要目的是跟蹤兩相不同的熱力學(xué)狀態(tài)，可以不嚴(yán)格地將其理解為結(jié)晶程度的度量。

通過(guò)上述處理，從而使界面位置隨空間和時(shí)間的變化隱含在相場(chǎng)變量隨時(shí)間和空間的演化之中。

相場(chǎng)法基本思想序參量彌散界面統(tǒng)一自由能形式基本思想相場(chǎng)模型的基礎(chǔ)是Landau相變理論。Landau相變理論強(qiáng)調(diào)了對(duì)稱的重要性，對(duì)稱性的破壞對(duì)應(yīng)著相變的發(fā)生。在Landau相變理論中，對(duì)稱性由序參量所描述。對(duì)稱破缺意味著序參量不為零的有序相出現(xiàn)。序參量是某個(gè)物理量的平均值，描述偏離對(duì)稱的性質(zhì)和程度，可以是標(biāo)量、矢量、復(fù)數(shù)或更復(fù)雜的量。如果使序參量在空間上是不均勻和連續(xù)的，則可以將Landau理論用于描述微觀組織的演化。通過(guò)序參量在空間上的依賴關(guān)系，可以確定非均勻組分和結(jié)構(gòu)，并可通過(guò)序參量的空間分布對(duì)結(jié)構(gòu)形態(tài)進(jìn)行模擬?；舅枷雽?duì)于非均勻的連續(xù)體系，需要采取彌散界面進(jìn)行描述，即利用各種守恒和非守恒場(chǎng)變量（如：濃度、結(jié)構(gòu)、取向、長(zhǎng)程有序等）的空間梯度描述各相之間的彌散界面。相變熱力學(xué)和伴生的結(jié)構(gòu)演化是通過(guò)選構(gòu)一個(gè)依賴于保守和非保守參量的自由能密度泛函而實(shí)現(xiàn)的。相變的本質(zhì)由一組連續(xù)的序參量場(chǎng)所描述。微觀組織演化則通過(guò)求解控制空間上不均勻的序參量場(chǎng)的時(shí)間關(guān)聯(lián)的相場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方程而獲得。相場(chǎng)法對(duì)相變過(guò)程中可能出現(xiàn)的瞬時(shí)形貌和微觀組織不做任何事先的假設(shè)。相場(chǎng)理論的基本想法是在系統(tǒng)中引入一個(gè)新的狀態(tài)參數(shù)—序參量(orderparameter)或稱標(biāo)識(shí)函數(shù)(markfunction)或相場(chǎng)變量(phasefield)，

(r,t)，以描述系統(tǒng)的某種狀態(tài)。序變量

=0

物質(zhì)A相(如固態(tài))，

序變量

=1

物質(zhì)B相(如液態(tài))在一個(gè)存在A

B相變的系統(tǒng)中，序參量在一個(gè)厚度十分小的薄層內(nèi)，由

(r,t)=0連續(xù)地轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(r,t)=1。在此薄層內(nèi)其它所有的物理量也都在空間連續(xù)變化。整個(gè)系統(tǒng)中不存在熱力學(xué)狀態(tài)函數(shù)的任何躍變。這時(shí)，經(jīng)典自由邊界模型中的尖銳相界面被一個(gè)有一定厚度的彌散界面層(diffusiveinterface)所替代。在相場(chǎng)理論中，不存在運(yùn)動(dòng)的相界面的位置。但相場(chǎng)理論卻增加了一個(gè)未知的序參量的分布函數(shù)

(r,t)

。建立相場(chǎng)理論的關(guān)鍵就在于建立關(guān)于包括序參量

(r,t)以及其它熱力學(xué)狀態(tài)量(如溫度、濃度等)在內(nèi)的，對(duì)于時(shí)間與物理空間的統(tǒng)一的控制方程。相場(chǎng)法-幾點(diǎn)說(shuō)明在連續(xù)介質(zhì)模型框架下建立的相場(chǎng)模型不會(huì)是唯一的，對(duì)同一種相變系統(tǒng)、同一種問(wèn)題，可建立無(wú)數(shù)不同的相場(chǎng)模型，它們之間的差別就在于對(duì)相界面薄層內(nèi)系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的不同描述上。但是一個(gè)有效的相場(chǎng)模型必須滿足以下要求：（1）對(duì)序變量

(r,t)的解只能允許如下二種類型：常數(shù)解：

(r,t)=0，1

非常數(shù)解：0<

(r,t)

<1，這時(shí)

(r,t)=0向

(r,t)=1

轉(zhuǎn)變發(fā)生在一個(gè)厚度十分小的薄層內(nèi)。（2）當(dāng)界面層厚度趨于零時(shí)，相場(chǎng)模型應(yīng)還原成尖銳界面的經(jīng)典自由邊界模型，給出與經(jīng)典自由邊界模型一致的方程組與界面條件。因此經(jīng)典自由邊界模型實(shí)際擔(dān)當(dāng)著檢驗(yàn)相場(chǎng)模型正確與否的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。相場(chǎng)法-幾點(diǎn)說(shuō)明通過(guò)取極限還原為自由邊界模型之后，便能建立起一些在相場(chǎng)模型中人為引入的參數(shù)(它們不能由實(shí)驗(yàn)直接測(cè)定)與自由邊界模型中所包含的輸運(yùn)系數(shù)(如熱傳導(dǎo)系數(shù)等)和宏觀物理量(如相變潛熱，表面張力等(它們均可由實(shí)驗(yàn)直接測(cè)定))之間的關(guān)系式，從而對(duì)相場(chǎng)模型原先人為引入的參數(shù)賦予相應(yīng)的物理意義。但是應(yīng)該指出：將相場(chǎng)理論還原為自由邊界模型的極限過(guò)程可以采取不同的途徑。不同的極限過(guò)程的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生對(duì)相場(chǎng)模型中同一參數(shù)的不同的物理描述。建立相場(chǎng)模型所