少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由運(yùn)行

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由運(yùn)行

0從受約束到有約束的機(jī)構(gòu)自由3、4和5個(gè)低規(guī)模的聯(lián)合空間組織機(jī)構(gòu)是國(guó)際機(jī)器人學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究熱點(diǎn)。自由度分析屬于機(jī)構(gòu)學(xué)中的基本科學(xué)問題。然而,少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算長(zhǎng)期以來沒有有效的方法和公式,一般機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算使用的Grübler-Kutzbach公式很難被正確應(yīng)用于少自由度并聯(lián)機(jī)器人上。正如文獻(xiàn)中指出:很難為閉環(huán)運(yùn)動(dòng)鏈定義一個(gè)通用的自由度計(jì)算公式。自由度分析這一基本理論問題的難以解決,制約了現(xiàn)代空間機(jī)構(gòu)學(xué)的發(fā)展,例如機(jī)型綜合以及實(shí)際應(yīng)用。各國(guó)研究者或以復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,或經(jīng)過繁瑣的概念推理來導(dǎo)出少自由度機(jī)構(gòu)的自由度性質(zhì),或靠經(jīng)驗(yàn)直觀來推斷機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)和性質(zhì)。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)自由度的減少本質(zhì)上是因?yàn)槭艿搅朔种┘拥慕Y(jié)構(gòu)約束的影響,因此通過約束分析即機(jī)構(gòu)的受力分析來討論機(jī)構(gòu)的自由度應(yīng)該是最直接有效的方法。然而傳統(tǒng)的受力分析難以描繪復(fù)雜的空間受力狀態(tài),從幾何的角度看,少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中具有多個(gè)結(jié)構(gòu)約束,可以力偶、力線矢或者力螺旋的形式存在,彼此呈空間分布的關(guān)系。同時(shí)其位置和方向隨機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)而變化,如何在連續(xù)運(yùn)動(dòng)中去描述和分析仍未得到解決。本文引入螺旋理論描述單個(gè)分支約束及所有分支約束的合成,并從幾何上直接分析約束的線性相關(guān)性,判別出機(jī)構(gòu)自由度的性質(zhì),同時(shí)給出公共約束,冗余約束存在的幾何條件和相應(yīng)的判別計(jì)算公式,在此基礎(chǔ)上得到普遍適用于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的修正Grübler-Kutzbach計(jì)算公式和一種等價(jià)的完全依靠約束分析的自由度計(jì)算公式。筆者提出的方法不僅適用于對(duì)稱少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),也適用于非對(duì)稱少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。1機(jī)構(gòu)約束螺旋的合成在螺旋理論中,單位螺旋$=(s;r×s)=(lmn;abc)可用來表示一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副或一個(gè)力線矢,式中s是螺旋軸線方向的單位矢量,r是螺旋軸線上任意一點(diǎn)的位置矢量,式中l(wèi),m,n表示轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線或力線矢軸線的3個(gè)方向余弦。一個(gè)移動(dòng)副或一個(gè)力偶矢量可以表示為$=(0;s)=(000;lmn)。當(dāng)兩個(gè)螺旋$=(s;s0)和$r=(sr;s0r)的互易積為零時(shí),即:$。$r=s·s0r+sr·s0=0稱$和$r互為反螺旋或互逆。當(dāng)$表示一個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋,而$r表示一個(gè)力螺旋時(shí),上式的意義為力螺旋$r對(duì)運(yùn)動(dòng)螺旋$所表示的運(yùn)動(dòng)做功為零,即不約束該運(yùn)動(dòng)。自由度的減少是因?yàn)槭艿搅思s束。在對(duì)稱少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,每個(gè)分支施加給動(dòng)平臺(tái)一個(gè)或幾個(gè)結(jié)構(gòu)約束,所有分支結(jié)構(gòu)約束的合成就決定了動(dòng)平臺(tái)失去的自由度?？梢赃\(yùn)用螺旋理論分別在分支和機(jī)構(gòu)兩級(jí)來描述這種結(jié)構(gòu)約束。當(dāng)分支運(yùn)動(dòng)鏈中所有的運(yùn)動(dòng)副都用單位運(yùn)動(dòng)螺旋表示,則這些單位運(yùn)動(dòng)螺旋構(gòu)成分支運(yùn)動(dòng)螺旋系,和分支運(yùn)動(dòng)螺旋系中所有螺旋相逆的全部線性無關(guān)的反螺旋構(gòu)成分支約束螺旋系,描述分支運(yùn)動(dòng)鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的結(jié)構(gòu)約束。所有分支約束螺旋的合成構(gòu)成機(jī)構(gòu)約束螺旋系,對(duì)應(yīng)于機(jī)構(gòu)被約束的自由度。如以單位運(yùn)動(dòng)螺旋表示機(jī)構(gòu)的自由度,則這些螺旋構(gòu)成機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)螺旋系。注意到螺旋系的相關(guān)性已被證明與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。由于運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋是瞬時(shí)量,在進(jìn)行約束分析時(shí)就需要判別機(jī)構(gòu)自由度是否為瞬時(shí)。只需通過辨別機(jī)構(gòu)約束螺旋系在動(dòng)平臺(tái)發(fā)生可行的任意連續(xù)運(yùn)動(dòng)后是否改變即可。如機(jī)構(gòu)約束螺旋系不改變,則機(jī)構(gòu)自由度不為瞬時(shí)。一般通過對(duì)機(jī)構(gòu)各分支中運(yùn)動(dòng)副軸線間的幾何關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析和觀察就可得到結(jié)果。在本文中,用$ij表示第i個(gè)分支中第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副對(duì)應(yīng)的單位運(yùn)動(dòng)螺旋;$rijrij表示第i個(gè)分支施加給動(dòng)平臺(tái)的第j個(gè)約束螺旋;$rmjrmj表示機(jī)構(gòu)約束螺旋系中第j個(gè)約束螺旋。2機(jī)構(gòu)約束螺旋系在1997年,黃真等用螺旋理論重新定義公共約束,給出階的計(jì)算方法,解釋了用Grübler-Kutzbach公式計(jì)算自由度的基本原理。公共約束可以定義為:當(dāng)機(jī)構(gòu)所有的運(yùn)動(dòng)副均以運(yùn)動(dòng)螺旋$m表示,構(gòu)成一個(gè)螺旋系A(chǔ),若存在一個(gè)與螺旋系A(chǔ)中每一個(gè)螺旋$m均相逆的反螺旋$r,這就是該機(jī)構(gòu)的一個(gè)公共約束。所有線性無關(guān)的反螺旋$r構(gòu)成約束螺旋系B,則機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)λ為:λ=Rank(B)=Rank({$r|$r。$m=0,$m∈A})(1)式(1)中Rank(B)表示求螺旋系B的最大線性無關(guān)數(shù)或維數(shù)。則機(jī)構(gòu)的階數(shù)為:d=6-λ(2)在對(duì)稱的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,各分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的約束種類和數(shù)目都相同。根據(jù)前面的定義,這里可以得到公共約束存在的幾何條件:如果每個(gè)分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的同類約束在空間滿足共軸的幾何條件,則構(gòu)成一個(gè)螺旋1系,成為機(jī)構(gòu)的一個(gè)公共約束?？紤]一個(gè)具有p個(gè)相同結(jié)構(gòu)的分支,且自由度數(shù)為M(M<6)的對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu),每個(gè)分支向動(dòng)平臺(tái)施加q個(gè)結(jié)構(gòu)約束,則機(jī)構(gòu)約束螺旋系由p·q個(gè)約束螺旋構(gòu)成,且在非奇異位形下機(jī)構(gòu)約束螺旋系的維數(shù)必須是6-M。除了構(gòu)成公共約束的結(jié)構(gòu)約束,剩余的l個(gè)約束構(gòu)成一個(gè)螺旋k(k≤l)系,則冗余約束數(shù)v可由式(3)給出:v=l-k(3)顯然,施加于動(dòng)平臺(tái)上所有分支約束數(shù)p·q應(yīng)該等于生成公共約束所需的約束數(shù)λ·p和剩余的約束數(shù)l的總和,即:p·q=λ·p+l(4)把式(3)代入式(4),消去l后可得:p·q=λ·p+v+k(5)根據(jù)式(5)可得冗余約束數(shù)v為:v=p·q-λ·p-k(6)3機(jī)構(gòu)約束自由度分析機(jī)構(gòu)約束螺旋系決定機(jī)構(gòu)在瞬時(shí)被約束的自由度。如果機(jī)構(gòu)約束螺旋系在機(jī)構(gòu)發(fā)生任意可行連續(xù)運(yùn)動(dòng)后不變,則該機(jī)構(gòu)被約束的自由度不會(huì)改變,從而可知該機(jī)構(gòu)的自由度?？紤]了冗余約束的一般Grübler-Kutzbach公式為:Μ=d(n-g-1)+g∑i=1fi+v(7)M=d(n?g?1)+∑i=1gfi+v(7)這樣式(1)、(2)、(6)和式(7)共同構(gòu)成了修正的Grübler-Kutzbach公式,普遍適用于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算。注意到機(jī)構(gòu)被約束的自由度數(shù)為機(jī)構(gòu)約束螺旋系的維數(shù)6-M,每一個(gè)公共約束約束掉機(jī)構(gòu)的一個(gè)自由度,而除了公共約束后剩余的l個(gè)約束中線性無關(guān)的k個(gè)約束約束掉機(jī)構(gòu)的k個(gè)自由度,因此有式(8)成立:k=6-M-λ(8)把式(8)代入式(6),消去k整理后可得:M=6-p·q+λ(p-1)+v(9)式(9)即為基于約束分析的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式。下面證明式(7)和修正的Grübler-Kutzbach公式是等價(jià)的。為便于分析,把多自由度的運(yùn)動(dòng)副或鉸鏈看作是單自由度運(yùn)動(dòng)副的組合?？紤]一個(gè)自由度數(shù)為M(M<6)的對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu),每個(gè)分支中含有w個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副,則分支約束數(shù)為:q=6-w(10)機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副的總數(shù)g可由下式(11)給出:g=pw(11)顯然,g同時(shí)也是機(jī)構(gòu)中所有運(yùn)動(dòng)副具有的自由度數(shù)的總和,即:g∑i=1fi=g(12)∑i=1gfi=g(12)分支中的桿件數(shù)n可由式(13)給出:n=p(w-1)+2(13)把式(2)、式(11)、式(12)、式(13)代入式(7)整理后有:M=6-6p-λ+λp+pw+v(14)把式(10)代入式(9)整理后同樣可得:M=6-6p-λ+λp+pw+v(15)可見式(14)和式(15)是相同的,因此可證明式(7)和修正的Grübler-Kutzbach公式是等價(jià)的?；诼菪碚摰纳僮杂啥炔⒙?lián)機(jī)構(gòu)的自由度分析的具體步驟可歸納如下:步驟1在初始位形下,寫出分支運(yùn)動(dòng)螺旋系,對(duì)其求反螺旋可得分支約束螺旋系。步驟2分析分支約束在不同幾何條件下的線性相關(guān)性,確定機(jī)構(gòu)的公共約束λ,冗余約束v,并得到機(jī)構(gòu)約束螺旋系。步驟3檢查機(jī)構(gòu)約束螺旋系在動(dòng)平臺(tái)發(fā)生連續(xù)運(yùn)動(dòng)后是否改變,如不改變,則機(jī)構(gòu)不是瞬時(shí)機(jī)構(gòu),由機(jī)構(gòu)約束螺旋系可知?jiǎng)悠脚_(tái)被約束的自由度。步驟4用式(7)或式(9)驗(yàn)證結(jié)果。4機(jī)構(gòu)約束和公共約束圖1所示為一種三分支的非對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu),其中M表示動(dòng)平臺(tái),B表示定平臺(tái);(RRR)表示三個(gè)軸線交于一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副,稱為3R球面子鏈;(RR)表示兩個(gè)軸線交于一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副,稱為2R球面子鏈;RRR表示三個(gè)軸線相互平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副;RR表示兩個(gè)軸線相互平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副。在分支1中,第一個(gè)移動(dòng)副$11平行于定平臺(tái);第二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線$12垂直于定平臺(tái);第三、四、五個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$13、$14、$15交于一點(diǎn),構(gòu)成一個(gè)3R球面子鏈。在分支2中,前三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$21、$22和$23均垂直于定平臺(tái),后兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$24、$25交于一點(diǎn),構(gòu)成一個(gè)2R球面子鏈。在分支3中,第一個(gè)移動(dòng)副$31平行定平臺(tái);第二、三轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$32和$33垂直于定平臺(tái);最后兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$34、$35交于一點(diǎn),構(gòu)成一個(gè)2R球面子鏈。稱分支中2R或3R球面子鏈的中心點(diǎn)為分支中心點(diǎn),在裝配時(shí)保證三個(gè)分支中心點(diǎn)重合為一點(diǎn),稱為機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)。選取機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)為參考系坐標(biāo)O-XYZ原點(diǎn),參考坐標(biāo)系Z軸垂直于定平臺(tái)向上。分支1的運(yùn)動(dòng)螺旋系為:$11=(000;l1m10)$12=(001;a2b20)$13=(l3m3n3;000)$14=(l4m4n4;000)$15=(l5m5n5;000)(16)對(duì)式(16)求反螺旋可得分支1的約束螺旋系為:$r11=(001;000)(17)式(17)中$r11表示一個(gè)過機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)且垂直于定平臺(tái)的約束力。分支2的運(yùn)動(dòng)螺旋系為:$21=(001;a1b10)$22=(001;a2b20)$23=(001;a3b30)$24=(l4m4n4;000)$25=(l5m5n5;000)(18)對(duì)式(18)求反螺旋可得分支2的約束螺旋系和分支1的約束螺旋系相同,即$r21=$r11。分支3的運(yùn)動(dòng)螺旋系為:$31=(000;l1m10)$32=(001;a2b20)$33=(001;a3b30)$34=(l4m4n4;000)$35=(l5m5n5;000)(19)對(duì)式(19)求反螺旋可得分支3的約束螺旋系和分支1的約束螺旋系相同,即$r31=$r11。顯然盡管三個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈結(jié)構(gòu)不同,它們對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加的結(jié)構(gòu)約束相同。三個(gè)分支約束力線矢滿足共軸的幾何條件,構(gòu)成一個(gè)公共約束,即λ=1。且此公共約束即為機(jī)構(gòu)約束螺旋系,約束動(dòng)平臺(tái)沿Z軸方向的移動(dòng)。由式(2)可知,d=5。容易看出分支運(yùn)動(dòng)鏈中各運(yùn)動(dòng)副軸線間的幾何關(guān)系在動(dòng)平臺(tái)發(fā)生連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)并不改變,因此各分支運(yùn)動(dòng)螺旋系和約束螺旋系也不改變。由于三個(gè)分支中心點(diǎn)重合為機(jī)構(gòu)中心點(diǎn),從而保證三個(gè)分支約束力線矢始終共軸,即機(jī)構(gòu)約束螺旋系在動(dòng)平臺(tái)發(fā)生連續(xù)運(yùn)動(dòng)后不變。因此該機(jī)構(gòu)不是瞬時(shí)機(jī)構(gòu),具有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和兩個(gè)XY平面內(nèi)的移動(dòng)自由度。由于三個(gè)分支約束力線矢構(gòu)成了公共約束,沒有剩余的約束,即有l(wèi)=0,k=0。由式(6)可得:v=3·1-1·3-0=0(20)由式(9)可得:M=6-3·1+1(3-1)+0=5(21)5機(jī)構(gòu)約束螺旋系圖2所示為4-RPRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu),其中第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$i1和第三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$i3平行于定平臺(tái);第二個(gè)移動(dòng)副$i2垂直于$i1和$i3;最后兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線$i4和$i5都垂直于動(dòng)平臺(tái)。初始位形下,動(dòng)平臺(tái)平行于定平臺(tái)。取第i個(gè)分支的第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的中心點(diǎn)為第i個(gè)分支坐標(biāo)系的原點(diǎn),xi軸和第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線重合,zi軸垂直于定平臺(tái)向上。則第i個(gè)分支運(yùn)動(dòng)螺旋系為:$i1=(100;000)$i2=(000;0m2n2)$i3=(100;0b3c3)$i4=(001;a4b40)$i5=(001;a5b50)(22)對(duì)式(23)求反螺旋可得第i個(gè)分支約束螺旋系為:$ri1=(000;010).(23)式(23)表明一個(gè)RPRRR分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)施加一個(gè)yi方向的約束力偶。全部四個(gè)分支一共施加四個(gè)力偶,都平行于定平臺(tái),滿足共面的幾何條件。在此幾何條件下,這四個(gè)力偶線性相關(guān),等價(jià)于兩個(gè)力偶,即:$rm1=(000;100)$rm2=(000;010).(24)式(25)中兩個(gè)力偶構(gòu)成機(jī)構(gòu)約束螺旋系,約束動(dòng)平臺(tái)在XY平面內(nèi)的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。動(dòng)平臺(tái)在發(fā)生任意可行連續(xù)運(yùn)動(dòng)后仍平行于定平臺(tái),分支運(yùn)動(dòng)鏈中各運(yùn)動(dòng)副軸線間的幾何關(guān)系在動(dòng)平臺(tái)發(fā)生連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)并不改變,因此各分支運(yùn)動(dòng)螺旋系和約束螺旋系也不改變。即機(jī)構(gòu)約束螺旋系在動(dòng)平臺(tái)發(fā)生連續(xù)運(yùn)動(dòng)后不變。因此該機(jī)構(gòu)不是瞬時(shí)機(jī)構(gòu),具有三個(gè)移動(dòng)自由度和一個(gè)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。由于沒有共軸的約