運(yùn)動(dòng)約束下少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的辨識(shí)

運(yùn)動(dòng)約束下少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的辨識(shí)

少自由度聯(lián)合組織具有高剛性、高精度、靈活性和承載能力等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)減少了大傾角聯(lián)合組織的工作量小、運(yùn)動(dòng)代理多、制造和設(shè)備難度大的問(wèn)題。尤其是少自由度聯(lián)合組織的優(yōu)點(diǎn)，最好結(jié)合了連接和聯(lián)合組織的優(yōu)點(diǎn)。它非常適合于航空航天、航空航天、汽車(chē)等領(lǐng)域復(fù)雜自由曲線的機(jī)械機(jī)械。這座設(shè)備具有廣闊的應(yīng)用空間和前景。雖然少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有眾多優(yōu)點(diǎn),但其非線性和強(qiáng)耦合的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)并沒(méi)有根本改變,特別是精度方面的非線性性和復(fù)雜性更是成為其在機(jī)床領(lǐng)域應(yīng)用需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是并聯(lián)機(jī)構(gòu)后驗(yàn)的精度研究環(huán)節(jié),解決了機(jī)構(gòu)制造裝配完成后運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的誤差辨識(shí)和補(bǔ)償,是提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)精度的重要方法之一。在少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,最具代表性的3-PRS機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,制造裝配容易,因此成為眾多學(xué)者的研究重點(diǎn)之一,但此前的標(biāo)定研究并沒(méi)有充分考慮少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)約束對(duì)精度和辨識(shí)的影響。本文旨在研究3-PRS機(jī)構(gòu)的誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)和標(biāo)定方法,為3-PRS機(jī)構(gòu)的精度保證提供理論基礎(chǔ)和工程指導(dǎo)。首先,建立了3-PRS機(jī)構(gòu)全誤差模型,推導(dǎo)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)和辨識(shí)方程組。然后再此基礎(chǔ)上使用遺傳算法進(jìn)行測(cè)量位姿的選擇,以達(dá)到較好的辨識(shí)性能。最后對(duì)3-PRS機(jī)構(gòu)進(jìn)行了誤差辨識(shí)仿真,對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了比對(duì)分析,提出一種評(píng)價(jià)誤差辨識(shí)能力的指標(biāo)并對(duì)其有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。13-ps機(jī)構(gòu)誤差檢測(cè)1.13建立過(guò)渡系的建立圖1為3-PRS機(jī)構(gòu)完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型圖。如圖1所示,靜坐標(biāo)系{O}為機(jī)床坐標(biāo)系,原點(diǎn)為靜平臺(tái)中心,X軸指向其中一條支鏈,另這條支鏈編號(hào)為1,Y軸在靜平臺(tái)平面內(nèi),Z軸豎直向上。為了分析方便,建立過(guò)渡靜坐標(biāo)系{Oi},該坐標(biāo)系為{O}繞Z軸旋轉(zhuǎn)βi角度形成,Xi始終指向第i條支鏈的立柱。靜坐標(biāo)系{Oi}對(duì){O}的旋轉(zhuǎn)矩陣為:Ri=[cosβi-sinβi0sinβicosβi0001]?βi=2π3×(i-1)?i=1,2,3.Ri=???cosβisinβi0?sinβicosβi0001????βi=2π3×(i?1)?i=1,2,3.動(dòng)坐標(biāo)系{O′}固定在動(dòng)平臺(tái)上,原點(diǎn)在動(dòng)平臺(tái)的中心,X′軸指向第一條支鏈的球鉸中心,Z′垂直于動(dòng)平臺(tái)向上。動(dòng)坐標(biāo)系{O′}對(duì)靜坐標(biāo)系{O}的旋轉(zhuǎn)矩陣為R,位置向量為r。同靜坐標(biāo)系{Oi},建立過(guò)渡動(dòng)坐標(biāo)系{O′i},因此動(dòng)坐標(biāo)系{O′i}對(duì){O′}的旋轉(zhuǎn)矩陣也為Ri。第i條支鏈的球鉸鏈中心在對(duì)應(yīng)動(dòng)坐標(biāo)系{O′i}下鉸鏈點(diǎn)的位置向量為ai。通過(guò)建立過(guò)渡坐標(biāo)系,使第i條支鏈在對(duì)應(yīng)下標(biāo)為i的坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)學(xué)分析完全相同,便于運(yùn)動(dòng)方程組和誤差量的統(tǒng)一表達(dá)。固定坐標(biāo)系{Bi}原點(diǎn)在第i根立柱與靜平臺(tái)的交點(diǎn)上,ZBi軸沿立柱向上,XBi軸在靜平臺(tái)內(nèi)沿坐標(biāo)系{Oi}原點(diǎn)與坐標(biāo)系{Bi}原點(diǎn)的連線向外。坐標(biāo)系{Bi}對(duì)過(guò)渡系{Oi}的旋轉(zhuǎn)矩陣為RBi,位置向量為bi。動(dòng)坐標(biāo)系{Ci}建立在轉(zhuǎn)動(dòng)副上,其原點(diǎn)在第i條支鏈的立柱與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的交點(diǎn)上,YCi軸沿轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向,XCi軸與靜平臺(tái)平行。坐標(biāo)系{Ci}對(duì)坐標(biāo)系{Bi}的旋轉(zhuǎn)矩陣為RCi,位置向量為qie3,e3=T。坐標(biāo)系{Ci}原點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)桿和轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)的向量為eie2,其中e2=T。在坐標(biāo)系{O}下,轉(zhuǎn)動(dòng)副擺桿的向量為liωi,其中l(wèi)i為桿長(zhǎng),ωi為單位向量。1.23轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線向量的約束根據(jù)上述建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,如圖2所示,建立向量閉環(huán)方程組r=Ri(bi+RBi(qie3+eiRCie2))+liωi-RRiai,或r=Ri(bi+qiRBie3+eiRBiRCie2)+liωi-RRiai.(1)其中‖ωi‖=1,i=1,2,3,下同。轉(zhuǎn)動(dòng)桿向量始終與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線向量垂直,轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線向量在坐標(biāo)系{O}下的表達(dá)為RiRBiRCie2,上述方程組兩邊同時(shí)點(diǎn)乘該向量得到約束方程組:r?RiRBiRCie2=bi?RBiRCie2+qie3?RCie2+ei-RRiai?RiRBiRCie2.(2)有約束方程組可以看出,如果RCie2·e3=0,即坐標(biāo)系{Ci}的XCiYCi平面和坐標(biāo)系{Bi}的XBiYBi平面向平行,約束方程組解耦,伴生運(yùn)動(dòng)可以由目標(biāo)運(yùn)動(dòng)求出。由式(1)可以得到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組∥r-Ri(bi+qiRBie3+eiRBiRCie2)+RRiai∥=li.(3)聯(lián)立式(2)、(3)可以得到一般情況下的運(yùn)動(dòng)學(xué)非線性方程組,可以在已知三個(gè)任意位姿變量時(shí)同時(shí)解出另外三個(gè)位姿變量和關(guān)節(jié)變量。而在RCie2·e3=0的特殊情況下,式(2)、(3)可分別獨(dú)立求解。1.33運(yùn)動(dòng)約束辨識(shí)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是以機(jī)構(gòu)的理想模型為基礎(chǔ),通過(guò)測(cè)量運(yùn)動(dòng)終端的位姿誤差,得到所有驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量和機(jī)構(gòu)參數(shù)的誤差。首先,根據(jù)完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,得到理想運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的向量閉環(huán)方程組r=Ri(b0+qi0RBie3+ei0RBiRCie2)+li0ωi-RRiai0.(4)其中下標(biāo)為0的項(xiàng)為模型的理論值,對(duì)式(4)作一階攝動(dòng)(微分)得到誤差映射方程組:Δr+θ×Riai0=Ri(Δbi+Δqie3+qi0θBi×e3+Δeie2+ei0(θBi+θCi)×e2)+Δliωi+li0Δωi-RRiΔai.(5)其中Δr和θ分別為終端位置誤差和姿態(tài)誤差。上式兩端同時(shí)點(diǎn)乘向量ωi,整理得到ωTiΔr+(ωi×Ria0)Tθ=Δli+ΔqiωTiRie3+ΔeiωTiRie2-ωTiRRiΔai+ωTiRiΔbi+(Ri(qi0e3+ei0e2)×ωi)TRiθBi+ei0(Rie2×ωi)TRiθCi.(6)式(6)為運(yùn)動(dòng)學(xué)辨識(shí)方程組。其次,根據(jù)完整的約束方程式(2),通過(guò)一階攝動(dòng)得到約束辨識(shí)方程組(Rie2)ΤΔr+(Ri(ai0×e2))Τθ=Δbi?e2+Δei-(Rie2)ΤRRiΔai+qi0eΤiθCi+[(e2×bi0)Τ-(Rie2×(RRiai0+r))ΤRi]θBi.(7)式(6)、(7)共同構(gòu)成了包含運(yùn)動(dòng)約束的完整辨識(shí)方程組,可以辨識(shí)3-PRS機(jī)構(gòu)的全部而不是部分誤差源。該式中帶有Δ符號(hào)的量均為待辨識(shí)的誤差量,每條支鏈總共有15個(gè),但其中存在相互冗余的誤差源,因此需要將其去除。觀察式(6),誤差量Δqi、Δei對(duì)應(yīng)的系數(shù)分別與誤差量Δbiz、Δbiy相重復(fù),因此將誤差源Δbiz、Δbiy去除,對(duì)應(yīng)的列去除。另外通過(guò)計(jì)算,θCiy項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)為0,也將其去除。最終由式(6)可以辨識(shí)的項(xiàng)為Δli,Δqi,Δaix,Δaiy,Δaiz,Δbix,θBiy。同樣觀察式(7),去掉系數(shù)為0的項(xiàng),最終由式(7)可以辨識(shí)的項(xiàng)為Δei,Δaix,Δaiy,Δaiz,θBix,θBiy,θBiz,θCix。每條支鏈總共存在11個(gè)獨(dú)立的誤差源,同時(shí),除Δai在式(6)、(7)中同時(shí)存在以外,其余誤差源均互為補(bǔ)充,也即運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組和約束方程組互為補(bǔ)充關(guān)系的體現(xiàn)。2機(jī)構(gòu)的輸入和輸出之間的非線性映射替代測(cè)量位姿選擇的目的是提高辨識(shí)矩陣的可辨識(shí)性,使辨識(shí)結(jié)果可信?？杀孀R(shí)性是指由終端測(cè)量結(jié)果計(jì)算得到的機(jī)構(gòu)誤差于真實(shí)誤差的一致程度。一般來(lái)說(shuō),測(cè)量位姿選擇的好壞直接影響辨識(shí)結(jié)果的可信度,測(cè)量位姿選擇不慎,可能會(huì)使辨識(shí)結(jié)果與真值偏差很大,造成精度降低。影響辨識(shí)性的主要原因是由于機(jī)構(gòu)的輸入和輸出之間的非線性映射由一階的線性映射代替所造成的。測(cè)量位姿的選擇就是要減小辨識(shí)矩陣的條件數(shù),使高階殘差對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響減到最小,并且使在測(cè)量中引入的誤差對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響也盡量小,這樣才能使結(jié)果真實(shí)可信。如果辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)誤差之間的距離在一次辨識(shí)結(jié)束后是減小的,進(jìn)行多次迭代辨識(shí)后,結(jié)果總能收斂到真實(shí)值。常用的測(cè)量位姿選擇指標(biāo)是辨識(shí)矩陣的條件數(shù),因此,其具有參數(shù)數(shù)量多,優(yōu)化空間大,非線性強(qiáng)等特點(diǎn),傳統(tǒng)的線性?xún)?yōu)化算法一般很難適用于測(cè)量位姿的選擇。下面使用遺傳算法進(jìn)行位姿選擇的優(yōu)化。為了完成誤差辨識(shí),共需選擇7個(gè)測(cè)量位姿,因此存在21個(gè)位姿參數(shù),將其作為遺傳算法待優(yōu)化參數(shù),并將在該測(cè)量位姿下的辨識(shí)矩陣條件數(shù)作為適應(yīng)度指標(biāo),遺傳算法優(yōu)化過(guò)程如圖3所示。經(jīng)過(guò)2000步的運(yùn)算,使所選測(cè)量位姿的辨識(shí)矩陣的條件數(shù)減小到3315。優(yōu)化的測(cè)量位姿如表1所示。33誤差測(cè)量位姿測(cè)量誤差辨識(shí)仿真3-PRS機(jī)構(gòu)誤差辨識(shí)仿真的目的是通過(guò)計(jì)算模擬實(shí)際機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)情況,進(jìn)行辨識(shí)方法的驗(yàn)證和可行性的評(píng)價(jià)。誤差辨識(shí)仿真的算法為:1)通過(guò)完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型得到機(jī)構(gòu)的正、逆解,給定機(jī)構(gòu)的誤差值;2)對(duì)于一組目標(biāo)位姿,首先用理想模型進(jìn)行逆解,然后將結(jié)果帶入到完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型的正解中,即可得到實(shí)際的終端位姿與理想位姿之間的誤差;3)計(jì)算所選測(cè)量位姿的辨識(shí)矩陣條件數(shù),選擇合適的測(cè)量位姿;4)對(duì)所選的測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,得到終端誤差和辨識(shí)矩陣;5)通過(guò)求解辨識(shí)矩陣得到機(jī)構(gòu)的誤差,與給定的誤差值相比較,評(píng)價(jià)辨識(shí)結(jié)果的可信度和收斂性。如果不滿(mǎn)足要求,則返回步驟3)重新選擇測(cè)量位姿,否則結(jié)束辨識(shí)仿真計(jì)算。算例選擇表1所示的測(cè)量位姿,首先設(shè)定一組支鏈誤差值,與通過(guò)辨識(shí)仿真得到的誤差值進(jìn)行比較,結(jié)果如表2所示。在仿真中,加入±0.01mm或±0.01°的終端測(cè)量誤差,以觀察辨識(shí)算法的抗干擾性能?？梢钥闯?辨識(shí)結(jié)果除前兩項(xiàng)外,均與給定值相差很小,能夠快速收斂到真實(shí)值。為了驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)對(duì)終端誤差的改善作用,將辨識(shí)參數(shù)帶入運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算,驗(yàn)證標(biāo)定前后的終端誤差。由于在實(shí)際使用中,刀尖點(diǎn)的位置誤差決定了機(jī)床的加工精度,且由于其耦合了轉(zhuǎn)動(dòng)誤差,難以保證。因此,圖4反映了刀尖點(diǎn)在標(biāo)定前后的位置誤差改進(jìn)情況,其中,刀具長(zhǎng)度等于動(dòng)平臺(tái)半徑。由圖4可以看出,標(biāo)定后終端綜合誤差改進(jìn)約70%,參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果有效。4方向向量和驅(qū)動(dòng)邊緣向量的角度向量小由上述仿真過(guò)程可以看出,存在兩項(xiàng)誤差不能很好的收斂到各自的真值,其原因?yàn)?該兩項(xiàng)誤差的辨識(shí)系數(shù)列向量分別為驅(qū)動(dòng)導(dǎo)軌的方向向量和轉(zhuǎn)動(dòng)桿的方向向量,由機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)可知,轉(zhuǎn)動(dòng)桿接近豎直位置,因此其方向向量和驅(qū)動(dòng)導(dǎo)軌的方向向量夾角較小,該兩項(xiàng)誤差所對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量接近,這兩項(xiàng)誤差的辨識(shí)能力變差,但是這兩項(xiàng)誤差的和與所給定誤差之和依然非常接近。根據(jù)上述分析,提出誤差的辨識(shí)能力指標(biāo):辨識(shí)矩陣經(jīng)過(guò)歸一化處理后,計(jì)算任意兩列向量的點(diǎn)積,該點(diǎn)積結(jié)果的范圍為,越接近1,則該兩列向量對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)越難以辨識(shí),反之,越接近0,則該誤差項(xiàng)越容易分別辨識(shí)。上例中,經(jīng)過(guò)歸一化的辨識(shí)矩陣中Δl和Δq的對(duì)應(yīng)歸一化系數(shù)向量如表3所示?？梢钥吹?兩項(xiàng)誤差對(duì)應(yīng)列向量非常接近,其點(diǎn)積非常接近1,因此很難將其分別辨識(shí),此時(shí)需要將其兩項(xiàng)合理的加以分配。5誤差辨識(shí)仿真驗(yàn)證本文對(duì)3-PRS機(jī)構(gòu)的完整誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析,在此基礎(chǔ)上得到誤差辨識(shí)方程組,通過(guò)去除冗余參數(shù),得到最簡(jiǎn)化的誤差辨識(shí)模型,并在