從三角形的確定性探討解直角三角形的問題 論文

從三角形的確定性探討解直角三角形的問題摘那么這個(gè)三角形就不是唯一確定的。其它組合就可以確定這個(gè)三角形。關(guān)鍵詞：三角形的確定性，解三角形，解直角三角形滬科版八年級(jí)上冊(cè)第14探究，體驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中，使用了尺規(guī)作圖與疊合的方法加以驗(yàn)證的。因此，教材在得出SAS，ASA,SSS的結(jié)論時(shí)，使用了非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f法：基本事實(shí)。因?yàn)闇瓢?013年第1版第1378角的補(bǔ)角相等”等，是從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)。這樣的真命題叫做定理。從SAS，ASA,SSS這三個(gè)基本事實(shí)到AAS，HL普通三角形只要滿足前四種情況中的一種情況，直角三角形滿足五種情況中的一種情況，那么它的形狀與大小就確定了。既然三角形的形狀與大小確定了，那么它的其他的未知元素也就確定了，我們就可以通過已知的三個(gè)元素，求出剩下的三個(gè)未知元素。類比于解直角三角形，我們可以把這個(gè)叫做解三角形。根據(jù)初中階段數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排，學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)正余弦定理，不具備解普通三角形的知識(shí)與能力，要想解決相關(guān)的問題就需要構(gòu)造直角三角形的模型，通過解直角三角形來解決相關(guān)的問題。滬科版2013年第1版第23章第二節(jié)《解直角三角形及其應(yīng)用》第124頁，在直角三角形中，除直角外，如果知道了五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)元素是邊），就可以求出其余的元素。按照這種理論，只要一個(gè)直角三角形中再給一邊一角或兩邊即可求出其余的未知元素。這個(gè)理論其實(shí)還是三角形的確定性問題，即一個(gè)直角三角形給SAS，五種情況中的一種，那么這個(gè)直角三角形就是唯一確定的，我們就可以在直角三角形中知道其中任意兩邊，我們都可以通過三角函數(shù)確定一個(gè)銳角的大小，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余確定另一個(gè)銳角。當(dāng)一個(gè)銳角的大小確定了，那么這個(gè)銳角的三角函數(shù)值就隨之確定了。反過來，一個(gè)銳角的三角函數(shù)值確定了，那么這個(gè)銳角也是唯一函數(shù)值，也是可以解這個(gè)直角三角形的。例如：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinB=4，解這個(gè)直角三角形。5的條件，說明一定可以把其余的元素求出來。但是此題所給的條件是∠B的鄰邊與∠B的正弦值，因此，我們需要轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的思想有兩種：思路一：求出∠B的余弦值，根據(jù)∠B的鄰邊BC與斜邊的關(guān)系，求出斜邊，再利用勾股定理求出另一條直角邊，然后根據(jù)sinB=4查表求出∠B的值，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互5余，求出另一個(gè)銳角。思路二：可以設(shè)AC=4x，則AB=5x根據(jù)勾股定理可以求出x=2，進(jìn)而求出其余兩邊，再根據(jù)思路一求出兩個(gè)銳角的值。接下來我們來探究如何在普通三角形中通過已知元素求出未知元素。一、 例如：如圖1-1，在△ABC中，∠A=120°，AB=3，AC=2，求BC的長和sinB的值。圖1-1分析：在△ABC中，已知兩邊及其夾角，說明這個(gè)三角形是唯一確定的，那我們就可以解過點(diǎn)A向BC作垂線，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)得到的兩個(gè)直角三角形中沒有一個(gè)銳角是確定的。這不符合解直角三角形的條件，因此，我們通常不把已知角進(jìn)行分割。我們可以過點(diǎn)B或者C向?qū)吽诘闹本€作垂線，利用120°的補(bǔ)角是特殊角構(gòu)造特殊直角三角形來求解。又因?yàn)檫€要綜合考慮求sinB的值,所以這題應(yīng)該選擇過點(diǎn)C向直線AB作垂線，從而達(dá)到解題的目的。如果上題改成：在△ABC中，∠B=30°，AB=2，BC=

3+1，求AC的長。就不適合從外部作高，這題應(yīng)該過點(diǎn)A作BC邊上的高，通過解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解。當(dāng)遇到這類問題時(shí)，高線從外部作還是從內(nèi)部作，要根據(jù)題目給的角度綜合考慮。例如：如圖2-1，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，BC=2，求AB的長。圖2-1分析：在△ABC中，已知兩角及其夾邊，說明這個(gè)三角形是唯一確定的。這題的圖雖然和上一題的圖類似，但由于所給條件的不同及角度的特殊性，只能通過過點(diǎn)A向BC作高的通過這條公共邊，找到兩個(gè)直角三角形的關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到解題的目的。這題與上一題的區(qū)別是高線在三角形內(nèi)部，上一題的高線在三角形的外部。輔助線的作法要根據(jù)已知條件以及角度的特殊性綜合考慮。該題可以把已知條件改成在△ABC中，∠B=30°，∠A=105°，BC=2，求AB的長。這樣就確定了。例如：1、如圖2-2，河對(duì)岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D處分別用測角儀器測得頂部A的仰角為30°、45°，已知CD=30米，求鐵塔的高．（結(jié)果保留根號(hào)）AC D B圖2-2分析：根據(jù)給的已知條件可以得到∠ACD=30°，∠CDA=135°，CD=30，說明△ACD是唯一確定的，那么CD邊上的高AB也是唯一確定的?？梢岳肦t△ABD與Rt△ABC公用一條直角邊AB來求解。2、如圖2-3，是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C在觀測站B的北偏西A到小島C的距離AC為10mile，求觀測站B到AC的距離BP。圖圖2-3分析：此題根據(jù)所給條件，我們可以確定∠BAC=30°，∠C=45°，又知道AC為10mile，所以△ABC唯一確定，則AC邊上的高也就確定了。我們可以通過設(shè)BP為x，根據(jù)解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，表示出CP和AP，進(jìn)而列出關(guān)于x的方程，達(dá)到解題的目的。角形的邊角關(guān)系，列方程求解，從而得出結(jié)果，這里不再一一列舉。三、1、如圖3-1，已知在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=

17，則sin∠BAC的值為。圖圖3-1B C分析：條件中已知三角形的三邊，說明該三角形是唯一確定的，那么∠BAC的大小也就確sin∠BAC因?yàn)檫@里要求B作ACC作AB邊上的高線，通過勾股定理即可求解。我們根據(jù)三角形的確定性再來看一道綜合題。如圖4-1,4-2，在△ABC中，∠B=45°，AB=6

2，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，連接DE和射線BC上分別取點(diǎn)BF,DG.若BF=3DG,且直線BF與直線DG互相垂直，則BG的長是。 圖4-1 圖4-2分析：如圖所示，過F點(diǎn)作FK∥DG交射線BC于點(diǎn)K.由中位線與平行線的性質(zhì)可得，∠=∠BKF ,即

2，可得△BDG是唯一確定的，則BG的長也就確定了，只需要過D點(diǎn)作DH⊥BC于點(diǎn)H，構(gòu)造直角三角形即可得出BG=4。到知識(shí)的系統(tǒng)化，增加學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。參考文獻(xiàn)[1]吳之季蘇淳主編上?？萍汲霭嫔?013