2022年重慶萬(wàn)州國(guó)本中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022年重慶萬(wàn)州國(guó)本中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上的小正方形邊長(zhǎng)為1,則此幾何體的外接球的表面積為(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】由三視圖可還原得到三棱錐，三棱錐可放在如圖底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4的正四棱柱中，E，F(xiàn)為棱中點(diǎn)，設(shè)O為三棱錐外接球的球心，分別為點(diǎn)Q在平面ABCD，平面ECD的投影.由于都為等腰三角形，故分別在中線(xiàn)FG，EG上.構(gòu)造直角三角形可求解得到，結(jié)合即得解.【詳解】由題設(shè)中的三視圖，可得該幾何體為如下圖所示的三棱錐，放在底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4的正四棱柱中，E，F(xiàn)為棱中點(diǎn)，取G為CD中點(diǎn)，連接GF，GE.設(shè)O為三棱錐外接球的球心，分別為點(diǎn)O在平面ABCD，平面ECD的投影.由于都為等腰三角形，故分別在中線(xiàn)FG，EG上.由于，在中，設(shè)；同理在中，設(shè)，外接球半徑故外接球的表面積故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖和三棱錐的外接球，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.2.在，則A． B． C． D．參考答案：C3.函數(shù)y=sinx﹣的圖象大致是（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊函數(shù)值判斷圖象即可．【解答】解：函數(shù)y=sinx﹣是奇函數(shù)，排除D，函數(shù)y′=cosx+，x∈（0，）時(shí)，y′＞0，函數(shù)是增函數(shù)，排除A，并且x=時(shí)，y=1﹣＞0，排除C，故選：B．4.已知：命題“,”；命題“”，則下列命題正確的是（

）A．命題“”是真命題

B．命題“”是真命題

C.命題“”是真命題

D．命題“”是真命題參考答案：B5.．函數(shù)f（x）=—cosx在[0，+∞）內(nèi)

A．沒(méi)有零點(diǎn)

B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

D．有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)參考答案：B本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及利用數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題的能力，難度中等。

由得，畫(huà)出和的圖象，則兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選B。6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，若為銳角三角形，則一定成立的是

（

） A． B． C． D．參考答案：A略7.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a=，b=，A=45°，則B=（）A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150°參考答案：C【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理可先求得sinB==sin60°，由a=＜b=，B為三角形內(nèi)角，即可求得B的值．【解答】解：∵根據(jù)正弦定理可知：sinB====sin60°．∵a=＜b=，B為三角形內(nèi)角∴45°＜B＜180°∴B=60°或120°故選：C．8.已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，則A．是的極小值點(diǎn) B．是的極小值點(diǎn)C．是的極大值點(diǎn) D．是的極大值點(diǎn)參考答案：B

9.已知橢圓=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為e．P是橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足PF2⊥F1F2，點(diǎn)Q在線(xiàn)段PF1上，且．若=0，則e2=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，由=0，求得b4=2c2a2，則b2=a2﹣c2，根據(jù)離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：PF2⊥F1F2，則P（c，），由，（xQ+c，yQ）=2（c﹣xQ，﹣yQ），則Q（，），=（2c，），=（﹣，），由=0，則2c×（﹣）+×=0，整理得：b4=2c2a2，則（a2﹣c2）2=2c2a2，整理得：a4﹣4c2a2+c4=0，則e4﹣4e2+1=0，解得：e2=2±，由0＜e＜1，則e2=2﹣，故選C．10.（5分）若函數(shù)f（x）=|ax+x2﹣x?lna﹣m|﹣2，（a＞0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）參考答案：A【考點(diǎn)】：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專(zhuān)題】：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：令g（x）=ax+x2﹣x?lna，先討論a＞1，0＜a＜1求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷函數(shù)g（x）的極小值，再由y=|g（x）﹣m|﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程g（x）=m±2有2個(gè)根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，即可得到m的取值范圍．解：令g（x）=ax+x2﹣x?lna，g′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，①當(dāng)a＞1，x∈（0，+∞）時(shí)，lna＞0，ax﹣1＞0，則g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，x∈（﹣∞，0）時(shí)，lna＞0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞0，lna＜0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，lna＜0，ax﹣1＞0，所以g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減．故當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，g（x）在x＜0時(shí)遞減；g（x）在x＞0時(shí)遞增，則x=0為g（x）的極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，且最小值g（0）=1．又函數(shù)f（x）=|g（x）﹣m|﹣2有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程g（x）=m±2有二個(gè)根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，解得m∈（﹣1，3），故選A．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正四面體A—BCD的所有棱長(zhǎng)均為12，球O是其外接球，M，N分別是△ABC與△ACD的重心，則球O截直線(xiàn)MN所得的弦長(zhǎng)為_(kāi)__________．參考答案：正四面體可補(bǔ)全為棱長(zhǎng)為的正方體，所以球是正方體的外接球，其半徑，設(shè)正四面體的高為，則，故，又,所以到直線(xiàn)的距離為，因此球截直線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)為.12.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小正值為▲

參考答案：13.在100件產(chǎn)品中有90件一等品，10件二等品，從中隨機(jī)取出4件產(chǎn)品，則至少含1件二等品的概率是____________（結(jié)果精確到0.01）參考答案：0.3514.行列式的第2行第3列元素的代數(shù)余子式的值為

．參考答案：4【考點(diǎn)】三階矩陣．【專(zhuān)題】選作題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；矩陣和變換．【分析】根據(jù)余子式的定義可知，在行列式中劃去第2行第3列后所余下的2階行列式為第3行第3列元素的代數(shù)余子式，求出值即可．【解答】解：由題意得第2行第3列元素的代數(shù)余子式M23=﹣=8﹣4=4故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握三階行列式的余子式的定義，會(huì)進(jìn)行矩陣的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．15.有以下四個(gè)命題：

①中，“”是“”的充要條件；

②不等式在上恒成立；；

③若命題，則

④設(shè)有四個(gè)函數(shù)其中在上是增函數(shù)的函數(shù)有3個(gè).

其中真命題的序號(hào)

.參考答案：①②④略16.若雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，則的值為_(kāi)_________.參考答案：17.已知，若與共線(xiàn)，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在長(zhǎng)方體中，

，點(diǎn)在棱上移動(dòng)

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；

（Ⅲ）等于何值時(shí)，二面角的大小為

參考答案：解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則（Ⅰ）

………4分Ks5u（Ⅱ）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，從而，，設(shè)平面的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為

………8分（Ⅲ）設(shè)平面的法向量，

∴由

令，∴依題意∴（不合，舍去），

∴時(shí)，二面角的大小為

………12分19.（本題滿(mǎn)分13分）等比數(shù)列中，.若，數(shù)列前項(xiàng)的和為.

（1）求數(shù)列通項(xiàng)

（2）若，求的值；（3）求不等式的解集.參考答案：解：（1）得

(2)由（1）可得是以為首項(xiàng)，２為公差的等差數(shù)列.

（3）

，所求不等式的解集為20.已知函數(shù)f（x）=x3+ax+2．（Ⅰ）求證：曲線(xiàn)=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)在y軸上的截距為定值；（Ⅱ）若x≥0時(shí)，不等式xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程；函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專(zhuān)題】分類(lèi)討論；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)方程，令x=0，即可得證；（Ⅱ）由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x對(duì)x≥0時(shí)恒成立，即ex+mx﹣m2≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，則（ex+mx﹣m2）min≥0，記g（x）=ex+mx﹣m2，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得到m的范圍．【解答】（Ⅰ）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+a，即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，則切線(xiàn)方程為y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），令x=0，得y=為定值；

（Ⅱ）解：由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x對(duì)x≥0時(shí)恒成立，得xex+mx2﹣m2x≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，即ex+mx﹣m2≥0對(duì)x≥0時(shí)恒成立，則（ex+mx﹣m2）min≥0，記g（x）=ex+mx﹣m2，g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，∴，則有﹣1≤m≤1，若m＜﹣1，則當(dāng)x∈（0，ln（﹣m））時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，則當(dāng)x∈（ln（﹣m），+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，∴，∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，令﹣m=t，則t+lnt﹣1≤0（t＞1），φ（t）=t+lnt﹣1，顯然是增函數(shù)，由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，則t＞1即m＜﹣1，不合題意．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是﹣1≤m≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題為導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合，主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類(lèi)討論的思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．21.某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為x元(7≤x≤10)時(shí)，一年的產(chǎn)量為(11－x)2萬(wàn)件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷(xiāo)售，則稱(chēng)該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護(hù)環(huán)境，用于污染治理的費(fèi)用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a(1≤a≤3).(1)求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤(rùn)L(x)與出廠價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為多少元時(shí)，企業(yè)一年的利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn).

參考答案：略22.（本小題滿(mǎn)分13分）已知等比數(shù)列{an}的公比，前n項(xiàng)和為Sn，S3＝7，且，，成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，，其中N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，，，求集合C中所有元素之和．參考答案：（1）∵，∴