新高考2023屆高考數(shù)學二輪復(fù)習專題突破精練第37講活用圓錐曲線的定義教師版

第37講活用圓錐曲線的定義一．選擇題（共24小題）1．（2021秋?成都期中）下列結(jié)論正確的個數(shù)為①直線與曲線有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍為；②若動點滿足，則點的軌跡為雙曲線；③點，為橢圓的左、右焦點，且橢圓上存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為；④點為橢圓的右焦點，點為橢圓上任意一點，點，則的最小值為5；⑤斜率為2的直線與橢圓交于，兩點，點為的中點，直線的斜率為為坐標原點），則橢圓的離心率為．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：對于①，直線恒過定點，曲線表示圓心為原點，半徑為1的上半圓，如圖1，由直線經(jīng)過圓心，可得；由直線和圓相切，可得，解得（負的舍去），所以的范圍是，，則直線的傾斜角的取值范圍為，故①正確；對于②，若動點滿足，即與兩點，的距離的差為2，因為，所以的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，故②錯誤；對于③，由橢圓的定義可得，又，解得，設(shè)橢圓的半焦距為，可得，即有，所以，，故③正確；對于④，設(shè)橢圓的左焦點為，如圖2，由橢圓的定義可得，由在橢圓內(nèi)，，當且僅當，，共線時，取得最小值5，故④正確；對于⑤，設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，所以，則，故⑤正確．故選：．2．（2021春?湖北校級期中）已知是雙曲線的左焦點，是右支上一點，，，當周長最小時，該三角形的面積為A． B． C． D．【解答】解：由題意，設(shè)是右焦點，則周長，，三點共線時，取等號），直線的方程為與聯(lián)立可得，的縱坐標為，周長最小時，該三角形的面積為．故選：．3．（2021秋?湖州期末）已知為拋物線上一個動點，為圓，則點到點的距離與點到軸距離之和的最小值是A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：拋物線的焦點為，的圓心為，半徑為1，根據(jù)拋物線的定義可知點到準線的距離等于點到焦點的距離，如圖：故問題轉(zhuǎn)化為求，，三點共線時到點的距離與點到拋物線的焦點距離之和的最小值，由于焦點到圓心的距離是，點到點的距離與點到拋物線準線的距離之和的最小值故選：．4．（2021?浙江模擬）在直角坐標系中，已知為坐標原點，，．點滿足且，則A． B． C． D．【解答】解：設(shè)點，，，，，所以，，，①又，所以點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，所以，，，，橢圓方程為，②由①②解得，則．故選：．5．（2021?東勝區(qū)校級一模）已知在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，若平面內(nèi)點滿足，則的最大值為A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：設(shè)，，由于在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，所以：，設(shè)，，由于平面內(nèi)點滿足，則，，，整理得：，，所以，當時，的最大值為5．故選：．6．（2021?江西）是雙曲線的右支上一點，、分別是圓和上的點，則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：雙曲線中，如圖：，，，，，，，，，所以，．故選：．7．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）是雙曲線的右支上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：雙曲線雙曲線，如圖：，，，，，，，和，，，，，所以，．故選：．8．（2021秋?岳麓區(qū)校級月考）已知雙曲線的左右焦點分別是，，點是的右支上的一點（不是頂點），過作的角平分線的垂線，垂足是，是原點，則A．隨點變化而變化 B．2 C．4 D．5【解答】解：雙曲線的左右焦點分別是，，延長交于，是的角平分線，，在雙曲線上，，，是的中點，是的中點，是△的中位線，，即，雙曲線中，則．故選：．9．（2021?廈門一模）已知橢圓的右焦點為，是橢圓上一點，點，當?shù)闹荛L最大時，的面積等于A． B． C． D．【解答】解：橢圓的，，，由題意，設(shè)是左焦點，則周長，，三點共線時，且在的延長線上，取等號），直線的方程為與橢圓，聯(lián)立可得，解得的縱坐標為，則周長最大時，該三角形的面積為．故選：．10．（2021秋?海曙區(qū)校級期中）已知橢圓的右焦點為，是橢圓上一點，點，，當周長最大時，直線的方程為A． B． C． D．【解答】解：橢圓方程：，，，，如圖所示設(shè)橢圓的左焦點為，，則，，的周長，當且僅當三點，，共線時取等號．則直線的方程：，整理得，故選：．11．（2021?平湖市模擬）已知雙曲線，是左焦點，，是右支上兩個動點，則的最小值是A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：設(shè)雙曲線的右焦點為，，，則故選：．12．（2021?浙江模擬）已知點，為橢圓上的動點，是圓上的動點，則的最大值為A． B． C．3 D．【解答】解：如圖所示，由橢圓，可得：，，，．設(shè)橢圓的右焦點為，則，，當且僅當三點，，共線取等號．，故選：．13．（2021?香坊區(qū)校級二模）已知點，關(guān)于坐標原點對稱，，以為圓心的圓過，兩點，且與直線相切．若存在定點，使得當運動時，為定值，則點的坐標為A． B． C． D．【解答】解：線段為的一條弦，是弦的中點，圓心在線段的中垂線上，設(shè)點的坐標為，則，與直線相切，，，整理得，的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，，當為定值時，則點與點重合，即的坐標為，存在定點使得當運動時，為定值．故選：．14．（2021秋?麗水期末）已知，，點，在曲線上，若直線，的斜率分別為，，則A． B． C． D．【解答】解：因為曲線，即；點在以，，為焦點，的雙曲線上，且在右支上，對應(yīng)的曲線方程為：，；．故選：．15．（2021秋?溫州期末）已知動點滿足為大于零的常數(shù)），則動點的軌跡是A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【解答】解：因為為大于零的常數(shù)，所以，當且僅當時取等號，而方程表示動點到點，的距離和為，因為動點到點，的距離和大于，所以動點的軌跡是橢圓．故選：．16．（2021秋?奉新縣校級月考）已知動點滿足，則點的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【解答】解：動點滿足，可得：，就是動點到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)，滿足雙曲線的第二定義，所求軌跡是雙曲線．故選：．17．（2021秋?北林區(qū)期中）已知動點滿足，則點的軌跡是A．兩條相交直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓【解答】解：令，則其幾何意義為點到的距離，令，其幾何意義為點到直線的距離，依題意二者相等，即點到點的距離與到定直線的距離相等，進而可推斷出的軌跡為拋物線．故選：．18．（2021秋?潮州期末）的頂點，，的內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點的軌跡方程是A． B． C． D．【解答】解：如圖設(shè)與圓的切點分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為．故選：．19．（2021秋?吉林期末）點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，則的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，由橢圓的第二定義得的軌跡是焦點在軸上的橢圓，且，解得，，，的軌跡方程為．故選：．20．（2021秋?宿州期末）的兩個頂點為，，周長為16，則頂點的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，故頂點的軌跡是以、為焦點的橢圓，除去與軸的交點．，，故頂點的軌跡方程為：，，故選：．21．（2015秋?桂林期末）設(shè)是圓上一動點，點的坐標為，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：是圓上一動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交直線于點，，，是圓上一動點，點的坐標為，，，，，，點的軌跡為雙曲線，，，，點的軌跡方程為．故選：．22．（2021秋?諸暨市校級期中）已知點和，是上的動點，直線與線段的垂直平分線交于點，則點所滿足的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：點在線段的垂直平分線上，，．點的軌跡是以、為焦點的雙曲線，且，，，，其軌跡方程是．故選：．23．（2015春?天水校級月考）已知，是的兩個頂點，且，則頂點的軌跡方程為A． B． C． D．【解答】解：，由正弦定理，得（定值），雙曲線的焦距，，即，可得的軌跡是以為焦點的雙曲線左支，可得雙曲線的方程為頂點的軌跡方程為故選：．24．如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，記的面積為，的面積為，則等于是A． B． C． D．【解答】解：由題意，拋物線的準線方程為．設(shè)，，，由拋物線的定義知，，則，故選：．二．填空題（共11小題）25．（2021秋?萬州區(qū)校級期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為．【解答】解：如圖所示，橢圓，又為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，，（當且僅當，，共線時取等號），，當且僅當，，，共線時，等號成立，，，，的最小值為．故答案為：．26．（2021秋?邢臺月考）已知點是橢圓的一個焦點，點為橢圓上任意一點，點，則取最大值時，直線的斜率為1．【解答】解：如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點為．由題意可得：，，．由橢圓的定義可得：，則．當且僅當三點，，共線時取等號．．故答案為：1．27．（2021秋?北碚區(qū)校級月考）已知橢圓，為左焦點，橢圓上的點到左焦點的距離最大值為，、為左、右頂點，是橢圓上任意一點，直線和滿足，過作圓的兩條切線，切點分別為、，則的最小值為．【解答】解：，，設(shè)，，，橢圓上的點到左焦點的距離最大值為，，又，，，，設(shè)，則，又，，故當取得最大值時，取得最小值，又，當時，取得最大值16，的最小值．故答案為：．28．（2021?杭州模擬）已知雙曲線的左右焦點分別為，，定點，點在雙曲線的右支上運動，則的最小值等于11．【解答】解：在雙曲線的右支上，，，又，雙曲線右焦點，（當且僅當、、三點共線時取“”．故答案為：11．29．（2021春?鉛山縣校級月考）橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于點，，當?shù)闹荛L最大時，的面積是．【解答】解：設(shè)右焦點為，連接，，，中，兩邊之和大于第三邊）．，當直線過右焦點時，的周長最大．由橢圓的定義可得：的周長的最大值．．把代入橢圓標準方程可得：，解得．此時的面積．故答案為：．30．（2017?浙江）已知向量、滿足，，則的最小值是4，最大值是．【解答】解：記，則，如圖，由余弦定理可得：，，令，，則、，其圖象為一段圓弧，如圖，令，則，則直線過、時最小為，當直線與圓弧相切時最大，由平面幾何知識易知即為原點到切線的距離的倍，也就是圓弧所在圓的半徑的倍，所以．綜上所述，的最小值是4，最大值是．故答案為：4、．31．（2021?浙江二模）設(shè)是橢圓上的右焦點，是橢圓上的動點，是直線的動點，則的最小值為．【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點為，根據(jù)橢圓的定義，，，要想使得最小，只需的值為點到直線的距離，，的最小值為，故答案為：．32．（2021?嘉興模擬）已知拋物線的焦點為，若點，是該拋物線上的點，，線段的中點在拋物線的準線上的射影為，則的最大值為．【解答】解：設(shè)，，、在準線上的射影點分別為、，連接、由拋物線定義，得且在梯形中根據(jù)中位線定理，得．由勾股定理得，配方得，又，得到．所以，即的最大值為．故答案為：33．（2021秋?諸暨市期末）已知是平面向量，且是互相垂直的單位向量，若對任意均有的最小值為，則的最小值為3．【解答】解：因為對任意均有的最小值為，所以，整理的，所以△，即，不妨設(shè)為軸方向向量，為軸方向向量，所以，對應(yīng)點的坐標為，所以，，，，，，因為，為拋物線向上平移個單位，所以焦點為，準線為，所以到的距離與到的距離相同，所以，，，，，，當且僅當，時等號成立，此時，所以的最小值為3．故答案為：3．34．（2021?西湖區(qū)校級模擬）已知，為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，為△的內(nèi)心，則的取值范圍為坐標原點）為，．【解答】解：橢圓的，，，如圖：由橢圓的對稱性可知在橢圓的短軸端點時，取得最小值，此時是等腰直角三角形的內(nèi)心，的方程為：．，解得；當運動到長軸的端點時，取得最大值，與焦點坐標重合，可得的最大值為1，此時不是三角形，的取值范圍：，．故答案為：，．35．（2021?浙江模擬）已知，為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，△的內(nèi)心的軌跡方程為．【解答】解：橢圓的，，，延長交軸于，設(shè)，，，，連接，，設(shè)，，則，，，由內(nèi)角平分線定理可得，，可得，，由橢圓的焦半徑公式可得：，即，可得，，代入橢圓可得，即有，故答案為：．三．解答題（共1小題）36．（2021?崇明縣二模）已知橢圓的左、右