2021屆呼市段考（理科）試卷+答案解析

2021屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三年級質(zhì)量普查調(diào)研考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項：

i.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、

座位號涂寫在答題卡上.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.答第n卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合4={幻/一4犬+3,,0},B={x|2<x<4},則AUB=（)

A.{x|2<%,3}B.{x|2麴k3}C.{x|l,,x<4}D.{x|l<x<4}

2.設(shè)。為第四象限角，且sin6+cos6=g,則tan（0+?）的值為（

)

434

A.--B.--C.-D.-

3434

3.在復(fù)平面內(nèi)，己知平行四邊形。4BC頂點O,A,C分別表示0,3+2/,-2+5/,則點3對應(yīng)的復(fù)數(shù)

的共規(guī)復(fù)數(shù)為（）

A.1—7iB.1—6iC.—1—6iD.—1—7z

4.設(shè)函數(shù)/（1）=/+（。_1）/+依，若/（幻為奇函數(shù)，則曲線y=在點（1J⑴）處的切線方程為（）

A.y=4x+lB.y=2x-4C.y=4x—2D.y=2x-6

5.為了提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭做到物盡其用，國家向全民發(fā)出了關(guān)于垃圾分類的號召.為

了響應(yīng)國家號召，各地區(qū)采取多種措施，積極推行此項活動.一商家為某市無償設(shè)計制作了一批新式分類

垃圾桶，它近似呈長方體狀，且其高為0.45米，長和寬之和為2.4米，現(xiàn)用鐵皮制作該垃圾桶，按長方體

計算，則使這個垃圾桶的容量最大時（不考慮損耗，不考慮桶蓋），需耗費的鐵皮的面積為（）平方米

A.3.84B.3.6C.6.28D.4.8

6.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下圖是由“楊

輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記％為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,構(gòu)成的數(shù)列{〃“}的第〃項，

貝的值為（）

12\

13yl

isiosi

A.210B.150C.120D.118

7.己知角a、/頂點在坐標(biāo)原點，始邊為x軸正半軸.甲：“角a、尸的終邊關(guān)于y軸對稱“；乙:

“sin(a+4)=0則條件甲是條件乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知等差數(shù)列｛??｝的前n項和為S“，且4=10,S5..",下列四個命題:①公差d的最大值為-2；②S,<()；

③記5“的最大值為何，則M的最大值為30；@a20l9>a2020,其真命題的個數(shù)是()

A.4個B.3個C.2個D.1個

9.已知函數(shù)/(x)=3cos3x+e)+23>0,|例,其圖象與直線y=5相鄰兩個交點的距離為］,若

Vx6,/(x)>2恒成立，則夕的取值范圍為()

1216

A”獰c?埼D.呻

10.下列4個命題

Pi:€(0,+oo),(；)*><(；)&;

P2■-3.^()e(0,1),log,%>log)xu；

23

vr

p3：VxG(0,4-co),(-)>log)X；〃4：Dx￡(0,-),(-)<log1x.

325

其中的真命題是()

A.P1,P3B.P|,p4C.p2,p3D.p2,p4

11.下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均

)

A.32B.28C.26D.24

12.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(幻，對于任意實數(shù)x都有/(-x)=/(x)-2x成立,且當(dāng)X￡(YO,0］時，都

有/”(x)v2x+l成立，若/(2加)—3加2</(加—1)+3相，則實數(shù)機的取值范圍為(

A.(-00,-1)B.(」,+oo)C.(-1,-)D.(-1,0)

33

第n卷(非選擇題共90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22題~第23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

九一y..0

13.已知實數(shù)x,y滿足約束條件「+?-4,,0,則2=2》7的最小值為—.

>1?-1

14..

15.如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的3處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即

前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30。，相距io海里c處的乙船，乙船立即朝北偏東e角的方向

沿直線前往B處救援，貝IJsin。的值等于—.

北

16.已知集合4=k+1/+2,……,k+n},k,〃為正整數(shù)，若集合A中所有元素之和為2019,則當(dāng)"取最

大值時，集合A=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+cosx,xwR.

(1)已知。€[0,2加,函數(shù).f(x+6)是奇函數(shù)，求8的值；

(2)^/(?+-)=—,且。€(0,萬)，求/(2a)的值.

45

18.(12分)下面是2020年全國新高考卷17題：在①改=6，②csinA=3,③C=A/0這三個條件中任

選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AA3C,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin4=Gsin8,C=~,?

6

已知某同學(xué)選擇條件②解答此題，最后得到的結(jié)論是：這樣的三角形存在且只有唯一一個.請你通過計算

推理，判斷該同學(xué)的結(jié)論是否正確.

19.（12分）已知某廠以，小時/千克的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求0.1<4,1）,且每小時可獲得

的利潤是60（-3，+3+1）元.

t

（1）若廠家以生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得利潤至少為1800元的速度進行生產(chǎn)，記1天（按8小時計算）生產(chǎn)

該產(chǎn)品的數(shù)量為機千克，求出，”的取值范圍；

（2）要使生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤.

20.(12分)已知等比數(shù)列｛a“｝(〃eN*)滿足：a2a3=a4,2a｝+=3a2.

(1)定義：首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”，證明：數(shù)列｛4｝是數(shù)列”；

(2)記等差數(shù)列｛"｝的前項和為S,，已知仇=9,Sg=64,求數(shù)列電的前項和7；.

21.(12分)已知函數(shù)/(幻="2一”一出工.

(1)求證：f(x)..0；

(2)函數(shù)g(x)=/(x)—x2+(〃+1)](〃>0)有兩個不同的零點內(nèi),x2,求證：lnX|+I11X2+21navO.

（-）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

t

x----

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為，為

i/+1

參數(shù)），曲線C,的參數(shù)方程為F=2+2cosa（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點.》軸正半軸為極軸建立極坐

［y=2sine?

標(biāo)系.

（1）求曲線G的普通方程和曲線G的極坐標(biāo)方程；

（2）射線q=以0<￡<］）與曲線G交于O,P兩點，射線a=］+/與曲線C1交于點Q,若AOPQ的面

積為1,求|OP|的值.

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）（1）己知a,b>0,求證：a3+b3..a2b+ab2.

(2)已知h,c為正數(shù)，且a+Z?+c=l,求證：ab+bc+ca^,—.

2021屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三年級質(zhì)量普查調(diào)研考試

理科數(shù)學(xué)

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

要求的.

1.已知集合4=*|/-4*+3,,0},8={x|2<x<4},則AU〃=()

A.{x\2<x,,3}B.{x|2^ijv3}C.{x[L,x<4}D.{x|l<x<4}

【第析】由題意知，集合A={x|x2—4x+3轟9}={x|(x-l)(x-3)0}={x]啜k3},B={x|2<x<4},

，AUB={x|L,x<4},故選：C.

【點評】此題考查簡單的集合的運算（并集運算），集合在高考的考查是以基礎(chǔ)題為主，題目比較容易，復(fù)

習(xí)中我們應(yīng)從基礎(chǔ)出發(fā).

2.設(shè)6為第四象限角，且sine+cose='，則tan（9+二）的值為（）

52

ABD.-

-4-44

?n3

smJ=一—

sin0+cos0=—5

【解析】法―：?.?夕為第四象限角「.singvO,cos^>0,又<5解得，

4

sin20+cos20=1cos0=—

5

八sin。3八乃、14....

二.tan0=------=—,二.tan(eH—)=---------=一,古攵:C?

cos。42tan。3

ii12

法二：?.W為第四象限角，.\sinevO,cos^>0,?/sin6+cos6=—,l+2sin6cos6=—，.二sin6cos8=-----

52525

/.sin0-cos0--J(sin^-cos^)2=-V1-2sin^cos^=--,sin0=--,cos^=—,tan0=~^n—=,

555cos?4

4

二.tan(8H?一)=------故選：C.

2tan。3

法三：為第四象限角，/.tan^<0,sin0+cos^=—,/.sin<0,cos^>0,且tan夕>一1,

5

sin?，+cos?，+2sin8cos8tan?8+1+2tan8_1

(sin0+cos0)2=sin20+cos2，+2sin8cose=

sin20+cos20tan24-1-25

34

/.24tan26+50tan6+24=0,即(3tang+4)(8tang+6)=0,解得tan0=--或tan0=(舍去),

tan(^+—)=---!—=—,故選：C.

2tan。3

【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，要求學(xué)生能靈活地應(yīng)用這些公式進行

計算、求值和證明，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于基本知識的考查.解題方法規(guī)范、典型；

考查利用誘導(dǎo)公式化簡求值，本題是選擇題，判定象限三角函數(shù)的符號，以及夕為第四象限角，且

144451?

sin9+cos，=—,容易知道sin〃=一二，cos0=—,求出tan9=-二，此外還有一、一一組數(shù)據(jù)關(guān)系，都是

55541313

滿足勾股定理.靈活記憶，在解選擇題，填空題是省時省力.

3.在復(fù)平面內(nèi)，已知平行四邊形。43C頂點O,A,。分別表示0,3+2z,-2+5/,則點3對應(yīng)的復(fù)數(shù)

的共枕復(fù)數(shù)為()

A.l-7zB.l-6zC.-1-6ZD.-1-7/

【解析】法一：由已知，得。4=(3,2),OC=(-2,5),則0Q=o4+0d=(3,2)+(—2,5)=(L7).

.?.點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+7L其共朝復(fù)數(shù)為1-7L故選：A.

17

法二：因為四邊形04BC為平行四邊形，且0(0,0),4(3,2),C(-2,5),連接08,OC，交于點M,則,

22

所以8(1,7),所以點8對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+7i.其共機復(fù)數(shù)為l-7i.故選：A.

法三：設(shè)8(〃,。)，則點3對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi.其共軻復(fù)數(shù)為』="一萬.因為四邊形為平行四邊

形，且0(0,0),4(3,2),C(-2,5),所以。4=圍(平行四邊形對邊平行且相等)，所以。4=(3,2),

C力=(a+2,b-5),所以［"+2=3,解得,所以點5對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1+71.其共掘復(fù)數(shù)為』=1-7，.故

\b-5=2\b=l

選：A.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)與向量的對應(yīng)關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

4.設(shè)函數(shù)/(幻=*3+(.-1)*2+如，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(1,7?⑴)處的切線方程為()

A.y=4x+lB.y=2x—4C.y=4x—2D.y=2x-6

【解析】由題意，得了(%)定義域為A,因為/(x)是奇函數(shù)，所以

f(-x)=-x3+(a-l)x2-ax=-f(x)=-x3-(a-i)x2-cue,(a-l)x2=0,所以a-1=0,則々=1,所以

f（x）=xy+x,所以/'⑴=4,又/⑴=2,所以切線方程是y-2=4（x-l）,即y=4x—2,故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的切線方程的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.為了提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭做到物盡其用，國家向全民發(fā)出了關(guān)于垃圾分類的號召.為

了響應(yīng)國家號召，各地區(qū)采取多種措施，積極推行此項活動.一商家為某市無償設(shè)計制作了一批新式分類

垃圾桶，它近似呈長方體狀，且其高為0.45米，長和寬之和為2.4米，現(xiàn)用鐵皮制作該垃圾桶，按長方體

計算，則使這個垃圾桶的容量最大時（不考慮損耗，不考慮桶蓋），需耗費的鐵皮的面積為（）平方米

A.3.84B.3.6C.6.28D.4.8

【了析】法一：設(shè)長為x米，則寬為（2.4-尤）米，體積為V立方米，由題意知，V=0.45x（24-x）=0.45（2.4%-x2）

=0.45[-（x-1.2）2+1.44]（0<x<2.4）,當(dāng)x=1.2時，=0.45x1.44=0.648（立方米），即長為1.2米，寬為

1.2米時，容量最大，此時鐵皮面積為L2xl.2+0.45*1.2x2+0.45*L2*2=3.6（平方米），故選：B.

法二：設(shè)長為x米，則寬為y米（0<x,y<2.4）,體積為1/立方米，由題意知，x+y=2.4,

V=0.450,0.45x（g2>=045x1.2?=0.648（立方米），當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1.2時，等號成立，即長為1.2米，

寬為1.2米時，容量最大，此時鐵皮面積為1.2x1.2+0.45x1.2x2+0.45x1.2x2=3.6（平方米），故選：B.

法三：要使垃圾桶的容量最大，則底面積最大，所以底面為正方形，邊長為24+2=1.2（米），不考慮桶蓋，

此時鐵皮面積為1.2x1.2+0.45x1.2x4=3.6（平方米），故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)最值的應(yīng)用（均值不等式的應(yīng)用）.

6.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下圖是由“楊

輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記/為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…，構(gòu)成的數(shù)列｛〃“｝的第〃項，

則陽的值為（）

1

11

12/

13yl

145,41

1S10S1

A.210B.150C.120D.118

【解析】法—：設(shè)第〃個數(shù)為an,

則q=l,

a2-q=2,

a3-a2=3,

%一%=4,

an-an-\=n，

疊加可得，4—4=2+3+4+...+〃，;.可=1+2+3+...+〃="'"：",.?.《5=120,故選：C.

法二:設(shè)第〃個數(shù)為局，由“楊輝三角”的性質(zhì)得，4=戲+1=絲弛，；.陽=120,故選：C.

【點評】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，數(shù)列中疊加求解數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知角“、△頂點在坐標(biāo)原點，始邊為x軸正半軸.甲：“角/7的終邊關(guān)于y軸對稱”；乙：

“sin(0+4)=0”.則條件甲是條件乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】若角a、￡的終邊關(guān)于y軸對稱，則p=7i:-a+1k7i,則c+力=萬+2&萬，則

sin(a+/?)=sin("+2上萬)=sin萬=0,

若sin(a+A)=0,則a+￡=br,則角a、/7的終邊關(guān)于y軸不一定對稱，故條件甲是條件乙的充分不必

要條件，故選：A.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角函數(shù)角的對稱關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

8.已知等差數(shù)列｛a,｝的前n項和為，，且q=10,Ss-M，下列四個命題:①公差d的最大值為-2；@S7<0；

③記S”的最大值為M,則M的最大值為30；@a20l9>a2U20,其真命題的個數(shù)是()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解析】設(shè)公差為“，由已知q=10,S5..56,得5X10+104..6X10+154,所以4，一2,①正確；

所以§7=7x10+214,70—2x21=28,②錯誤；

a”=q+(〃—l)d=10+(〃—l)d..0,解得72,,----F1,a“+i=q+=10+/以,,0,解得n...---,

dd

gih-—+1【-W為/,所以d越大，"越大】，當(dāng)d=—2時，5黜6,

ddd

當(dāng)”=5時，有最大值，此時M=5X10+10X(-2)=30,

當(dāng)”=6時，有最大值，此時M=6xl0+15x(—2)=30,③正確；

又該數(shù)列為遞減數(shù)列，所以％)19>『020,④正確.故選：B.

【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

9.己知函數(shù)f(x)=3cos3x+s)+2(o>0,其圖象與直線y=5相鄰兩個交點的距離為若

,/(x)>2恒成立，則夕的取值范圍為()

I3由題意可得函數(shù)/(x)=3cos(〃)x+e)+2的最大值為5,?.?/(x)圖象與直線y=5相鄰兩個交點的距

離為工，.?./(%)的周期T=工,-=-,^(o=4,,-./(x)=3cos(4x+<p)+2,-.?/U)>2^Vxe[--,—]

22co21216

恒成立，.,.3cos(4x+0)+2>2,即cos(4_r+°)>0對VxEf-3,微]恒成立，:+cp..2k九一%且

—+2kjv-l--,keZ,解得22萬一代羽步2k7r+—(keZ).又|。|<工，所以當(dāng)攵=0時，0的取值范圍為

42642

故選：A.

64

注：對于Vxe[-—,—],區(qū)間跨0,故k=0,cos(4x+*)>0對Vxe[--,—]恒成立，

12161216

效J-g+e4犬+滋￡+9p得一.聚如?，故選：A.

【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的周期性和恒成立，利用函數(shù)最值求出函數(shù)的周

期是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.

10.下列4個命題

Pi:3x()e(0,+℃),(；戶<($&；

P2:t0€(0,1),logIx0>logIx0;

23

x

p3:Vx€(0,+oo),(g),>log?x；0：Vx€(0,-),(^-)<log,X.

325

其中的真命題是()

A.Pi，p、B.A，p4C.p2,p,D.p2,P4

【解析】對于下列四個命題

p,:3x0e(0,+oo),(g)“<(；)*:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知A錯誤，

p2：3x0€(0,1),log1x0>logtx0;根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知p2正確，

23

V

/73：VxG(0,+co),(―)>logJX；當(dāng)X=L時，就不正確，故〃3錯誤，

252

p4：Vx€(0,-),(—/<logjX.根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，(！)“<1,而log]X>1,P4正確.故選：

32325

D.

【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

II.下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均

為1,且相鄰的圓都相切，A,B,C,/)是其中四個圓的圓心，則4瓦包=()

【裨析】法一：如圖所示，建立以d石為一組基底的基向量，其中|0=出|=1,且&/；的夾角為60。，

AB=24+46,CD=4d+2b,

?./A^.CD=(2a+4/?)<(4tz+2b)=8?2+8&2+20^=8+8+20x1x1x1=26.故選：C.

2

法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

可得4一2,2百)，伙2,0),。(3,百)，0(8,0),A月=(4,一26)，CD=(5,-73),A瓦C方=20+6=26,

故選C.

【點評】本題考查平面向量的混合運算，觀察圖形特征，建立基向量是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分析能力

和運算能力，屬于中檔題.

12.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/,(X),對于任意實數(shù)x都有/(-x)=/(x)-2x成立，且當(dāng)x￡(-oo,0］時，都

有尸。)<2工+1成立，film)-3m2<f(m-1)+3AH,則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(—oo,—l)B.(—―,4-oo)C.(―1,—)D.(—1,0)

【悻析】令g(x)=f(x)-x2-x,則g(—x)—g(x)=f(-x)-x2+x-/(x)+X24-X=0,g(—x)=g(x),，函數(shù)

g(x)為R上的偶函數(shù).???當(dāng)Xt(-oo,0］時,都有2x+l成立，,\gf(x)=ff(x)-2x-l<0,

函數(shù)g(x)在太￡(一8,0］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增./(2加)一3M</(〃2-1)+3〃7,即

f(2in)-4加2-2m<f(m-1)-(m-1)2-(w-l),/.g(26)<g(m-1),因此g(|2m\)<g(|m-11),.\|2/n|<|/n-11,

化為：3〃+2加-1vO,解得一1＜相＜一.故選：C.

3

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、方程與不等式的解法、構(gòu)造法，考查了

推理能力與計算能力，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-y..O

13.已知實數(shù)x,y滿足約束條件r+y-4,,0,則z=2x-y的最小值為1.

【解析】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立卜',解得4(1,1),z=2x-y,化為y=2x-z,由圖可知，當(dāng)直線y=2x-z過A時，直線在y軸

[x-y=O

上的截距最大，z有最小值為1.故答案為：1.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

14.「加公=2e—2.

J-1———

【解析】因為函數(shù)/(x)=*i為偶函數(shù)，位「盧必故答案為：2e-2.

【點評】本題考查定積分的運算性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的8處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即

前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30。，相距io海里c處的乙船，乙船立即朝北偏東e角的方向

沿直線前往8處救援，貝bin。的值等于_偵_.

北

【解析】連接8C,在A4BC中，AC=10海里，45=20海里，ZC4B=120°,

根據(jù)余弦定理得：BC1=AC2+AB2-2AC.ABvosZC4B=100+400+2(X)=700,

4。斤海里，根據(jù)正弦定理得忐即等=也

2

sinZACB=—,?.?NACB為銳角，，cos44cB=氈，

77

.-.sin0=sin(3O°+ZACB)=-x^+^x—=—.故答案為：殛.

【點評】此題考查了正弦、余弦定理，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的

關(guān)鍵.

16.已知集合4=伙+1次+2,……,k+n],%,〃為正整數(shù)，若集合A中所有元素之和為2019,則當(dāng)〃取最

大值時，集合A=[334,335,336,337,338,339).

[1,?,集合?4=伙+1,上+2,...,k+n],k,〃為正整數(shù)，二.A中共有〃個正整數(shù)，且這〃個正整數(shù)從小

到大排列，構(gòu)成以攵+1為首項，以1位公差的等差數(shù)列.

若集合A中所有元素之和為〃(%+1)+""1)=2"”1.〃=2019=3X673,

22

2k+n+\,”,其中一個為奇數(shù)，則另一個為偶數(shù)，

當(dāng)”為偶數(shù)時，設(shè)"=2機，，"為正整數(shù)，(2%+2加+1)?加=3x673,

:.，"=3,Ik+2m+1=673,即帆=3,n=6,k=333.

當(dāng)”為奇數(shù)時，設(shè)〃=2〃?—1,，〃為正整數(shù)，(發(fā)+加)?(2加—1)=3x673,

.,.2/n—l=3,k+m=673,即，〃=2,n=3,k=67\.

故〃的最大值為6,此時，A={334,335,336,337,338,339}.

【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前"項和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+cosx,xwR.

(1)已知0e[0,2加，函數(shù)/(x+6)是奇函數(shù)，求6的值；

(2)若于(a+土)=晅,且0€(0,萬)，求/'(2a)的值.

45

(](1)函數(shù)f(x)=sinx+cosx=V2sin(x+—),......................................................................................(2分)

4

由于/（x+9）=后sin（x+〃+2）為奇函數(shù)，所以夕+匹=br（ZwZ）,整理得。=Z乃一工（左wZ）,……（4分）

444

77T

由于?！闧0,2%],所以當(dāng)Z=0或1時,或8=—:............................................................................（6分）

44

（2）由題意得/（a+（）=>/2sin（cr+y）=\f2cosa=,所以cosa=,故sina=',.....................（9分）

所以/（2a）=\/5sin（2a+?）=sin2cr+cos2a=2sinacosa+2cos2a-l=W.....................................（12分）

【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能

力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

18.（12分）下面是2020年全國新高考卷17題：在①ac=G，②csinA=3,③。=收這三個條件中任

選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在AABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=Gsin8,C=~,?

6

己知某同學(xué)選擇條件②解答此題，最后得到的結(jié)論是：這樣的三角形存在且只有唯一一個.請你通過計算

推理，判斷該同學(xué)的結(jié)論是否正確.

【解析】法一：結(jié)論正確，理由如下：

AABC中，sinA=gsinB,a=Eb,........................................................................................................（2分）

又。=匹，由余弦定理得c2=a2+〃-2abcosC=（屏了+爐-2屜2?走="，..................（5分）

62

故。=人，則C=B，A=—......................................................................................................................（8分）

6'3

又csinA=3,..C=26................................................................................................................................（10分）

:.b=c=2y/3,而A=」，由余弦定理可求得a=6.與由csinA=asinC=3求得的結(jié)論是一致的.（11分）

3

故滿足條件的三角形存在且唯一...........................................................（12分）

法二：結(jié)論正確，理由如下：

,/csinA=3,.*.27?sinCsinA=3,.......................................................................................................................（2分）

/.?sinC=3,.........................................................................................................................................................（4分）

??,（7=—,/.a=6,..............................................................................................................................................（6分）

6

?/sinA=\/3sinBa=\[?)b,.............................................................................................................................(8分)

/.b=2y[3..............................................................................................................................................................(9分)

由a=6,b=2g,C=~,利用余弦定理可求得c=2b,....................................................................(10分)

6

可以驗證求得的結(jié)果與所有條件相吻合，...................................................（11分）

故滿足條件的三角形存在且唯一...........................................................（12分）

【點評】本題主要考查解三角形中的正弦定理與余弦定理，熟練掌握余弦定理并靈活的應(yīng)用是解本題的關(guān)

鍵.

19.（12分）已知某廠以，小時/千克的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求0.1且每小時可獲得

的利潤是60（—3/+1）元.

t

（1）若廠家以生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得利潤至少為1800元的速度進行生產(chǎn)，記1天（按8小時計算）生產(chǎn)

該產(chǎn)品的數(shù)量為，"千克，求出加的取值范圍；

（2）要使生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤.

【解由題意可知，生產(chǎn)該產(chǎn)品每小時獲得利潤至少為900元，8小時生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量為加千克，

故生產(chǎn)速度為當(dāng)小時/千克，..............................................................（1分）

m

根據(jù)題意，60（-3x-+—+1）..900,.................................................................................................................（3分）

m8

Q

又O.lv工,1,.........................................................................................................................................................（5分）

m

.?.24“m<80;..........................................................................................................................................................（6分）

（2）設(shè)生產(chǎn)速度為，小時/千克，故生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品需要680,小時，獲得的利潤為

y=680/x60（-3/+-+1）=680x60（-3r2+r+5）,.............................................................................................（10分）

t

.?/=■!■時，取得最大利潤為207400元，........................................（11分）

6

故甲廠應(yīng)以■!■小時/千克的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤為207400元...........................（12分）

6

【點評】本題考查函數(shù)模型的建立，考查解不等式，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的模型是關(guān)鍵.此題為2020

年呼和浩特市中考試題第24題.

20.（12分）已知等比數(shù)歹U｛a“｝（"eN*）滿足：a2a3=a4,2at+a3=3a2