2021屆寧夏銀川一中等十七校高考數(shù)學聯(lián)考試卷(理科)附答案解析

2021屆寧夏銀川一中等十七校高考數(shù)學聯(lián)考試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.下面四個結論：①若aUB),則a€4；②若ae(AnB),則a6(4UB)；③若aeA,且

aeB,則ae(AnB)；④若4UB=4貝lb4nB=B.其中正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.設復數(shù)Z滿足仙愿展=：L，則修|=()

A.當B一而C.2D.顯

3.在區(qū)間［1,3］上任取一數(shù)，則這個數(shù)大于等于1.5的概率為()

A.0.25B,0.5C,0.6D,0.75

4,已知數(shù)列｛&?｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，首項由=1,則它的前2020項的和等于()

1_02020

A.fB.2021al+2021x1010d

C.2020D.0

5.圓。一3)2+0+4)2=1關于直線丫=—%+6對稱的圓的方程是()

A.(x+IO)?+(y+3)2=1B.(x-10)2+(y-3)2=1

C.(x—3)2+(y+10)2=1D.(x—3)2+(y—10)2=1

6.下列命題推斷錯誤的是()

A.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題

B.若p且q為假命題，則p,q均為假命題

C.“x=-1”是“小--6=0”的充分不必要條件

D.命題p：存在%()6R,使得以+&+1<0,則非p：任意x6R,都有/+x+120

7.若a、b、。€/?且。>/?,則一定有()

A.a-c>b-cB.(a-b)c>0C.*D.a?>於

8.已知定義域為R的函數(shù)/(久)滿足：f(x+2)=號，且xe［-1,1］時，f(x)=|x|-l,則當xe

［—6,—4］時，f(x)的最小值為()

A.-8B.-4C.-7D.—：

48

9.如圖是函數(shù)/1(*)=sin(a>x+(p)(3>0,0<<p<兀)的部分圖象,

則f5)=()

10.體積為V的正方體，過不相鄰四頂點連成一個正四面體，則該正四面體的體積是()

A，B，C/D/

11.已知雙曲線，一總=l(a>0,b>0)與橢圓9+?=1有相同的焦點&、?2，點P為雙曲線與橢

圓的一個交點，且滿足|PFi|=2|P6|，則雙曲線的漸近線方程是()

A.y=+y/2xB.y=±y/3xC.y=+xD.y=+yx

12.已知函數(shù)=嚏則/丁(°))=()

A.1B.-1C.2D.-2

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13,若0+》(2以-1)5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則展開式中的常數(shù)項為.

14.在AABC中，若acosA=bcosB,且a?+/=必+c?,則△4BC的形狀為.

15.已知an=1,告5緇=>),則S99=%+a2++&99=----

則類比以上等式，可推測a,t的值，a+t=—.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.己知：/(%)—cos(^^7T+2%)+cos(^y^7T—2x)+2V3sin(1+2x)(xe/?,nGZ),

(1)求函數(shù)/(x)的值域和最小正周期;

(2)寫出f(x)的單調遞增區(qū)間.

18.某學校高一學生有1000名學生參加一次數(shù)學小測驗，隨機抽取200名學生的測驗成績得如圖所

示的頻率分布直方圖:

(1)求該學校高一學生隨機抽取的200名學生的數(shù)學平均成績或和標準差s(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點值做代表)；

(2)試估計該校高一學生在這一次的數(shù)學測驗成績在區(qū)間,-2s,x+2s］之內的概率是多少？測驗成

績在區(qū)間丘-2s,x+2s］之外有多少位學生？

(參考數(shù)據(jù)：V26?5.1)

19.如圖①，△4BC中，AC=BC,AC1BC,。為4B中點.沿CD將△4CD折起，折起后的4點記為E(

如圖②).

圖①圖②

(1)求證：平面ECDL平面EBD；

(2)若NEZM=60。，線段CE上是否存在一點F,使得二面角F-4B-C的余弦值為嚕？若存在，求

出？的值；若不存在，說明理由.

CE

20.已知橢圓C：,+卷=l(a>b>0)經(jīng)過點且離心率6=當.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設4,B分別是橢圓C的上頂點、右頂點，點P是橢圓C在第一象限內的一點，直線4P,BP分別交

x軸，y軸于點M,N,求四邊形4BMN面積的最小值.

21.己知函數(shù)g(x)=/+ax2+bx(a,beR)有極值，且函數(shù)f(x)=(%4-Q)靖的極值點是g(x)的極

值點，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值).

(1)若Q=l,求函數(shù)/(%)在％=1處的切線方程；

(2)求b關于Q的函數(shù)關系式；

(3)當a>0時，若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的最小值為M(a),證明：M(a)<-|

22.在直角坐標系xOy中，直線珀勺參數(shù)方程為匕：+震(t為參數(shù))，以坐標原點為極點%軸正半

軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2-2pcos9=3.

(I)求曲線C的直角坐標方程，并說明它為何種曲線；

(11)設點「的坐標為(3,3),直線，交曲線C于兩點，求|PA|+|PB|的取值范圍.

23.函數(shù)f(x)=|x+a|+-b|+c,其中a>0,b>0,c>0.

(1)當a=b=c=1時，求不等式/(%)>4的解集；

(2)若f(x)的最小值為3,求證：-+-+->3.

abc

參考答案及解析

1.答案：c

解析：解：：①若a€(4uB),則a€4或a€8,故錯誤;

②若a6(4CB),則a€(4U8),故正確；

③若aeA,且a€B,則ae(AnB),故正確；

④若4UB=A,則4,則4C8=B.故正確；

故選：C.

根據(jù)集合交集和并集的定義，逐一分析給定四個命題的真假，可得答案.

本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了集合交集和并集的定義，難度中檔.

2.答案：A

y■>"1JJLv：

解析：試題分析：噂導廄墀=3".??繆=誦上，.?惘=故選4

考點：本題考查了復數(shù)的運算

點評：熟練掌握并運用復數(shù)的運算法則是解決此類問題的關鍵

3.答案：D

解析：解：在區(qū)間［1,3］上任取一數(shù)，構成的區(qū)域長度為2,

這個數(shù)大于等于1.5,則構成的區(qū)域長度為：1.5,

所以在區(qū)間［1,3］上任取一數(shù)，則這個數(shù)大于等于1.5的概率為卷=0.75.

故選：D.

根據(jù)題意先確定是幾何概型中的長度類型，由“在區(qū)間［L3］上任取一數(shù)“求出構成的區(qū)域長度，再

求出這個數(shù)大于等于1.5構成的區(qū)域長度，求兩長度的比值即可.

本題主要考查概率的建模和解模能力，本題是長度類型，思路是先求得試驗的全部構成的長度和構

成事件的區(qū)域長度，再求比值.

4.答案：C

解析：解：｛aj既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，首項由=1,

則即=l(neN*)(常數(shù)數(shù)列)，前2020項的和等于2020,

故選：C.

由｛斯｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，可得｛a“｝是非零的常數(shù)列，計算可得所求和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查運算能力，屬于基礎題.

5.答案：B

解析：試題分析：設點孽的坐標是您看,嬤?由四=既|播|，得后蹲于，=公姆礪，，化

簡得徽駕自+承%=相???點孽的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓，所求面積為4叛，故選B.

考點：圓的方程

點評：解決的關鍵是根據(jù)圓關于直線對稱時，則圓的半徑不變，主要是求解圓心的對稱點即可，屬

于基礎題。

6.答案：B

解析:

本題考查命題的真假的判斷與應用，充要條件，命題的否定，四種命題的逆否關系，屬于基礎題.

利用原命題與逆否命題的真假關系判斷A的正誤；復合命題的真假判斷B的正誤；充要條件判斷C的

正誤；命題的否定判斷。的正誤.

解：對于4命題“若x=y,則sinx=siny”是真命題，它的逆否命題為真命題，所以A正確；

對于B,p和q中只要有命題是假命題，命題p且q就是假命題，所以B不正確；

對于C,“X=-1”是一5%一6=0”的充分不必要條件，滿足充分但不必要條件，正確；

對于D,命題p：存在&6R,使得詔+&+1<。，則非P：任意x€R，都有/+%+1>0,滿足

命題的否定形式，正確.

故選：8.

7.答案：A

解析：

本題考查了不等式的基本性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

利用不等式的基本性質即可判斷出結論.

解：由a>b,則a-c>b-c,而(a-b)c與0的大小關系不確定，

;與1大小關系不確定，例如取a=2,b—-1；取a=—1,b=—2.

a?與人2的大小關系不確定，例如取a=2,b=-1；取a=-1,b=-2.

故選：A.

8.答案：A

解析：解：???/(>+2)=早，

???/(X+4)==等,/(x+6)=^12=等，

令一5<%<-4,則一1<%+4<0

,?,%G時,/(%)=|%|-1

???f(x+4)=|x+4|-1

??.—5<%<—4時，/(x)=4(|%4-4|-1)

當％=-4時，f(%)的最小值為-4

令-6<%<-5,則0Wx+6W1,/(%+6)=氏+6|-1

?,?—6<%<—5時，/(%)=8(|x+6|-1)

當％=-6時，/(%)的最小值為一8.

???當％E[—6,—4]時，/(%)的最小值為-8.

故選A.

由/(x+2)=早，求出f(x+4)=早，/(x+6)=等，令-54XW-4,則一1WX+4W0,求

出/(x+4)、f(x)和最小值；令-6WXW-5,則0WX+6W1,求出/Q+6)、/Q)和最小值，從

而確定最小值.

本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意對x的賦值，將未知的范圍轉化到已知的范圍，充分運用條件即

可，同時考查絕對值函數(shù)的最值，屬于中檔題.

9.答案:A

解析：解：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的周期為：T=2x(y-^)=47r,可得3=弟=}

x時，函數(shù)取得最大值，所以sin?+8)=1,由五點法作圖，可得

可得函數(shù)的解析式為：/(%)=sin(|x+

則/(兀)=sin6+》=?.

故選：A.

求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)值即可.

本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)值的求法，考查計算能力.

10.答案：B

解析：解：如圖所示，設正方體的棱長為a,

則匕i-BDQ=曝方體48CD-A81cMi一三棱錐人-480

32

=a-4x-3ax-2a

=-1a63

3

_v_

-3，

如圖所不，設正方體的棱長為a，則匕1-BDCI=J正方體4BCD-4181cl-4V三棱錐4[_ABD，即可得出.

本題考查了正方體與三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

11.答案：B

解析：解：橢圓?1的焦點&(一2,0),F2(2,0)，

即有a?+爐=%

點P為雙曲線與橢圓的一個交點，設為第一象限，且滿足|P6|=2|PF?|,

設|PFJ=m,IPF2I=m，可得m+n=6,

m—n=2a,m=2n,解得a=l,b=遮,

雙曲線的方程為/一近=1,

3

則漸近線方程為y=±V3x,

故選：B.

求得橢圓的焦點，可得a2+/?2=4,設|PF/=m,IPF2I="，運用橢圓和雙曲線的定義，解得m,

n,可得a,b,即可得到雙曲線的方程和漸近線方程.

本題考查雙曲線的方程和性質，注意運用橢圓和雙曲線的定義，考查運算能力，屬于中檔題.

12.答案：A

解析：解：根據(jù)題意，函數(shù)

則/XO)=3-0=3,則=/'(3)=log33=1,

故選：A.

根據(jù)題意，先求出/(0)的值，進而計算可得答案.

本題考查分段函數(shù)的求值，涉及函數(shù)解析式的應用，屬于基礎題.

13.答案：10

解析：解：???(x+：)(2ax-l)5的展開式中各項系數(shù)的和為(1+1)(2。-1)5=2,

??a=1,

???(2x-1)5的通項為25—C產r(_l)r,

當r=4時為10x,

(x+：)(2x-I)'的展開式中的常數(shù)項為10萬?：=10,

故答案為：10.

根據(jù)展開式中各項系數(shù)的和12求得a的值，再把二項式展開，求得該展開式中常數(shù)項.

本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項

的系數(shù)，屬于中檔題.

14.答案：等邊三角形或直角三角形

解析：解：由acosA=bcosB,結合正弦定理可得，2sinAcosA=2sinBcosB,

即sin2A=sin2B,

又k,B為三角形兩內角，24=2B或24+2B=兀，

A=B或4+B=p

又a?+b2=ab+c2,c2=a2+b2-ab=a2+b2—2abcosC,

則cosC=I，Ce(O,TT),C=p

ABC的形狀為等邊三角形或直角三角形.

故答案為：等邊三角形或直角三角形.

把acosA=bcosB由正弦定理化邊為角，可得4=B或4+B=/；由a?+b2=ab+c?結合余弦定理

可得C=會從而可得△ABC的形狀.

本題考查三角形的解法，考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理及余弦定理的應用，是基礎題.

15.答案：費

.............H一、<,』

a

解析：試題分析：因為即=7*第詠，所以碉於:中=下喀嬴誦藥，n+ai00-n=

所以，S99=%+。2+…+。99?

S99=。99+。98+…+di（2）

31

①+②得2s99=99x下版?故S99

考點：本題主要考查數(shù)列的“倒序求和法”。

點評：中檔題，本題解答技巧性較強，但考查的數(shù)列求和方法卻是等差數(shù)列求和公式的推導方法。

由此可見，解題過程中，應根據(jù)的特征，靈活選用方法。

16.答案：35.

解析：試題分析：照此規(guī)律：a=6,t=a2-l=35.

考點：推理證明.

17.答案：解：/(x)=cos(2n7r+^+2%)+cos(2n;r--2%)+2V3sin(^+2x)=2cos(^+2x)+

2V3sin(^+2x)=4cos2x,

(1)函數(shù)/(x)的值域為［一4,4］,

函數(shù)/(無)的最小正周期T=^=n,

(2)11?2kn—n<2x<2kn,(keZ),

Afcyr—^<x<kn,

???f(x)的單調遞增區(qū)間為他兀一］k網(wǎng)(keZ).

解析：(1)先利用正弦的兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，進而根據(jù)三角函數(shù)的性質和周期公

式求得函數(shù)的值域及最小正周期.

(2)根據(jù)余弦函數(shù)的性質求得函數(shù)的單調增區(qū)間.

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象和性質.考查了學生對三角函數(shù)圖象的理

解和基本公式的記憶.

18.答案：解：(1)數(shù)學成績的樣本平均數(shù)為：

%=80x0.006x10+90x0.026x10+100x0.038x10+110x0.022x10+120x0.008x

10=100,

數(shù)學成績的樣本方差為：

S2=(80-100)2x0.06+(90-100)2x0.26+(100-100)2x0.38+(110-100)2x0.22

+(120-100)2X0.08

=(-20)2X0.06+(-10)2X0.26+102X0.22+202x0.08=104.

所以估計這批產品質量指標值的樣本平均數(shù)1=100,

樣本標準差s=V104=2V26x10.2.

(2)由(1)知a-2s,x+2s)=(79.6,120.4),

則(79.6-75)x0.006+(125-120.4)x0.008=0.06441-0.0644=0.9356,

所以1000x0.0644?64(人)

所以估計該學校在這一次的數(shù)學測驗中成績在區(qū)間G-2s,1+2s］之內的概率為0.9356,

全校測驗成績在區(qū)間,-2s,x+2s］之外約有64人.

解析：(1)由頻率分布直方圖能求出數(shù)學成績的樣本平均數(shù)和數(shù)學成績的樣本方差，由此能估計這批

產品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本標準差.

(2)由6-2s,x+2s)=(79.6,120.4),得到(79.6-75)x0.006+(125-120.4)X0.008=

0.06441-0.0644=0.9356,由此能估計該學校在這一次的數(shù)學測驗中成績在區(qū)間自-2s,x+2s］之

內的概率為0.9356,全校測驗成績在區(qū)間［x—2s,x+2s］之外約有64人.

本題考查平均數(shù)、標準差的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是

基礎題.

19.答案：(1)證明：由已知可得：CD人BD,CD1DE,又DBCDE=D,

CD_L平面EBO,而CDu平面ECD,

???平面ECO_L平面EBO.(4分)

(2)解：以。為原點，射線。C,DB為非負x、y軸建立空間直角坐標系(如圖)，

若設AC=CD=a,則可：D(0,0,0),C(—a,0,0),B(0,ya,0).

又由40=乎a/E/M=60。，可得E(0,-當a,華a),

為了計算方便，取a=2VL于是。(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),￡(0,-l,V3),

若線段CE上存在點尸滿足題意，設方=ACE(0<A<1).

由不=4謂，而一方？=4(反一方?)，而=(1-/t)DC+AD￡.

故F(2-21,-A.V3A).

設(無,y,z)為平面4BF的法向量，則由「,囂二;，

得?二+8M=°，取五=(同0,2"2),(8分)

顯然沆=(0,0,1)為平面4BC的法向量，

由己知|cos例曲=再焉標=卷后,

得3M+2"l=0,故;1=2=一1舍去)，二線段CE上存在一點F,且時，滿足題意.(12分

)

解析：(1)通過CD1BD,CD1CE證明CD_L平面EBD,然后證明平面ECD1平面EBD.

(2)以。為原點，射線0C,為非負x、y軸建立空間直角坐標系，求出平面4BF的法向量，平面ABC

的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解4,推出結果.

本題考查直線與平面垂直而得判斷定理的應用，平面與平面垂直的判斷定理的應用，二面角的平面

角的求法，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題.

20.答案：解：⑴???橢圓C：W+《=l(a>b>0)經(jīng)過點M(2,l),且離心率6=今

fCy/3

e=-=一

a2

「?<2+=］，解得Q=2A/2,b=V2，

a2b2

<a2=62+c2

橢圓c的方程為史+”=1.

82

(2)設A,8分別是橢圓C的上頂點、右頂點,則4(0,夜)，B(2/,0),

設P(x0,y。)，

則AP：、=生出無+/，可得M(--^=,0),

XQyo-v2

BP：'=當(>一2a)，可得N(。,—普)，

由卷+§=1,即就+4據(jù)=8,

1-2V2y1-

\AN\'\BM\=(V2+-------^0=)(2夜+

xQ—2V2

2

_2(x0+2yo-2V2)

"(x0-2V2)(y0-V2)

_2描+4羽+8+4肛笑0-4v2和-8%更加

,_x_=8,

^o3o^2o2\/2yo+4

則四邊形ABMN的面積=S^OMN-SAOAB

1

=-(|OM|-\ON\-\OA\?|OB|)

=；[(|。4+\AN\)(\OB\+\BM\)-\OA\-\OB\]

ILL

=-(V2|5M|+2A/2|XW|+8)

V2

=—(BM\+2\AN\)+4

>4+y-2yj2\AN\?\BM\=4+472.

當且僅當|BM|=4,|4N|=2,上式取得等號，

則四邊形力BMN的面積的最小值為4+4V2.

解析：本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查四邊形的面積的最

值求法，注意運用化簡變形、轉化和基本不等式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

(1)運用橢圓的離心率公式和M滿足橢圓方程，解方程可得a,b,即可得到所求橢圓方程；

(2)求得4B的坐標，設P(x(),yo),求得直線AP,BP的方程，可得M,N的坐標，計算|AN|?|BM|=8,

四邊形4BMN的面積=SAOMN-SAO4B=T(|OM|“ON|-|O4|-|OB|),化簡整理，結合基本不等式

即可得到所求最小值.

21.答案：解:(l)a=l時,/(x)=)=(x+l)ex

/'(%)=(%+2)ex

1(1)=3e,f(l)=2e

函數(shù)f(久)在％=1處的切線方程：y-2e=3e(x-1).

即y=3ex—e

x

(2),??函數(shù)/(x)=(x+a)ef

???/'(%)=ex(x+a+1),

令f'(x)=0,解得％=-a-1,

)函數(shù)g(%)=x34-ax2+bx{a,bG/?),

???gKx)=3x2+2ax+b,

???函數(shù)g(x)=%3+ax2+bx(a,b6R)有極值,且函數(shù)/(%)=(%+a)e”的極值點是g(%)的極值點,

???/(—Q—1)=3(—a—l)2+2a(—a—1)+b=0,

解得b=-a2—4a—3.

證明：(3)F(X)=/(%)—g(x)=(%+a)ex—%3—ax2—/?%=(%+a)ex—%3—ax2+(a2+4a+

3)x,

F'(x)=(%+Q+l)ex-3x2-2ax4-a2+4a+3

=(%+a+l)ex—(%+a+1)(3%—a—3)

=(x+Q+l)(ex-3%+Q+3),

令h(x)=e"-3x+Q+3,則九'(%)=ex—3,

令八'(X)=0,得％=ln3,

九(仇3)為九(%)最小值，且九(加3)=6-3"3+Q,

va>0,:./i(Zn3)>0,

:.h(x)>0,

對于F'(x)=(%+a+l)/i(x)=0,有唯一解％=—a—1,

當％￡(—8,一。一1)時，F(xiàn)z(x)<0,

當％W(—a—L+8)時，F(xiàn)z(x)>0,

???尸(一。一1)為尸(%)最〃、值，

M(Q)=F(—a-1)=-e-a-1—(a+l)2?(a+2),

當a>0時、：.M(a)是減函數(shù)，

17

M(a)<M(0)=一：-2<一5

7

解析：(1)利用導數(shù)的幾何意義求解.

(2)推導出f'(x)=+a+1),令/'(%)=0,得％=求出g'(x)=3/+2ax+b,從而

g'(-a-1)=3(-a-l)2+2a(-a-1)4-b=0,由此能求出b關于a的函數(shù)關系式.

(3)F(x)=/(%)—g(%)=(x+a)e"—%3—ax2+(a2+4Q+3)x,推導出F'(x)=(x+Q+l)ex—

3x2—2ax+a?+4Q+3=(%+Q+1)(/—3x4-a4-3),令/i(x)=e*—3x+a+3,則九'(%)=

ex-3,令九'(%)=0,得％=)3,九(伍3)=6-3m3+Q為h(%)最小值，推導出F(-a—1)為FQ)最

7

小值，M(a)=F(-a-1)=-e-a-1-(a+l)2-(a+2),由此能證明M(a)<一,.

本題考查導數(shù)幾何意義、不等式的證明，考查函數(shù)性質、導數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，

考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

22.答案:解：(1);曲線(?的極坐標方程為。2-2。恒5。=3.

.?.曲線C的直角坐標方程為產+y2-2x=3,即(X-1)2+y2=4,

曲線C是一個以(1,0)為圓心，2為半徑的圓.

(n)?.?直線/的參數(shù)方程為｛；：I+篙：(t為參數(shù))，

???直線2過定點P(3,3),

???直線］與曲線C相交，由題意知其傾斜角a為銳角，

把｛；~|::代入("一l)?+y2=*得/+(4cosa+6sina)t+9=0,

由4>0,