國家開放大學2022年(202201-202207)《1078復變函數》期末考試真題及答案完整版共

國家開放大學2021年秋季學期期末統(tǒng)一考試復變函數試題2022年1月一、單項選擇題(本題共20分，每小題4分)1若Zi=(a,b),Z2=(c,d)*0貝IJ2喪2=( )A.(uc,bd)C.(ac-bd,be+ad)B.(uc十bd,bc+ud)D.(Mac).若集E={z:lzlVl},則點Zo=乖,帶為集￡的().A.孤立點 B.邊界點C,外點 D,內點f-^-rdz=.IZ-II=SZT( ).A.2ni B.1C.兀i D,04.將函數’“)乙2_32+2在點Z=2的去心鄰域內展成羅朗級數，即是將f(z)￡( )展開.A.Iz-2|<1 B.1<Iz-2∣<2c.0<Iz-2I<2 D.0v∣z-2∣V15.ReS(Z,0)=( ).A.O b.3C.2 D.1二、填空題(本題共20分，每小題4分).設占為點集，若對&中任意兩點，總能用一條占的連續(xù)曲線將它們連接起來，則稱￡是連通的..同1=..設圍線C是單連通區(qū)域G的邊界，若f(z)在G內解析，且在&上連續(xù)，則Jf(Z)dz=.若函數W=f(Z)在擴充復平面上除有限個奇點Q”，8外是解析的，貝IJ苛=i&es(f,q)+Res(f,8)=.若函數W=f(z)在區(qū)域。內解析，則它在導數處是保角的.三、計算題(本題共45分，每小題15分).設U=x2-y2+xy,試求解析函數f(z)=U+iv,使得U=χ2-y2+xy,且有f(z)=-1+L.試將函數f(z)=-在點z=l展成慕級數..計算積分農2—財+9)也：^=2四、證明題(本題15分).證明：若a#為復數則|a+/?|2=|a|2+|/?|2+2/?e(a?).國家開放大學2022年春季學期期末統(tǒng)一考試

復變函數試題2020年7月一、單項選擇題(本題共20分，每小題4分)1.Rez=().B.字A.2z-zLn(-1)=( ).A.(2k+l)Jii(k為整數)C.niB.2kni(k為整數)D.-ni.J|z|=12z2_10z+12 (<A.3 B.2C.0 D.1.函數f(z)=ex在復平面上可表示為().C.乙n=ln!r=l矗=i5.Res(z,0)=().A.0C2B.3D.1、填空題(本題共20分，每小題4分)$)內 6.若存在某個N(a,<5),使得f(z)在N(a,解，則稱點a為函f(z)的析點.8..leRZ)=eT在點其中om幕級數?收斂半徑等于.5z-29.Res(z0)= 10.映射W=ZT將直線映射為.三、計算題(本題共45分，每小題15分).設U=x2-x-y2,試求以V虛部的解析函數f(z)=u+iv,使得f(i)=-l-i..試將f(z)=77?在點z=i的去心鄰域內展成羅朗級數.f Ld?.計算積分*1=7"睥+1).1514.證明：若標為復數,則|。+評=冏2+伊|2+2旭（必）1078國家開放大學2021年秋季學期期末統(tǒng)一考試復變函數試題答案及評分標準（供參考）一、單項選擇題（本題共20分，每小題I分）.C 2.B 3.A 4.D 5.D二、填空題（本題共20分，每小題4分）完全屬于I00不為零三、計算題（本題共45分，每小題15分）11-解：由C—R條件有u.=2i+_y=幻..所以ylv=2xy+—-—又因為u,=—P,.所以<p（.%）=—^-+c由此得/（g）=J-2-y2+xy+i（2j-y+>'~-J'-l-c）由/'⑴=-1+i得經驗證2_2j/M）=N—尹+邛+認2巧+?^+云）或/（z）=（l-y）z24-y即為所求.12.解：/（U）=b在區(qū)一1IV+8內可展成隔級數，因/（z）=e2=e{_l-ef（z）=e2=S —l|<4-oo2022年1月12分 15分 6分 15分13.11.定理7.1得i-_I； ~.^-.9)de=2航[Res(/,1)+Res(/,--1)]而Res(y?1)!氏＜°. (C--l)(s-+9)=20Res(K._D=1郭(z_l)?(._]：&2+點=喬 6分故J3」1，+9廣&=2骯備-嘉]=0 15分四、證明題（本題15分）14.證：因la+"=（a+R）G+0）=|招2+伊|2+諾+責 8分而ag=(ap)故aR+鄧=2Re(aR)從而得I仁+月∣2=∣0∣2+愣∣2+2屁(站) 15分2022復變函數試題答案及評分標準(供參考)2022年7月單項選擇題(本題共20分，每小題4分)AZ.A4.Bb.D填空題(本題共2()分，每小題4分)處處可導1+82,直線三、計算題(本題共45分，每小題15分).解：由C-R條件有UX=2x_]=Uy于是v=2xy-y+<p(x)由此得*=2x+<p(x)=-ux=2y從而有伊(X)=C(C為任意常數)因此v=2xy-y+c故得/(z)=(x2-x-y2)+i(2xy-y+C) 13分由f(i)=-l-i^c=0.故得f(z)=(x2-x-y2)+i(2xy-y)=/-z 15 分解：f⑵在°< <2內可展成羅朗級數,有「⑵=77?=(z-i)(z+i) 6 分z-i(z-i)+2i=打2爐割fi)〃?日永n∣z-i∣<215分解：令/⑵_?(z-i)(z+i)因為∕χz)在積分路徑Izl=7的內部含有三個奇點Z-°,z-1與Z-T所以J|z|=7W(z-i：~(Z+1^1^=2m,[Res(,,0)+Res(/,1)+Res(/,-1)]而R町0)=她/點7/=-1 .6分Res(/,1)=郭Res(/,-1)=lim(z+1)—— =； x-l*(z-l)(z+l)2