人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二教學(xué)設(shè)計(jì)全套

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二教學(xué)設(shè)計(jì)全套4.1數(shù)列的概念（第一課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的概念與表示“數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”，主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類(lèi)、通項(xiàng)公式、數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系等。數(shù)列是刻畫(huà)離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對(duì)深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限的基礎(chǔ)，因此，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置。數(shù)列的概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學(xué)的重點(diǎn)，更是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。學(xué)生主動(dòng)自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過(guò)程，影響概念學(xué)習(xí)過(guò)程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學(xué)的難點(diǎn).【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.B.掌握數(shù)列的分類(lèi).C.理解數(shù)列的函數(shù)特征,掌握判斷數(shù)列增減性的方法.D.掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的概念及其應(yīng)用,能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列的概念及表示、數(shù)列的分類(lèi)2.邏輯推理：求數(shù)列的通項(xiàng)公式3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)列的概念【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法難點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特征【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、情景導(dǎo)學(xué)古語(yǔ)云:“勤學(xué)如春起之苗,不見(jiàn)其增,日有所長(zhǎng)”如果對(duì)“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個(gè)數(shù)列.那么什么叫數(shù)列呢?二、問(wèn)題探究1.王芳從一歲到17歲，每年生日那天測(cè)量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）依次排成一列數(shù)：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168①記王芳第i歲的身高為hi

，那么h1=75

,h2=87,

…，h17=168.我們發(fā)現(xiàn)hi中的i2.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥板（編號(hào)K90，約生產(chǎn)于公元前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個(gè)月中從第1天到第15天，每天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②記第i天月亮可見(jiàn)部分的數(shù)為si,那么s1=5

,s2=10,

…，s15=240.這里，si中的i反映了月亮可見(jiàn)部分的數(shù)按日期從1~15順序排列時(shí)的確定位置，即s13.-12-12，14，-18，思考：你能仿照上面的敘述，說(shuō)明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？一、數(shù)列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.2.項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示;第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).3.表示:數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}.點(diǎn)睛：(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個(gè)數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.(2)符號(hào){an}和an是不同的概念,{an}表示一個(gè)數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).二、數(shù)列的分類(lèi)類(lèi)別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列三、數(shù)列與函數(shù)數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．另一方面，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義，那么構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…1.下列敘述正確的是()A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類(lèi)B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定C.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}D.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn)解析:按項(xiàng)的變化趨勢(shì),數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等數(shù)列,A錯(cuò)誤;數(shù)列1,3,5,7與由實(shí)數(shù)1,3,5,7組成的集合{1,3,5,7}是兩個(gè)不同的概念,C錯(cuò)誤;同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn),如2,2,2,…表示由實(shí)數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列,D錯(cuò)誤;對(duì)于給定的數(shù)列,數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定,B正確.答案:B四、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.點(diǎn)睛：(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(3)同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項(xiàng)a10=,224是該數(shù)列的第項(xiàng).解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數(shù)列的第15項(xiàng).答案:9915三、典例解析例1.根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng),并畫(huà)出它們的圖像.（1）an=解:（1）當(dāng)通項(xiàng)公式中的n=1，2，3，4，5

時(shí)，數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為1,3,6,10,15如圖所示(1)（2）當(dāng)通項(xiàng)公式中的n=1，2，3，4，5

時(shí)，數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為1,0,-1,0,1如圖所示(2)例2.根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng),寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)12,2,92,8,(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;(4)22(5)-11×2,1(6)4,0,4,0,4,0,….解:(1)數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察,12,42,(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1000,10000,…,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開(kāi)始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開(kāi)始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(n(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n·1n(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式,即an=4,n為奇數(shù),0,根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)通項(xiàng)公式的具體思路為:(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系.(3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)k處理符號(hào).(4)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考慮利用周期函數(shù)的知識(shí)解答.2.常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列-1,1,-1,1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n.(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n.(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2.(7)數(shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n((8)數(shù)列1,12,13,跟蹤訓(xùn)練1.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1,13,15,17;(2)21(3)3,5,9,17;(4)23(5)7,77,777,7777.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)a(4)an=2n(2n)2-例3(1)已知數(shù)列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N*.①數(shù)列中有哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)?②當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?求出此最小值.(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(n+1)1011n(n∈N*),試問(wèn)數(shù)列{a分析:(1)①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)計(jì)算an+1-an確定單調(diào)性求解最大(小)項(xiàng)(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴數(shù)列中第1,2,3,4,5項(xiàng)為負(fù)數(shù),即-10,-12,-12,-10,-6.②an=n2-5n-6=n-52(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)1011n=1011∴當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列中有最大項(xiàng),最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng),即a9=a10=10解法二:設(shè)ak是數(shù)列{an}的最大項(xiàng),則a整理,得10k+10≥11k所以k=9或k=10.又a1=2011<a9=a10,即數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a9=a10=1求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.(2)可以利用不等式組an利用不等式組an變式探究：在本例(2)中,若已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an=1n+3·98n,n解:設(shè)第n項(xiàng)an最小,則a即1n+3所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=932>a5=a6即a5與a6都是數(shù)列的最小項(xiàng),且a5=a6=95通過(guò)古詩(shī)及生活中的情景，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光，分析問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)具體問(wèn)題的思考和分析，幫助學(xué)生觀察、分析、歸納總結(jié)出數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)數(shù)列概念的解讀，并與集合、函數(shù)概念的比較，深化對(duì)數(shù)列概念的理解。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，幫助靈活運(yùn)用數(shù)列的概念解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下列各項(xiàng)表示數(shù)列的是()A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形D.a+b,a-b,ab,λa解析:數(shù)列是指按照一定次序排列的一列數(shù),而不能是圖形、文字、向量等,只有B項(xiàng)符合.答案:B2.下列數(shù)列既是遞增數(shù)列,又是無(wú)窮數(shù)列的是()A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…解析:由遞增數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列的定義知D項(xiàng)正確.答案:D3.觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個(gè)圖中有小圓圈.分析:仔細(xì)觀察每個(gè)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)順序之間的關(guān)系,從而歸納出第n個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù).解析:觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log3(2n+1),則a3=.解析:觀察可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=4n-1,而53答案:195.已知數(shù)列3,7,11,解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.在數(shù)列{an}中,已知an=n2+n-1(1)寫(xiě)出a10,an+1.(2)7923解:(1)a10=102+10-1(2)令an=n2+n-17.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=kn2n+3(1)當(dāng)k=1時(shí),判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性;(2)若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析:對(duì)于(1),因?yàn)橐阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式,所以可以通過(guò)比較數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)an與an+1的大小來(lái)確定數(shù)列的單調(diào)性;對(duì)于(2),可根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列,得出an與an+1的大小關(guān)系,從而確定k的取值范圍.解:(1)當(dāng)k=1時(shí),an=n2n+3,所以an+1所以an+1-an=n+1故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(2)若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,則an+1-an<0恒成立,即an+1-an=kn+因?yàn)?2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)數(shù)列的概念與表示數(shù)列的定義通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】學(xué)生學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)的概念和性質(zhì)等基本知識(shí)，初步掌握了函數(shù)的研究方法，在觀察、抽象、概括等學(xué)習(xí)策略與學(xué)習(xí)能力方面，有了一定的基礎(chǔ).況且，數(shù)列概念的學(xué)習(xí)并不需要很多的知識(shí)基礎(chǔ)，可以說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)列的概念并無(wú)知識(shí)上的困難.這些都是數(shù)列概念教學(xué)的有利條件.剛開(kāi)始高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生，自己主動(dòng)地建構(gòu)概念的意識(shí)還不夠強(qiáng)，能力還不夠高.同時(shí)，在建立概念的過(guò)程中，學(xué)生的辨別各種刺激模式、抽象出觀察對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征，概括形成概念，并且用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)）表達(dá)等方面，會(huì)表現(xiàn)出不同的水平，從而會(huì)影響整體的教學(xué).4.1數(shù)列的概念（第二課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系?！皵?shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法”，主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類(lèi)、通項(xiàng)公式、數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系等。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是刻畫(huà)離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對(duì)深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限的基礎(chǔ)，因此，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置。數(shù)列的概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學(xué)的重點(diǎn)，更是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。學(xué)生主動(dòng)自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過(guò)程，影響概念學(xué)習(xí)過(guò)程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學(xué)的難點(diǎn).【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解數(shù)列遞推公式的含義,會(huì)用遞推公式解決有關(guān)問(wèn)題.B.會(huì)利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式.1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列遞推公式2.邏輯推理：數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用遞推公式求數(shù)列的特定項(xiàng)及通項(xiàng)【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系難點(diǎn)：用遞推公式解決有關(guān)問(wèn)題、用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、課前小測(cè)1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，則a5＝()A．10B．12C．14D．16B解析：由題意，通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2)(n－1)(n＋1)，則a5＝eq\f(1,2)×(5－1)×(5＋1)＝12.故選B.2．由數(shù)列前四項(xiàng)：，，，，…，則通項(xiàng)公式______．【詳解】由題意，該數(shù)列前四項(xiàng)可變?yōu)椋?，，，，…，由此可歸納得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為．3．已知數(shù)列的前幾項(xiàng)是、、、、，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是_________．【詳解】該數(shù)列的前四項(xiàng)可表示為，，，，因此，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.二、新知探究例4.圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在圖中4個(gè)大三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式解：在圖中（1）（2）（3）（4）中，著色三角形個(gè)數(shù)依次為1,3,9,27即所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號(hào)減1，因此這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是a換個(gè)角度觀察圖中的4個(gè)圖形，可以發(fā)現(xiàn)a1=1，且每個(gè)圖形中的著色三角形都在下一個(gè)圖形中分裂為3個(gè)著色小三角形和1個(gè)無(wú)色小三角形，于是從第2個(gè)圖形開(kāi)始，每個(gè)圖形中著色三角形的個(gè)數(shù)都是前一個(gè)圖形中著色三角形個(gè)數(shù)的三倍，這樣，例4中的數(shù)列的前a1=1由此猜測(cè)，這個(gè)數(shù)列滿足公式a通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映了an與n之間的關(guān)系,即已知n的值,就可代入通項(xiàng)公式求得該項(xiàng)的值an;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系,要求an,需將與之聯(lián)系的各項(xiàng)依次求出.一、數(shù)列的遞推公式像an=3a1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=1+1an-1(n∈N*,n>1),則a解析:由已知,得a2=1+1a1=2,a3=1+答案:3二、數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和1.數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.an=S點(diǎn)睛(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必須注意它成立的條件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當(dāng)n=1時(shí),a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)采用分段表示,即an=S2.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法．()(2)所有數(shù)列都有遞推公式．()(3)an＝Sn－Sn－1成立的條件是n∈N*.()（1）√（2）×（3）√3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,當(dāng)n=1時(shí),2×1-1=1,故a1不適合②式.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3三、典例解析例1已知數(shù)列{an},a1=1,且滿足an=3an-1+(-1)n2(n∈N分析:由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值.解:由題意,得a2=3a1+(-1)22所以a2=3×1+(-1同理a3=3a2+(-1)32=10,a4=3a3+(-1)42由遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)的方法根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng),要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.另外,解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)還需注意:若已知首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式;若已知末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式.跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3,且a1=0,則此數(shù)列的第5項(xiàng)是()A.15 B.255 C.16 D.63解析:因?yàn)閍1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟蹤訓(xùn)練2.已知數(shù)列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)，并猜想通項(xiàng)公式．解：由a1＝2，an＋1＝2an，得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24，a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…，猜想an＝2n(n∈N*)．例2若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=-2+10=8=-4×1+12.此時(shí)滿足an=-4n+12,∴an=12-4n.變式探究：試求本例中Sn的最大值.解:∵Sn=-2n2+10n=-2n-522+252,∴當(dāng)n=2或n=3時(shí),Sn最大,即S2或S3最大.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式的步驟：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1.(2)當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)Sn寫(xiě)出Sn－1，化簡(jiǎn)an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的式子，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝Sn－Sn－1；如果a1不滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的式子，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式要分段表示為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))跟蹤訓(xùn)練3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則an＝____________.解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2不適合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))通過(guò)課前小測(cè)，進(jìn)步深化學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解和運(yùn)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)具體問(wèn)題的思考和分析，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)列中的遞推公式。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生理解數(shù)列求和概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列遞推公式的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，幫助靈活運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.已知數(shù)列{an},a1=1,an+1=12an+1A.1 B.14C.34解析:a2=12a1+12=1,a3=12a2答案:C2.已知數(shù)列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,則實(shí)數(shù)m等于()A.0 B.25解析:由題意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=25答案:B3.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+25n,則數(shù)列{an}的各項(xiàng)中最大項(xiàng)是()A.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng)解析:因?yàn)閍n=-2n2+25n=-2n-2542+所以當(dāng)n=6時(shí),an的值最大,即最大項(xiàng)是第6項(xiàng).答案:C4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=()A.3×56n-1C.3×56n-1解析:當(dāng)n=1時(shí),a1=1-5a1+23,解得a1=4.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=56an-1+1即an-1=56(an-1-1),故數(shù)列{an-1}是以3為首項(xiàng),5則an-1=3×56n-1,所以a答案:C5.(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,an+1=an+1n-1n+1求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.(2)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=1-1nan-1求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析:(1)先將遞推公式化為an+1-an=1n-1解:(1)∵an+1-an=1n∴a2-a1=11-12,a3-a2=12-13,a4-a3=將以上n-1個(gè)式子相加,得∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1-12即an-a1=1-1n(n≥2,n∈N*∴an=a1+1-1n=-1+1-1n=-1n(n≥2,n∈又當(dāng)n=1時(shí),a1=-1也符合上式.∴an=-1n(2)因?yàn)閍1=1,an=1-1nan-1所以an所以an=anan-=n-1n·n又因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),a1=1,符合上式,所以an=1n通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】數(shù)列概念的學(xué)習(xí)并不需要很多的知識(shí)基礎(chǔ)，可以說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)列的概念并無(wú)知識(shí)上的困難.這些都是數(shù)列概念教學(xué)的有利條件.剛開(kāi)始高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生，自己主動(dòng)地建構(gòu)概念的意識(shí)還不夠強(qiáng)，能力還不夠高.同時(shí)，在建立概念的過(guò)程中，學(xué)生的辨別各種刺激模式、抽象出觀察對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征，概括形成概念，并且用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)）表達(dá)等方面，會(huì)表現(xiàn)出不同的水平，從而會(huì)影響整體的教學(xué).4.2.1等差數(shù)列的概念（第一課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解等差數(shù)列的概念B.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用C.掌握等差數(shù)列的判定方法1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的概念2.邏輯推理：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通項(xiàng)公式的應(yīng)用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列的應(yīng)用【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：等差數(shù)列概念的理解、通項(xiàng)公式的應(yīng)用難點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及等差數(shù)列的判定【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、導(dǎo)語(yǔ)我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們?cè)诶斫饬撕瘮?shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究?jī)?nèi)容（如單調(diào)性，奇偶性等）后，通過(guò)研究基本初等函數(shù)不僅加深了對(duì)函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型。類(lèi)似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并應(yīng)用它們解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用，下面，我們從一類(lèi)取值規(guī)律比較簡(jiǎn)單的數(shù)列入手。新知探究1.北京天壇圜丘壇，的地面有十板布置，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的示板數(shù)依次為9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上對(duì)應(yīng)的尺碼分別是38,40,42,44,46,48②3.測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位℃）依次為25,24,23,22,21③4.某人向銀行貸款a萬(wàn)元，貸款時(shí)間為n年，如果個(gè)人貸款月利率為r

，那么按照等額本金方式還款，他從某月開(kāi)始，每月應(yīng)還本金(ar,ar在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過(guò)運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類(lèi)似地，你能通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？1．等差數(shù)列的概念文字語(yǔ)言如果一個(gè)數(shù)列從第_2_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示符號(hào)語(yǔ)言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2．等差中項(xiàng)(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A.1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．()(3)在等差數(shù)列中，除第1項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是它前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．()×;×;√問(wèn)題探究思考1：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得a所以a2-a1=d,a3-a于是a2=a

a3=a2+d=(a1+

a4=a3+d=(a1+歸納可得an=a1+(n-1當(dāng)n=1時(shí)，上式為a1=a1+(因此，首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=思考2：教材上推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？[提示]還可以用累加法，過(guò)程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，將上述(n－1)個(gè)式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d2．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān)．()(3)若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．()解析：(1)錯(cuò)誤．若這些常數(shù)都相等，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，則這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列．(2)正確．當(dāng)d>0時(shí)為遞增數(shù)列；d＝0時(shí)為常數(shù)列；d<0時(shí)為遞減數(shù)列．(3)正確．若a，b，c滿足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c為等差數(shù)列．[答案](1)×(2)√(3)√3．在等差數(shù)列{an}中，a3＝2，d＝6.5，則a7＝()A．22B．24C．26D．28D[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故選D.]4．如果三個(gè)數(shù)2a，3，a－6成等差數(shù)列，則a的值為()A．－1B．1C．3D．4D[由條件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故應(yīng)選D.]三、典例解析例1.（1）已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=5-2（2）求等差數(shù)列8,5,2…的第20項(xiàng)。分析（1）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由an+1-an解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由a可得an-1于是d=an-an-1把代入通項(xiàng)公式an=5-2（2）由已知條件，得d把a(bǔ)1=8,d=-3代入an=an=8-3(n-1)=11把n=20a20=11-所以，這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)是-49求通項(xiàng)公式的方法(1)通過(guò)解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫(xiě)出通項(xiàng)公式，這是求解這類(lèi)問(wèn)題的基本方法．(2)已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d寫(xiě)出通項(xiàng)公式．(3)抓住等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)an是關(guān)于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．跟蹤訓(xùn)練1．(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項(xiàng)a1與公差d.(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a5＝10，a12＝31，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))∴這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)a1＝－2，公差d＝3.(2)法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.法三：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))∴a75＝75×eq\f(4,15)＋4＝24.例2(1)已知m和2n的等差中項(xiàng)是8，2m和n的等差中項(xiàng)是10，則m和n的等差中項(xiàng)是________．(2)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是等差數(shù)列，求證：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也是等差數(shù)列．[思路探究](1)eq\x(列方程組)―→eq\x(求解m，n)―→eq\x(求m，n的等差中項(xiàng))(2)(1)6[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq\f(m＋n,2)＝6.](2)[證明]∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．∵eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(cb＋c＋aa＋b,ac)＝eq\f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2a＋c2,ba＋c)＝eq\f(2a＋c,b)，∴eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列．等差中項(xiàng)應(yīng)用策略1.求兩個(gè)數(shù)x，y的等差中項(xiàng)，即根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得A＝eq\f(x＋y,2).2.證三項(xiàng)成等差數(shù)列，只需證中間一項(xiàng)為兩邊兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)即可，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練2．在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．[解]∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項(xiàng)，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1與3的等差中項(xiàng)，∴a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3與7的等差中項(xiàng)，∴c＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴該數(shù)列為：－1，1，3，5，7.通過(guò)導(dǎo)語(yǔ)，通過(guò)對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，幫助學(xué)生類(lèi)比，展望數(shù)列學(xué)習(xí)的路線。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)具體問(wèn)題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出等差數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，幫助靈活運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－3n，則此數(shù)列()A．是公差為－3的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列A[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．對(duì)比an＝－3n＋5.故公差為－3.故選A.]2．等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝()A．8B．12C．16D．24C[設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由a2＝2，a5＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故選C.]3．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項(xiàng)為_(kāi)_____．eq\r(3)[eq\f(a＋b,2)＝eq\f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq\f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq\r(3).]4.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10＝____.解析：(方法一)設(shè)an＝a1＋(n－1)d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)設(shè)公差為d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝eq\f(a8－a5,3)＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)設(shè)an＝An＋B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＝5A＋B，,a8＝8A＋B，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝5A＋B，,5＝8A＋B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－2，,B＝21，))∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.5．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】普通高中學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的高中的學(xué)習(xí)生活，已經(jīng)慢慢習(xí)慣的高中的學(xué)習(xí)氛圍，大部分學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，且對(duì)數(shù)列的知識(shí)有了初步的接觸和認(rèn)識(shí)，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，對(duì)函數(shù)、方程思想體會(huì)逐漸深刻，應(yīng)用數(shù)學(xué)公式的能力逐漸加強(qiáng)。他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力。但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類(lèi)學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。4.2.1等差數(shù)列的概念（第二課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).B.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題.C.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的性質(zhì)2.邏輯推理：等差數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用等差數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)的推導(dǎo)【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新1．等差數(shù)列的概念文字語(yǔ)言如果一個(gè)數(shù)列從第__項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的______的差都等于__________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)____叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母__表示符號(hào)語(yǔ)言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2;前一項(xiàng);同一個(gè)常數(shù);常數(shù);d2．等差中項(xiàng)(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通項(xiàng)公式的應(yīng)用；二、典例解析例3.某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值會(huì)減少d(d為正常數(shù)）萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的范圍.分析：該設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知，an＝an－1－d(n≥2).即：an－an－1＝－d.所以{an}為公差為－d的等差數(shù)列.10年之內(nèi)（含10年），該設(shè)備的價(jià)值不小于（220×5%=）11解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為an萬(wàn)元，則可得數(shù)列{an}．由已知條件，得an＝an－1－d（n≥2）．所以數(shù)列{an}是一個(gè)公差為－d的等差數(shù)列.因?yàn)閍1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由題意，得a10≥11，a11＜11.即：220－10d≥11220－所以，d的求值范圍為19<d≤20.9等差數(shù)列在實(shí)際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用.將實(shí)際問(wèn)題抽象為等差數(shù)列問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)列的問(wèn)題，再把問(wèn)題的解回歸到實(shí)際問(wèn)題中去，是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程.跟蹤訓(xùn)練1.孟子故里鄒城市是我們的家鄉(xiāng)，它曾多次入選中國(guó)經(jīng)濟(jì)百?gòu)?qiáng)縣.經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶動(dòng)了市民對(duì)住房的需求.假設(shè)該市2019年新建住房400萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)在以后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.那么該市在第（）年新建住房的面積開(kāi)始大于820萬(wàn)平方米？A.2026B.2027C.2028D.2029C解：設(shè)從2019年開(kāi)始，該市每年新建住房面積為an由題意可知an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=400，公差d所以an=400+(n令50n+350>820，解得由于n所以該市在2028年建住房面積開(kāi)始大于820萬(wàn)平方米.例4.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，d=8,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(2)b29是不是數(shù)列{an}的項(xiàng)？若是，它是{an}的第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：（1）{an}是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把a(bǔ)1，a2表示為{bn}中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè){an}中的第n項(xiàng)是{bn}中的第cn項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與cn的關(guān)系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項(xiàng).解：（1）設(shè)等差數(shù)列bn的公差為∵b1=a1,b5=a2,∴b5-

b1∵b5-

b1=4d',∴4d'=∴bn=2+(所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn（2）數(shù)列an的各項(xiàng)依次是數(shù)列bn的第1,5,9,13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列cn，則cn=4令4n-

3=29,解得:n=8所以，b29是數(shù)列的第8項(xiàng)對(duì)于第（2）小題，你還有其他解法嗎？等差數(shù)列的性質(zhì)如果在一個(gè)等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間都插入k(仍然可以構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.例5.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，p,求證:a分析：利用等差數(shù)列的中的兩個(gè)基本量a1,寫(xiě)出ap證明：設(shè)數(shù)列an的公差為dap=a1aq=a1as=a1at=a1所以:as因?yàn)閜所以a例5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？通過(guò)上節(jié)課我們知道等差數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分布在一條直線上，那么你能從直線斜率的角度來(lái)解釋這一性質(zhì)嗎？思路：a∵p+q=s∴通過(guò)回顧等差數(shù)列的定義及其中項(xiàng)性質(zhì)，提出問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的分析解決，體會(huì)等差數(shù)列的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解和運(yùn)用，深化對(duì)等差數(shù)列的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解和運(yùn)用，深化對(duì)等差數(shù)列的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為()A．20B．30C．40D．50【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車(chē)去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付車(chē)費(fèi)________元．23.2[根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車(chē)的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來(lái)計(jì)算車(chē)費(fèi)．令a1＝11.2，表示4km處的車(chē)費(fèi)，公差d＝1.2，那么當(dāng)出租車(chē)行至14km處時(shí)，n＝11，此時(shí)需要支付車(chē)費(fèi)a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，則k＝________.【答案】18[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝eq\f(17,3).又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝eq\f(a9－a7,9－7)＝eq\f(7－\f(17,3),2)＝eq\f(2,3).∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×eq\f(2,3)，∴k＝18.]4．在首項(xiàng)為31，公差為－4的等差數(shù)列中，絕對(duì)值最小的項(xiàng)是________.【答案】－1[可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝35－4n.則當(dāng)n≤8時(shí)an>0；當(dāng)n≥9時(shí)an<0.又a8＝3，a9＝－1.故絕對(duì)值最小的項(xiàng)為a9＝－1.]5．已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù).【答案】法一：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a，b，c(a<b<c)，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c,a＋b＋c＝18,a2＋b2＋c2＝116))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝6，,c＝8.))法二：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②))由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵該數(shù)列是遞增的，∴d＝－2舍去，∴這三個(gè)數(shù)為4,6,8.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1)應(yīng)用等差數(shù)列解決生活中實(shí)際問(wèn)題的方法.2)等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間都插入k(k∈3)等差數(shù)列an，p,q,通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】普通高中學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的高中的學(xué)習(xí)生活，已經(jīng)慢慢習(xí)慣的高中的學(xué)習(xí)氛圍，大部分學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，且對(duì)數(shù)列的知識(shí)有了初步的接觸和認(rèn)識(shí)，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，對(duì)函數(shù)、方程思想體會(huì)逐漸深刻，應(yīng)用數(shù)學(xué)公式的能力逐漸加強(qiáng)。他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力。但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類(lèi)學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（1）數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．B.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題．C.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單性質(zhì)．1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式綜合運(yùn)用【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、新知探究據(jù)說(shuō)，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題：1＋2＋3＋…＋100=？你準(zhǔn)備怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德國(guó)數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一.他在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都做出過(guò)杰出貢獻(xiàn).問(wèn)題1：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列：1，2，3，…，n前100項(xiàng)的和問(wèn)題.等差數(shù)列中，下標(biāo)和相等的兩項(xiàng)和相等.設(shè)an＝n，則a1＝1，a2＝2，a3＝3，…如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，則ap＋aq＝as＋at可得：a問(wèn)題2：你能用上述方法計(jì)算1＋2＋3＋…＋101嗎？問(wèn)題3：你能計(jì)算1＋2＋3＋…＋n嗎？需要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類(lèi)討論.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=1+n=n2當(dāng)n為奇數(shù)數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)S=1+n=對(duì)于任意正整數(shù)n，都有1＋2＋3＋…＋n=問(wèn)題4：不分類(lèi)討論能否得到最終的結(jié)論呢？Sn=Sn=將上述兩式相加，得2Sn=1+=n所以Sn=問(wèn)題5.上述方法的妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求等差數(shù)列an的前n倒序求和法Sn=Sn2Sn因?yàn)椋核裕?Sn=(a1=n(即：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)選用公式Sn＝nSn＝na1功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1和an中任意3個(gè)，求第4個(gè).二、典例解析例6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.（1）若a1=7,a50=101,求S（2）若a1=2,a2=52,求（3）若a1=12，d=-16,Sn=-5,分析：對(duì)于（1），可以直接利用公式Sn=n(a1+an)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn=na解：（1）因?yàn)閍1=7,a50=101，根據(jù)公式SS20（2）因?yàn)閍1=2,a2=52，所以d=12.根據(jù)公式SS10=10×2+10×(10-1)2（3）把a(bǔ)1=12，d=-16,Sn=-5代入-5=整理，得n解得n=12或n=-5（舍）,等差數(shù)列中的基本計(jì)算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問(wèn)題．解題時(shí)注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結(jié)合使用．跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列{an}．(1)a1＝eq\f(5,6)，a15＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求d和n；(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)∵a15＝eq\f(5,6)＋(15－1)d＝－eq\f(3,2)，∴d＝－eq\f(1,6).又Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－5，解得n＝15或n＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.例7.已知一個(gè)等差數(shù)列an前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.分析：把已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式2后，可得到兩個(gè)關(guān)于a解：由題意，知S10=310,把它們代入公式

Sn得10a1+所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差。一般地，對(duì)于等差數(shù)列，只要給定兩個(gè)相互獨(dú)立的條件，這個(gè)數(shù)列就完全確定。(法二)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差數(shù)列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1220－310)＝310＋S30－1220，∴S30＝2730.(法三)設(shè)Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(310＝100A＋10B，,1220＝400A＋20B，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝3，,B＝1.))∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2730.(法四)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)eq\f(d,2)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以a1為首項(xiàng)，eq\f(d,2)為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(S10,10)，eq\f(S20,20)，eq\f(S30,30)成等差數(shù)列，∴eq\f(S10,10)＋eq\f(S30,30)＝2×eq\f(S20,20)，∴S30＝30eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S20,10)－\f(S10,10)))＝30×(122－31)＝2730.通過(guò)回顧歷史中高斯小故事，提出等差數(shù)列求和問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般，分類(lèi)與整合、數(shù)學(xué)結(jié)合等思想方法，感受等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和公式的綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為()A．20B．30C．40D．50【答案】C[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5B．7C．9D．11【答案】A[由題a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.∴a3＝1又∵S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝eq\f(5×2a3,2)＝5.]3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝－n2，則()A．a(chǎn)n＝2n＋1B．a(chǎn)n＝－2n＋1C．a(chǎn)n＝－2n－1D．a(chǎn)n＝2n－1【答案】B[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝－1符合上式．∴an＝－2n＋1.]4．在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.【答案】190[S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝eq\f(19×2a10,2)＝190.]5．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12.【答案】∵Sn＝n·eq\f(3,2)＋eq\f(nn－1,2)·－eq\f(1,2)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq\f(3,2)＋(12－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問(wèn)題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示。4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第二課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.等差數(shù)列掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用.B.會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式2.邏輯推理：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列前n項(xiàng)的應(yīng)用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列前n項(xiàng)的具體應(yīng)用【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、課前小測(cè)1．思考辨析(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列．()(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大．()(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝(2n－1)an.()[答案](1)√(2)√(3)√2．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于()A．9B．10C．11D．12B[∵eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n)，∴eq\f(165,150)＝eq\f(n＋1,n).∴n＝10.故選B項(xiàng)．]3．等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________.15[由S2，S4－S2，S6－S4成等差數(shù)列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時(shí)，n為_(kāi)_______.23或24[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有負(fù)項(xiàng)的和最小，即n＝23或24.]二、典例解析例8.某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個(gè)座位.問(wèn)第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位？分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。由題意可知，{an}是等差數(shù)列，且公差及前20項(xiàng)和已知，所以可利用等差數(shù)列的前n解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn.根據(jù)題意，數(shù)列{an}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且S20＝800.由S20=20a1+20×(20-1)2因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位。解得a1＝21.因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位.1．本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．2．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：(1)抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類(lèi)型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.跟蹤訓(xùn)練1.某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來(lái)之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車(chē)，平均每輛車(chē)工作24小時(shí)．從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車(chē)目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車(chē)到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？分析：因?yàn)槊扛?0分鐘到達(dá)一輛車(chē)，所以每輛車(chē)的工作量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說(shuō)明24小時(shí)內(nèi)可完成第二道防線工程．解:從第一輛車(chē)投入工作算起，各車(chē)工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝24，公差d＝－eq\f(1,3).25輛翻斗車(chē)完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝500，而需要完成的工作量為24×20＝480.∵500>480，∴在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線．例9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：由a另一方面，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫(xiě)成

，所以當(dāng)d≠0時(shí)，Sn，當(dāng)x=n時(shí)函數(shù)值。如圖，當(dāng)d<0時(shí)，Sn關(guān)于n的圖像是一條開(kāi)口向下的拋物線上的一些點(diǎn)，因此，可以利用二次函數(shù)求相應(yīng)的n,解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是遞減數(shù)列.由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，當(dāng)n＜6時(shí)，an＞0；當(dāng)n＝6時(shí)，an＝0；當(dāng)n＞6時(shí)，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是說(shuō)，當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大.因?yàn)镾5所以Sn的最大值為30.解法2：因?yàn)橛蒩1＝10，d＝－2，因?yàn)?/p>

所以，當(dāng)n取與112即5或6時(shí)，Sn最大，最大值為30.1.在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法：(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)來(lái)尋找．(2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)問(wèn){an}的前多少項(xiàng)和最大；(3)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′