2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第6章立體幾何思維深化微課堂尋找球心解決與球有關(guān)的問題 學(xué)案

思維深化微課堂尋找球心解決與球有關(guān)的問題球與其他幾何體的切、接問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，這種題目幾乎在各省高考試題中都有涉及，主要考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：類型一球與多面體的切、接問題已知正三棱錐的高為1，底面邊長為23，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．[思維架橋]如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)O作OF⊥PE于點(diǎn)F.由條件可求DE，PE，EF，DE，設(shè)OD＝OF＝r，由OP2＝OF2＋PF2，可求得棱錐的內(nèi)切球的半徑．2－1解析：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)O作OF⊥PE于點(diǎn)F.由條件可求DE＝1，PE＝2.易知EF＝DE＝1，設(shè)OD＝OF＝r.由OP2＝OF2＋PF2，求r＝2－1.所以棱錐的內(nèi)切球的半徑為2－1.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A．4π B．9C．6π D．32[思維架橋]利用勾股定理先求AC，若V最大，則球一定與直三棱柱的若干面相切．分別討論球與直三棱柱側(cè)面相切或與上下底面相切兩種情況，可得球的最大體積V.B解析：因?yàn)锳B⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10.故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑滿足8r+6r+10r2＝6可得r＝2，故直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切球半徑為32此時(shí)V的最大值為43π×323處理球的外接問題的策略(1)“接”的處理：抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑，求半徑常用等體積法．(2)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球：①如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，那么可以補(bǔ)成為一個(gè)正方體．正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．②如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，那么可以將其補(bǔ)成為一個(gè)長方體．長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．[應(yīng)用體驗(yàn)]在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球的表面積為________．83π2解析：由題可知，△ABC中AC邊上的高為15-32＝6，球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D，設(shè)DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(6－x)2，解得x＝564，所以R2＝x2＋PC22＝758＋1＝83類型二球與旋轉(zhuǎn)體的切、接問題如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V[思維架橋]內(nèi)切球的半徑與圓柱的底面圓半徑相等，圓柱的高是內(nèi)切球的直徑，利用體積公式即可得到V132解析：設(shè)球O的半徑為r，則V1V2＝“切”的處理方法：首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，截面過球心．[應(yīng)用體驗(yàn)]如圖，半徑為R的球的兩個(gè)內(nèi)接圓錐有公共的底面．若兩個(gè)圓錐的體積之和為球的體積的38A．R2 B．C．4R3 D．D解析：設(shè)球的球心為O，半徑為R，體積為V，上面圓錐的高為h(h<R)，體積為V1，下面圓錐的高為H(H>R)，體積為V2，兩個(gè)圓錐共用的底面的圓心為O1，半徑為r.由球和圓錐的對稱性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R.因?yàn)閂1＋V2＝38V，所以13πr2h＋13πr2H＝38×43πR3，所以r2(h＋H)＝32R3.因?yàn)閔＋H＝2