天中學(xué)李維維老師教案

天一中學(xué)李維維老師在“聚焦講堂”的教學(xué)設(shè)計(jì)李維維，江蘇省天一中學(xué)青年骨干教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練員，擔(dān)當(dāng)所在年級數(shù)學(xué)比賽主教練一職.以下是他在本次活動(dòng)中的教學(xué)設(shè)計(jì).“曲線上一點(diǎn)處的切線”詳案（江蘇省天一中學(xué)李維維）【目標(biāo)要求】1.經(jīng)過割線迫近切線的過程，理解割線的斜率迫近切線的斜率2.會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率（方程）【要點(diǎn)難點(diǎn)】要點(diǎn)：切線斜率（方程）的探究難點(diǎn)：感悟割線迫近切線的“迫近”思想，割線斜率迫近切線斜率是“以直代曲”的一種數(shù)目化一、開場白T：我們知道直線的傾斜程度用斜率來刻畫，而曲線的峻峭程度由均勻變化率來刻畫（PPT打出來）下邊我們來復(fù)習(xí)一下均勻變化率S：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的均勻變化率為T：很好，特別地，一次函數(shù)在區(qū)間上的均勻變化率為（讓學(xué)生答）：實(shí)質(zhì)上，均勻變化率是兩頭點(diǎn)連線的斜率（依舊用直線的斜率來刻畫），而意義在于近似地刻畫了曲線在某區(qū)間上的變化趨向.昨天上完課，有同學(xué)識(shí)我這樣一個(gè)問題，（PPT演示，同均勻變化率的兩個(gè)函數(shù)）.兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均勻變化率同樣，那么如何的平均變化率更湊近實(shí)質(zhì)變化呢？資料S：減小區(qū)間T：多??？1/5S：越小越好：我們知道，減小區(qū)間將會(huì)使區(qū)間退化成一個(gè)點(diǎn)，那么如何精準(zhǔn)地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的“變化趨向”呢？我們來看這樣一個(gè)演示（軟件CorelDraw）資料T：若將點(diǎn)P鄰近的曲線放大（即區(qū)間變小，兩頭點(diǎn)迫近），則會(huì)發(fā)現(xiàn)曲線在點(diǎn)P鄰近看上去像是直線.若再放大，則曲線在點(diǎn)P鄰近看上去幾乎成了直線（試試讓學(xué)生講出來？？）資料T：事實(shí)上，若持續(xù)放大，則曲線在點(diǎn)P鄰近將迫近一條確立的直線，該直線是經(jīng)過點(diǎn)P的全部直線中最迫近曲線的一條直線.所以，在點(diǎn)P鄰近我們能夠用這條直線來取代曲線，也就是說，在點(diǎn)P鄰近，曲線能夠當(dāng)作直線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途T：既然這樣，我們也能夠用直線的斜率來刻畫曲線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)上漲或降落的“變化趨向”于是如何找到這條經(jīng)過曲線上一點(diǎn)P處最迫近曲線的直線就成為要點(diǎn)來看這張圖，（只有PQ這條直線）.PQ是最迫近曲線的直線嗎？資料S：不是：有更迫近的嗎？S：有：可否作一條？S：（口述作圖方法）T：還有嗎？如何找到經(jīng)過曲線上一點(diǎn)P處最迫近曲線的直線呢？我們下邊分組來議論這個(gè)問題，每個(gè)小組取出自己的方案（分組議論）資料2/5S：我們小組的方案是：P不動(dòng)，跟著點(diǎn)Q沿著曲線向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，于是PQ愈來愈迫近曲線，當(dāng)點(diǎn)Q無窮迫近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最后就成為在點(diǎn)P處最迫近曲線的直線資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途T：很好，這條最迫近曲線的直線，事實(shí)上就是曲線在點(diǎn)P處的切線.這就是本堂課的主題（板書課題）.這類思想方法就是利用割線來迫近切線.這里說明一下（PPT里打出割線，切線的定義）.資料T：來看一下例1，我們親身著手用割線迫近切線的方法來畫切線（實(shí)物投影儀演示一下學(xué)生的成就，賜予一定）利用這類方法，我們找到了曲線上在P處最迫近曲線的直線，即曲線在點(diǎn)P處的切線.依據(jù)上節(jié)課的知識(shí)，我們知道能夠用直線的斜率來刻畫均勻變化率，所以我們能夠用這條切線的斜率來刻畫曲線在P點(diǎn)處的變化趨向，那么如何求這條切線的斜率呢？問題：如何求曲線上一點(diǎn)處的切線的斜率？（PPT打出來）（讓學(xué)生講）資料個(gè)人采集整理，勿做商業(yè)用途S：T：方才從圖形上我們看到Q點(diǎn)無窮迫近P點(diǎn)，那么這個(gè)過程反應(yīng)在數(shù)目上就是Q點(diǎn)橫坐標(biāo)與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的差無窮小，當(dāng)時(shí)，割線變?yōu)榱饲芯€.利用這類方法，我們能夠計(jì)算曲線上一點(diǎn)處的切線斜率.資料例2解說（親身板書）例3讓學(xué)生上黑板板書小結(jié)：求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率（方程）的步驟：①...②...最后我們來概括一下：（讓學(xué)生說感覺）1.割線、切線的觀點(diǎn)，切線斜率（方程）的求法2.近似到精準(zhǔn)（宏觀到微觀）3/5【目標(biāo)要求】3.經(jīng)過割線迫近切線的過程，理解割線的斜率迫近切線的斜率4.會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率（方程）【要點(diǎn)難點(diǎn)】要點(diǎn)：切線斜率（方程）的探究難點(diǎn)：感悟割線迫近切線的“迫近”思想，割線斜率迫近切線斜率是“以直代曲”的一種數(shù)目化【典例解析】例1.利用直尺，用割線迫近切線的方法作出以下曲線在點(diǎn)P處的切線例2.已知，求曲線在x=2處的切線斜率.例3.設(shè)曲線在點(diǎn)（1，a）處的切線與直線平行，求a的值．【學(xué)后反省】1.求曲線y=f(x)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線的過程：①設(shè)曲線上的另一點(diǎn)②求得割線PQ的斜率＝_________③當(dāng)時(shí)，（常數(shù)），k即為所求【作業(yè)反應(yīng)】1.若函數(shù)在x=1處有增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的有增量＝___________．2.拋物線在點(diǎn)P(1,-1)處的切線的斜率是_________．3.曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處切線平行于直線，則點(diǎn)P坐標(biāo)為__________．4/54.曲線在處切線的傾斜角是_________．5.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是．6.在高校數(shù)學(xué)教材中有結(jié)論“當(dāng)時(shí)，”，利用這一結(jié)論，可得：當(dāng)時(shí)，無窮趨近