第五章頻率分析法教材課件

第五章

頻率分析法頻率分析法的特點1、有明確的物理意義：頻率特性可以用實驗方法測定；2、可以方便有效地分析噪聲的控制問題?！?.1頻率特性(FrequencyCharacteristic)1頻率特性的基本概念

(1)頻率特性的定義:系統(tǒng)在正弦函數(shù)的輸入時,穩(wěn)態(tài)輸出信號的向量表達式與輸入信號的向量表達式之比對頻率ω的關系特性。

例如：設有下列RC網(wǎng)絡，在輸入端加入信號：r（t）=UrSinωt時，

有：c（t）=UcSin（ωt+φ）,c（t）為一個與r（t）同頻率的正弦輸出響應，只是幅值和相角發(fā)生了變化。

c（t）r（t）CR自動控制原理Chapter5FrequencyAnalyticalMethod第五章

頻率分析1由于該網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為：

C（S）1G（S）==其中T=RCR（S）TS+1如果c（t）與r（t）用復向量表示，則有：

C（jω）Zc1/jωC11====R（jω）Zr+ZcR+1/jωC1+jωRC1+jωT

ejφ（ω）==A（ω）ejφ（ω）=G（jω）√1+ω2T2

其中φ（ω）=-arctgωT-----c（t）與r（t）之間的相位差，A（ω）=1/√1+ω2T2-----c（t）與r（t）的幅值之比，定義:φ（ω）為系統(tǒng)的相頻特性(phase-frequencycharacteristic)；A（ω）為系統(tǒng)的幅頻特性(amplitude-frequencycharacteristic)；

而：A（ω）ejφ（ω）則完整地描述了系統(tǒng)在正弦輸入下系統(tǒng)輸出之間隨頻率ω的變化規(guī)律------定義G（jω）為系統(tǒng)的頻率特性。自動控制原理由于該網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為：2

比較網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)和復向量表達式，可見它們之間可以通過下式進行轉(zhuǎn)換：（證明見教材P198-199）

G（S）︱S=jω=G（jω）

即：對于一個線性定常系統(tǒng)，若已知其傳遞函數(shù)G（S），只要將G（S）中的S以jω來代替，便可以得到系統(tǒng)的頻率特性表達式。

2

頻率特性的幾何表示法常用的幾何表示法有：

極坐標圖：即系統(tǒng)幅相頻率特性曲線（幅相曲線）。用以在復平面上描述系統(tǒng)頻率特性Bode圖（對數(shù)坐標圖）：即系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線。用以在對數(shù)坐標系中描述系統(tǒng)頻率特性；尼柯爾斯圖（對數(shù)幅相圖）：用以描述閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。（1）幅相曲線

繪制幅相曲線時，以ω為參變量（ω：0→+∞），將幅頻特性和相頻特性同時表示在復平面上。自動控制原理比較網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)和復向量表達式，可見它們之間可以通過3例如：RC網(wǎng)絡的頻率特性，根據(jù)其A（ω）和φ（ω）的表達式，在參變量ω∈[0→∞）時，可繪制RC網(wǎng)絡的幅相曲線如右圖所示。1（ω=0，φ=0）0φ∣G（jω）∣jω=∞，φ=90°（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)

對數(shù)頻率特性的定義：

L（ω）=20lg∣G（jω）∣--------對數(shù)幅頻特性

φ（ω）=∠G（jω）-----------------對數(shù)相頻特性對數(shù)頻率特性曲線：由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。橫坐標：表示頻率ω（rad/s），對數(shù)分度lgω（對ω不均勻）；

縱坐標：表示對數(shù)幅頻特性時，為對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值（dB）；表示對數(shù)相頻特性時，為對數(shù)相頻特性的函數(shù)值（弧度或度）；縱坐標為均勻分度。自動控制原理2003.9.(5-4)例如：RC網(wǎng)絡的頻率特性，1（ω=0，φ=0）0φ∣4對數(shù)分度方法：由于

ω110100100010000…lgω

0

1

2

3

4

…ω12345678910lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1十倍頻程十倍頻程12345678910203040506080100ω一倍頻程一倍頻程二倍頻程結(jié)論:(1)一個十倍頻程=3.32×一倍頻程(lg10÷lg2=3.32)；(2)頻率每變化一倍(一倍頻程),其間隔距離為0.301個單位長度。自動控制原理2003.9.(5-5)對數(shù)分度方法：由于ω110100100010000…lgω53幾種確定頻率特性的方法（1）實驗法：改變ω→頻率特性曲線→頻率特性→G（S）；（2）解析法：G（S）→G（jω）→頻率特性；（3）零極點圖法： §5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性(FrequencyCharacteristicofTypicalLink)1比例環(huán)節(jié):傳遞函數(shù)G(S)=K頻率特性G（jω）=K(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=K(與ω大小無關)相頻特性φ（ω）=0°∴比例環(huán)節(jié)的幅相曲線為復平面實軸上的一個點(K,0)；見圖(a)所示。jK0(a)比例環(huán)節(jié)的幅相曲線自動控制原理2003.9.(5-6)3幾種確定頻率特性的方法（1）實驗法：改變ω→頻6（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):

對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgK(與ω大小無關)

對數(shù)相頻特性φ（ω）=0°故：

比例環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖(b)所示。

20lgK0φ（ω）ωωL（ω）0(b)比例環(huán)節(jié)的Bode圖2積分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)G(S)=1/S頻率特性G（jω）=1/jω=A（ω）ejφ（ω）=1/ω·e－j90°

(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=1/ω

相頻特性φ（ω）=-90°自動控制原理2003.9.(5-7)（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):對數(shù)幅頻特性L7積分環(huán)節(jié)的幅相曲線為復平面負虛軸部分；見下圖(a)所示。（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):(a)積分環(huán)節(jié)的幅相曲線ω→0ω→∞j0φ（ω）－20dB/decL（ω）1010-90°200ωω(b)積分環(huán)節(jié)的Bode圖對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=－20lgω

對數(shù)相頻特性φ（ω）=－90°

積分環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖(b)所示。

3微分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)G(S)=S頻率特性G（jω）=jω=ω·ej90°

自動控制原理2003.9.(5-8)積分環(huán)節(jié)的幅相曲線為復平面負虛軸部分；見下圖(a)所示。（28(1)幅相曲線:∵幅頻特性A（ω）=ω

相頻特性φ（ω）=90°∴微分環(huán)節(jié)的幅相曲線為復平面正虛軸部分；見下圖(a)所示。（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):∵對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgω

對數(shù)相頻特性φ（ω）=90°∴微分環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖(b)所示。

ω→0(a)微分環(huán)節(jié)的幅相曲線ω→∞j020dB/decL（ω）101090°200φ（ω）ωω(b)微分環(huán)節(jié)的Bode圖自動控制原理2003.9.(5-9)(1)幅相曲線:（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode94慣性環(huán)節(jié):傳遞函數(shù)G(S)=1/(1+TS)頻率特性G（jω）=1/(1+jωT)=A（ω）ejφ（ω）(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=1/√1+ω2T2

相頻特性φ（ω）=-arctgωT

慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線見下圖(a)所示。(RC網(wǎng)絡的相頻特性)

（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):1）對數(shù)幅頻特性：L(ω)=20lgA（ω）=－20lg√1+ω2T2

當ωT<<1即ω<<1/T時,L(ω)≈0當ωT>>1即ω>>1/T時,L(ω)≈－20lgωT此時,斜率為–20Db/dec,與零分貝線的交點為ω=1/T,

該頻率稱為交接頻率。即慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為ω=1/T。故:慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可以用兩條直線來近似地描繪。如要精確繪制時需要對其進行修正(見教材P204)。

自動控制原理2003.9.(5-10)4慣性環(huán)節(jié):(1)幅相曲線:幅頻特性A（ω102）對數(shù)相頻特性：φ（ω）=-arctgωT

ω=0時，φ（0）=0°…ω=1/T時，φ（1/T）=-45°…ω=∞時，φ（∞）=-90°所以，慣性環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖(b)所示。

－20dB/decL（ω）1/T0-90°200φ（ω）ωω(b)0(ω=∞，φ=90°)1（ω=0，φ=0）0φA（ω）j(a)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖

自動控制原理2003.9.(5-11)2）對數(shù)相頻特性：φ（ω）=-arctgωTω=0時115一階微分環(huán)節(jié):傳遞函數(shù)G(S)=1+TS頻率特性G（jω）=1+jωT=A（ω）ejφ（ω）(1)幅相曲線:相頻特性φ（ω）=arctgωT

∴慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線見下圖(a)所示。

（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):1）對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lgA（ω）=20lg√1+ω2T2

∵幅頻特性A（ω）=√1+ω2T2

當ωT<<1即ω<<1/T時,L(ω)≈0當ωT>>1即ω>>1/T時,L(ω)≈20lgωT

此時,斜率為20dB/dec,與零分貝線的交點為ω=1/T,

即一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率為ω=1/T。

故:一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖可以用兩條直線來近似地描繪。如要精確繪制時，需要對其進行修正(參見教材P204方法)。自動控制原理2003.9.(5-12)5一階微分環(huán)節(jié):(1)幅相曲線:相頻特性φ（122）對數(shù)相頻特性φ（ω）=arctgωT

ω=0時，φ（0）=0°…ω=1/T時，φ（1/T）=45°…ω=∞時，φ（∞）=90°

一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖(b)所示。

j(a)1ω=00ω=∞90°φ（ω）20dB/decL（ω）1/T0200ωω(b)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖

6振蕩環(huán)節(jié):傳遞函數(shù)G(S)=ωn2/（S2+2ξωnS+ωn2）

頻率特性G（jω）=ωn2/[（jω）2+2ξωn（jω）+ωn2]自動控制原理2003.9.(5-13)2）對數(shù)相頻特性φ（ω）=arctgωTω=0時13(1)幅相曲線:

相頻特性φ（ω）=-arctg[（2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]

在0<ξ<1上取定兩個ξ值(大小各一)，然后將ω/ωn在0→∞上取值，分別計算出A（ω）和φ（ω）。其中，幾個特征點為：

ω=0時，A（0）=1，φ（0）=0°

ω=ωn時，A（ωn）=1/2ξ，φ（ωn）=-90°

ω=∞時，A（∞）=0，φ（∞）=-180°

∴振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線見下圖(a)所示。

∵幅頻特性A（ω）=1/√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

注：關于振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值Mr，諧振頻率ωr，見P206

Mr=A（ωr）=1/2ξ√1-ξ2

ωr=ωn√1-2ξ2（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):

自動控制原理2003.9.(5-14)1）對數(shù)幅頻特性L(ω)=－20lg√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

(1)幅相曲線:相頻特性φ（ω）=-arct14當ω/ωn<<1即ω<<ωn時,L(ω)≈0；

當ω/ωn>>1即ω>>ωn時,

L(ω)≈－20lg√（ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

≈－40lg（ω/ωn）

由此可見，ω<<ωn時,對數(shù)幅頻特性為零分貝線

ω>>ωn時,對數(shù)幅頻特性為斜率-40dB/dec的直線

故：振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)的Bode圖也可以用兩條直線來近似地描繪，如要精確繪制時，亦需要對其進行修正(參見教材P207方法)。振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為ω=ωn。

2）對數(shù)相頻特性：

φ（ω）=-arctg[（2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]（可參見前面“幅相曲線”方法分析）幾個特征點為：

ω=0時，A（0）=1，φ（0）=0°ω=ωn時，A（ωn）=1/2ξ，φ（ωn）=-90°ω=∞時，A（∞）=0，φ（∞）=-180°≈－20lg√（ω2/ωn2）2

2003.9.(5-15)自動控制原理當ω/ωn<<1即ω<<ωn時,L(ω)≈0；當ω15振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖(b)所示。

－40dB/decL（ω）ωn0-180°200φ（ω）ωω(b)-12ξω=∞ω=0ξ大ξ小10j(a)振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖

7.二階微分環(huán)節(jié):傳遞函數(shù):G(S)=（S/ωn）2+(2ξ/ωn)S+1頻率特性:G（jω）=[（jω）2+2ξωn（jω）+ωn2]/ωn2

幅頻特性A（ω）=√（1-ω2/ωn2）2+4ξ2ω2/ωn2

相頻特性φ（ω）=arctg[2ξω/ωn）/（1-ω2/ωn2）]仿照“振蕩環(huán)節(jié)”頻率特性的分析方法，可分別得到其幅相曲線及Bode圖如下圖(a)、(b)所示：

自動控制原理2003.9.(5-16)振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖如下圖(b)所示。－40dB/decL16ωωnω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)[40]L（ω）20二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖

8延遲環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)G(S)=e-τS

頻率特性G（jω）=1·e-jωτ

=A*ejφ(1)幅相曲線:

幅頻特性A（ω）=1相頻特性φ（ω）=-ωτ（rad）=－57.3ωτ(°)

（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):

1）對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lgA（ω）=0

2）對數(shù)相頻特性：φ（ω）=-ωτ（rad）=－57.3ωτ(°)

2003.9.(5-17)自動控制原理ωω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)17可得延遲環(huán)節(jié)的頻率特性曲線如下所示:

00τ小τ大ωω(ω=0)0j1延遲環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖

§5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性(FrequencyCharacteristicinOpen-loopSystem)1開環(huán)幅相特性

例題1：設某0型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G（S）=K/（T1S+1）（T2S+1）（T1＞T2），試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。

解：

G（S）可以認為是由K、1/（T1S+1）、1/（T2S+1）三個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。

即G（S）=G1（S）·G2（S）·G3（S）

由于環(huán)節(jié)K、1/（T1S+1）、1/（T2S+1）的頻率特性分別為:2003.9.(5-18)自動控制原理可得延遲環(huán)節(jié)的頻率特性曲線如下所示:00τ小τ大ωω(ω=18自動控制原理G1（jω）=K=A1（ω）ejφ1（ω）G2（jω）=1/（jωT1+1）=A2（ω）ejφ2（ω）G3（jω）=1/（jωT2+1）=A3（ω）ejφ3（ω）

所以，開環(huán)頻率特性為：

G（jω）=G1（jω）·G2（jω）·G3（jω）=A1（ω）A2（ω）A3（ω）ej[φ1（ω）+φ2（ω）+φ3（ω）]

故開環(huán)幅頻特性：A（ω）=A1（ω）A2（ω）A3（ω）=K/√ω2T12+1√ω2T22+1開環(huán)相頻特性：φ（ω）=∠G（jω）=φ1（ω）+φ2（ω）+φ3（ω）=0+（－arctgωT1）+（－arctgωT2）當K、T1、T2確定時，計算出ω：0→∞所對應的A（ω）和φ（ω）的值，并繪制于S平面上即得到系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。

曲線的起點：limG（jω）=K∠0°

ω→0曲線的終點：limG（jω）=0∠－180°ω→∞2003.9.(5-19)自動控制原理G1（jω）=K=A1（ω）ejφ19曲線與坐標軸的交點：

可由G（jω）=0分別求得曲線與實軸和虛軸的交點:（也可能不存在交點，而有漸近線的情形，如P212例5-4）

G（jω）=K/[（jωT1+1）（jωT2+1）]=K/[(1－T1T2ω2)＋（T1+T2）ωj]=K[(1－T1T2ω2)－（T1+T2）ωj]/[(1－T1T2ω2)2＋（T1+T2）2ω2]

再令Im[G（jω）]=0，即（T1+T2）ω=0有ω=0

則Re[G（jω）]=K………………與實軸的交點

令Re[G（jω）]=0，即1－T1T2ω2=0或ω=1/√T1T2則Im[G（jω）]=－K√T1T2/（T1+T2）……與虛軸的交點

故0型系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線為：

ω=∞K（ω=0）0j2003.9.(5-20)自動控制原理曲線與坐標軸的交點：可由G（jω）=0分別求得曲線20結(jié)論：

1）對0型系統(tǒng)，當ω=0時，有︱G（j0）︱=K（開環(huán)增益）且總有l(wèi)imG（jω）=K∠0°

ω→0即:0型系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的起點在實軸正向的K處

2）若開環(huán)傳遞函數(shù)中除有比例環(huán)節(jié)K以外，還有n個慣性環(huán)節(jié)，則有：limG（jω）=0∠（－90°）×n

ω→∞

3）若還有m個微分環(huán)節(jié)，則有：limG（jω）=0∠（－90°）×（n－m）

ω→∞

但此時的幅相曲線有凹凸情形發(fā)生。

2開環(huán)幅相特性曲線的繪制方法

1）直接利用開環(huán)幅相特性

計算出ω：0→∞所對應的A（ω）和φ（ω）的值，并繪制于S平面上即得到系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。（如上例）

2003.9.(5-21)自動控制原理結(jié)論：1）對0型系統(tǒng)，當ω=0時，有︱G（j0）︱=K（212）復數(shù)法

計算出ω：0→∞所對應的Re[G（jω）]和Im[G（jω）]的值，并繪制于S平面上即得到系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。

3）零極點圖法

4）計算機方法

3其它各類型系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線

根據(jù)零型系統(tǒng)的分析方法，可以得到其它類型系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線大致如下圖所示：3型2型1型0型0j各類型系統(tǒng)的幅相曲線

2003.9.(5-22)自動控制原理2）復數(shù)法計算出ω：0→∞所對應的Re[G（jω）224系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性

例題2：設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G（S）=K/S（T1S+1）（T2S+1）（T1＞T2），試繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）

解：

因為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：

G（jω）=K/jω（jωT1+1）（jωT2+1），故有：

1）對數(shù)幅頻特性

L（ω）=20lg︱G（jω）︱=20lgK－20lgω－20lg√ω2T12+1－20lg√ω2T22+1=L1（ω）＋L2（ω）＋L3（ω）＋L4（ω）

即L1（ω）=20lgK；L2（ω）=－20lgωL3（ω）=－20lg√ω2T12+1L4（ω）=－20lg√ω2T22+12）對數(shù)相頻特性

φ（ω）=∠G（jω）=φ1（ω）＋φ2（ω）＋φ3（ω）＋φ3（ω）=0°－90°－arctgωT1－arctgωT2

2003.9.(5-23)自動控制原理4系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性例題2：設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G（23即φ1（ω）=0°φ2（ω）=－90°φ3（ω）=－arctgωT1φ4（ω）=－arctgωT2

根據(jù)上述分析，可以分別繪制L1（ω）、L2（ω）、L3（ω）、L4（ω）及φ1（ω）、φ2（ω）、φ3（ω）、φ4（ω），然后對其進行疊加，即可得到系統(tǒng)的Bode圖如下：

0.111/T1101/T1100L(ω)40200-20-40L2(ω)L3(ω)L4(ω)L1(ω)L

(ω)ωφ（ω）ω-90900-180-270結(jié)論:

上述方法可以推廣應用至n個典型環(huán)節(jié)的情形.即n個典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性都可以采用疊加法或解析法直接計算繪制。

2003.9.(5-24)自動控制原理即φ1（ω）=0°根據(jù)上述分析，可以分別繪制L245Bode圖的繪制步驟（G（S）→曲線）

?。┐_定各環(huán)節(jié)的交接頻率：ω1、ω2、…、ωn，并表示在ω軸上；

其中

（TS+1）及1/（TS+1）的交接頻率為1/T；振蕩環(huán)節(jié)及二階微分環(huán)節(jié)的交接頻率為ωn

ⅱ）在ω=1處量出幅值為20lgK（A點）。其中K為開環(huán)放大系數(shù)。

ⅲ）繪制低頻段對數(shù)漸近線。

過A點，作一條斜率為－20·ν（dB/dec）的直線，直到第一個交接頻率ω1處（B點）。

其中ν為G（S）中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。

若ω＜1，則低頻段對數(shù)漸近線止于ω1處（B點），但其延長線經(jīng)過A點。

ⅳ）從低頻段漸近線開始，沿ω軸的正方向，每遇到一個交接頻率時，漸近線的斜率就要改變一次。并依次由低頻段→高頻段畫出各個頻段的漸近線，即得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）。斜率的改變規(guī)律：

a．遇到慣性環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加-20dB/dec；b．遇到一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加＋20dB/dec；c．遇到振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加-40dB/dec；d．遇到二階微分環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加＋40dB/dec；

2003.9.(5-25)自動控制原理5Bode圖的繪制步驟（G（S）→曲線）?。┐_定各環(huán)節(jié)25例題1：教材P213例題5-6

例題2：教材P214例題5-7

6.最小相角系統(tǒng)與非最小相角系統(tǒng)特點

ⅰ）定義：開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱之為“最小相角系統(tǒng)”；否則為“非最小相角系統(tǒng)”。（P215）

ⅱ）特點：

1）P216（1）～（4）四點2）只包含七個典型環(huán)節(jié)的系統(tǒng)一定是最小相角系統(tǒng)；含有不穩(wěn)定環(huán)節(jié)或延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，則屬非最小相角系統(tǒng)。

§5.4頻率穩(wěn)定判據(jù)

(FrequencyStabilityCriteria)

1頻率穩(wěn)定判據(jù)包括奈奎斯特（奈氏）判據(jù)：用于幅相曲線；對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：用于Bode圖。

2頻率穩(wěn)定判據(jù)的特點：（P217四點）

3輔助函數(shù)F（S）的引入（證明略）

根據(jù)奈氏判據(jù)的前提，特引入輔助函數(shù)F（S）=1＋G（S）H（S），

該輔助函數(shù)F（S）的特點：

2003.9.(5-26)自動控制原理例題1：教材P213例題5-6例題2：教材P214例題5-261）

F（S）的極點是G（S）H（S）的開環(huán)極點；F（S）的零點是1＋G（S）H（S）=0的特征根。

2）

F（S）的零點與極點個數(shù)相同；（分子分母同階）3）F（S）與G（S）H（S）之間相差一個常數(shù)1。即F（S）曲線可由G（S）H（S）曲線右移一個單位得到。4引出奈氏判據(jù)的兩種方法

1）教材P218—221（自學）

2）幅角定理（映射定理）：如果[S]上封閉曲線Гs內(nèi)有Z個

F（S）的零點P個F（S）的極點，那么，復變量S沿著Гs順時針旋轉(zhuǎn)一圈時，在[F（S）]上的ГF曲線則繞其原點逆時針轉(zhuǎn)過P-Z=R圈。

其中：

P-----F（S）在Гs內(nèi)的極點數(shù)；Z-----F（S）在Гs內(nèi)的零點數(shù)；R-----ГF曲線繞其原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；

R=0時，說明ГF不包含[F（S）]原點；R＜0時，表示ГF曲線繞其原點轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為順時針方向；

2003.9.(5-27)自動控制原理1）

F（S）的極點是G（S）H（S）的開環(huán)極點；2）

F（27[證明如下]：

設F（S）的零點、極點在[S]上的分布如圖示，并有一條封閉曲線Гs包含F(xiàn)（S）的第i個零點Zi，在曲線Гs上選取一點S，當S沿著Гs順時針旋轉(zhuǎn)一圈時，總有:△∠（S-Pj）=0（j=1，2，…，n）

△∠（S-Zj）=0（j=1，2，…，m，j≠i）

而△∠（S-Zi）=-2π

同理△∠（S-Pi）=2π

其中Zi、Pi------為曲線Гs之內(nèi)的零、極點；Zj、Pj------為曲線Гs之外的零、極點；

ГF∠F（S）[F（S）]OГsSs-p1s-p3s-z1s-zis-p2×OO××[S]s-ziO2003.9.(5-28)自動控制原理[證明如下]：設F（S）的零點、極點在[S]上的分布如圖示28若有Z個零點被曲線Гs包圍，則有∑△∠（S-Zi）=Z·（-2π）;

同理：若有P個極點被曲線Гs包圍，則有∑△∠（S-Pi）=P·2π;又因為:∠F（S）=∑∠（S-Zj）+∑∠（S-Pj）故有:△∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+∑△∠（S-Pj）

所以，若有Z個零點、P個極點被曲線Гs包圍，則有：

△∠F（S）=∑△∠（S-Zj）+∑△∠（S-Pj）

=Z·（-2π）+P·2π=（P-Z）·2π=R·2π

即有:R=P-Z

5奈氏判據(jù)：反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線逆時針包圍臨界點（-1，j0）的圈數(shù)R等于G（S）H（S）在右半S平面上的開環(huán)極點數(shù)P，即：

Z=P–R若P≠R，則Z≠0，那么，系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且，此時閉環(huán)正實部特征根的個數(shù)為Z個。2003.9.(5-29)自動控制原理若有Z個零點被曲線Гs包圍，則有∑△∠（S-Zi）=29其中，R——奈氏曲線繞（-1，j0）逆時針（R＞0）轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；P——F（S）在右半S平面上的極點數(shù)；Z——F（S）在右半S平面上的零點數(shù)；奈氏曲線---指ω∈（-∞，+∞）時，G（jω）的整個幅相曲線。

例題1：已知下圖各系統(tǒng)中開環(huán)都是穩(wěn)定的（即P=0），試根據(jù)各圖奈氏曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0,根據(jù)奈氏判據(jù)：圖（a）之奈氏曲線不包圍（-1，j0）點，即R=0，故Z=P-R=0，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖（b）之奈氏曲線恰好穿過（-1，j0）點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。

圖（c）之奈氏曲線順時針包圍（-1，j0）點兩圈，即R=-2，故Z=P-R=2≠0，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2003.9.(5-30)自動控制原理其中，R——奈氏曲線繞（-1，j0）逆時針（R＞0）轉(zhuǎn)過的圈306根據(jù)幅相曲線判定系統(tǒng)穩(wěn)定性

若已知ω∈（0，+∞）時系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線和G（S）H（S）在右半S平面上的開環(huán)極點數(shù)P，根據(jù)該幅相曲線包圍臨界點（-1，j0）的圈數(shù)N（逆時針為正）是否滿足：

Z=P－2N來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

當Z=0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當Z≠0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且閉環(huán)特征方程有Z個正實部根；

例題2：教材P221例5-10，5-11

如果G（S）H（S）含有v個積分環(huán)節(jié)，則應在原有的開環(huán)幅相曲線基礎上從ω=0+開始，逆時針方向補足v/4個半圓，以形成封閉曲線，再進行分析。例題3：下述各圖所示系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，試根據(jù)其開環(huán)幅相曲線分析各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2003.9.(5-31)自動控制原理6根據(jù)幅相曲線判定系統(tǒng)穩(wěn)定性若已知ω∈（0，31av=1cv=2dv=3bv=1解：因為系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0

根據(jù)各系統(tǒng)的所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，故將其開環(huán)幅相曲線分別補足1/4，1/4，1/2，3/4個半圓，如圖所示。

a，c，d圖開環(huán)幅相曲線均不包圍（-1，0j），故N=0，所以，Z=P-2N=0即它們對應的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

b圖開環(huán)幅相曲線包圍（-1，0j）一圈，故N=-1，所以，Z=P-2N=2≠0即對應的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

例題4：教材P222例5-12，5-13

2003.9.(5-32)自動控制原理av=1cv=2dv=3bv=1解：因為系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，327對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

由于奈氏判據(jù)表明：若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定（P=0），則ω在（0，+∞）變化時，開環(huán)幅相曲線不包圍（-1，0j）點，即曲線繞（-1，0j）點的轉(zhuǎn)角為零時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

幅相曲線不包圍（-1，0j）點有兩種情況：

1）相曲線不穿越實軸上（-∞，-1）區(qū)間：2）幅相曲線穿越實軸上（-∞，-1）區(qū)間，但正穿越次數(shù)N+與負穿越N－次數(shù)相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內(nèi)∠G（jω）對－π線的正、負穿越次數(shù)相等。

正穿越：φ（ω）↑的方向，即（-∞，-1）區(qū)間由上向下方向；負穿越：φ（ω）↓的方向，即（-∞，-1）區(qū)間由下向上方向。

比如：

-1P=0第一種情況-1P=0正負第二種情況N+=N－=1

R=N+－N－=0即相當于沒有穿越2003.9.(5-33)自動控制原理7對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)由于奈氏判據(jù)表明：若系統(tǒng)開環(huán)33第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環(huán)穩(wěn)定

第二種情況：穿越（-∞，-1）兩次，但正、負各一次，故閉環(huán)穩(wěn)定

若開環(huán)不穩(wěn)定（P≠0），則ω在（0，+∞）變化時，要滿足：Z=P－2R=0系統(tǒng)才能穩(wěn)定；否則閉環(huán)不穩(wěn)定。注意：G（jω）曲線的起點或終點如果在實軸（-∞，-1）上的穿越則為半次穿越。

對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

P=0時：開環(huán)對數(shù)頻率特性中，在20lg∣G（jω）∣＞0的范圍內(nèi)，∠G（jω）對－π線的正穿越與負穿越次數(shù)相等，則系統(tǒng)穩(wěn)定；

P≠0時：在20lg∣G（jω）∣＞0的范圍內(nèi)，∠G（jω）對－π線的正、負穿越次數(shù)之差等于P/2，則系統(tǒng)穩(wěn)定；

對應于上述兩個幅相曲線的Bode圖如下：

-πφdB+—-πφdB2013.9.(5-34)自動控制原理第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環(huán)穩(wěn)定第二種情況：穿34P=0時：在20lg∣G（jω）∣＞0內(nèi)不穿越，系統(tǒng)穩(wěn)定

；P=0時：在20lg∣G（jω）∣＞0內(nèi)穿越（-∞，-1）兩次，但正、負各一次，故系統(tǒng)穩(wěn)定

注意：在20lg∣G（jω）∣＞0的范圍內(nèi)，G（jω）曲線的起點或終點在－π線上時的穿越為半次穿越。

例題1：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：G（S）H（S）=100/S（0.2S+1）（0.02S+1）,試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：1）繪制Bode圖（ω1=5、ω2=50）

ωω－π2005102050100

L（ωφ（ω）02013.9.(5-35)自動控制原理P=0時：在20lg∣G（jω）∣＞0內(nèi)不穿越，系統(tǒng)穩(wěn)352）穩(wěn)定性分析

因φ（ω）=-π/2–arctg5ω–arctg50ω且φˊ（ω）=-[1/（1+25ω2）+1/（1+2500ω2）]＜0故在ω∈（0，+∞）內(nèi)，φ（ω）是單調(diào)減少的又φ（10）≈-164.7°

φ（20）≈-187.8°

所以,φ（ω）應該是在10＜ω＜20內(nèi)某個值ω=ωg時穿越－π線一次,因此有N－=1由開環(huán)傳遞函數(shù)可知：P=0∴R=N+－N－=－1≠P/2故系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定

（同樣，可以用勞斯判據(jù)驗證之：系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定）

若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G（S）H（S）中含有兩個或兩個以上積分環(huán)節(jié)，在計算正、負穿越次數(shù)時，應該補畫一條從相角：∠G（j0+）H（j0+）＋90°×v到∠G（j0+）H（j0+）的虛線。

例題2：教材P224例5-14，5-15

2013.9.(5-36)自動控制原理2）穩(wěn)定性分析因φ（ω）=-π/2–arctg536注意：§5.5穩(wěn)定裕度(StabilityMargin)1）開環(huán)穩(wěn)定時，必有P=0；反之，若P=0，開環(huán)穩(wěn)定，但閉環(huán)不一定穩(wěn)定；2）P≠0時，開環(huán)不穩(wěn)定，而閉環(huán)并非就完全不穩(wěn)定，而是條件穩(wěn)定。頻率穩(wěn)定判據(jù)：用以定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；穩(wěn)定裕度：則用來定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。穩(wěn)定裕度包括幅值裕度h和相角裕度γ。

G（jω）離（-1，0j）點越遠，系統(tǒng)越穩(wěn)定，即穩(wěn)定程度越高；G（jω）離（-1，0j）點越近，系統(tǒng)越趨向不穩(wěn)定，即穩(wěn)定程度越低；

1、幅值裕度h的定義：幅相曲線上相角為-180°時所對應的幅值之倒數(shù)。即（-1，0j）點的幅值與ω=ωg的幅值之比。即：

1h=———————————∣G（jωg）H（jωg）∣ωcγφ（ωc）-1ωg∣G（jωg）H（jωg）∣ω=0ωg——相角交界頻率

2003.9.(5-37)自動控制原理注意：§5.5穩(wěn)定裕度(StabilityMarg37幅值裕度h的含義：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，φ（ωc）如果系統(tǒng)開環(huán)增益增大到原來的hωcγ倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

注意：即使h相同，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度也可以不同。2、相角裕度γ的定義：180°加上開環(huán)幅相曲線幅值等于1時的相角。即：

γ=180°＋∠G（jωc）H（jωc）=180°＋φ（ωc）ωc——系統(tǒng)截止頻率（零分貝頻率）

相角裕度γ的含義：當系統(tǒng)對頻率ωc信號的相角遲后再增大γ時，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

γ的理解：指幅相曲線上幅值等于1的復向量與負實軸的夾角。

3、在Bode圖中求取h和γ

ωcγh-180°L（ω）φ（ω）00ωω因：h（dB）=20lgh

=-20lg∣G（jωg）H（jωg）∣上式表明，從Bode圖中讀取

20lg∣G（jωg）H（jωg）∣后

并將其反號，即得到h的分貝值

20lgh。

2003.9.(5-38)自動控制原理幅值裕度h的含義：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，φ（ωc）如果系統(tǒng)開環(huán)增益增38而γ=180°＋φ（ωc）

=φ（ωc）－（-180°）即：

20lg∣G（jωc）H（jωc）∣=0處的相角φ（ωc）與-180°的相角差。

結(jié)論：對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件為：γ＞0，h＞1；且γ和h越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定否則，γ＜0，h＜1，系統(tǒng)不穩(wěn)定；工程設計中，一般取：1）γ=30°—70°（45°最佳）；2）h≥4—6dB以上；3）在ωc附近Bode圖的斜率控制在-20—-40dB/dec（以-20較理想）。例題1：教材P227例題5-16

例題2：某單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：G（S）=k/S（S+1）（S/5+1），試分別求K=2和K=20時，系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。

解法一：

根據(jù)G（jω）=k/jω（jω+1）（jω/5+1），在ω∈（0，+∞）內(nèi)求出相應的∣G（jω）∣和∠G（jω），并分別畫出當K=2和K=20時的兩條幅相曲線如下圖所示。

2003.9.(5-39)自動控制原理而γ=180°＋φ（ωc）=φ（ωc）－（-18039從圖中分別讀得：

當：K=2時，γ1≈24°＞0，

h1=1/∣-0.3∣≈3.33＞1,故此時系統(tǒng)穩(wěn)定;

K=20時,γ2

≈

－24°＜0，

h2=1/∣-3.2∣≈

0.313＜1,此時系統(tǒng)不穩(wěn)定;

γ2γ2K=20K=2-2j0解法二:由G(S)繪制系統(tǒng)的Bode圖如下:

2003.9.(5-40)自動控制原理從圖中分別讀得：當：K=2時，γ1≈24°＞040當K=2時,對應∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc）=-156°，故：γ1=180°+(-156°)=24°

對應∠G（jω）=-180°時,20lgh1=－20lg∣G（jωg）∣

=-(-10)=10故h1=3.161520-180°-270°同理,當K=20時,對應∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc）=-204°，故γ2=180°+(-204°)=－24°,

對應∠G（jω）=-180°時,20lgh2=－20lg∣G（jωg）∣=-(10)=-10故h2=0.316可見,當K=2時,系統(tǒng)穩(wěn)定；當K=20時,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例題3：某系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G（jω）H（jω）如下，且P=0。1)試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2)若再串入一個積分環(huán)節(jié)1/S，試重新斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2003.9.(5-41)自動控制原理當K=2時,對應∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc41解：（1）已知P=0，且從圖中可知

N=-1，故Z=P-2N=2所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

（2）串入一個1/S后，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性變?yōu)椋?/p>

0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1-1.3(ω=10)∣G2（jω）∣=∣G（jω）H（jω）∣/∣jω∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

其中∣G1（jω）∣和∠G1（jω）分別為原來的幅頻和相頻特性。

當ω=0時，∣G2（jω）∣=∞；∠G2（jω）=-90°

當ω=5時，∣G2（j5）∣=1.4/5=0.28；∠G2（j5）=-180°

當ω=10時，∣G2（j10）∣=1.3/10=0.13；∠G2（j10）=-270°

當ω=250時，∣G2（j250）∣=0.7/250=0.0028；∠G2（j250）=0°當ω=∞時，∣G2（j∞）∣=0；∠G2（j∞）=-90°

由此,可繪制G2（jω）幅相特性曲線如下:

2003.9.(5-42)自動控制原理解：（1）已知P=0，且從圖中可知N=-1，故Z=P420-1已知:P=0，且從圖中可知

N=0，故Z=P-2N=0所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

§5.6頻率特性分析(FrequencyCharacteristicAnalysis)

1誤差問題（P229）：

2系統(tǒng)時域性能指標與頻域指標的關系

系統(tǒng)時域性能指標：主要有Mp%及ts等；

頻域指標：主要有γ和ωc等；

（1）二階系統(tǒng)

①γ—Mp%之間的關系

γ=arctg[2ξ/√√1+4ξ4-2ξ2

]（一般°≤γ≤70°）

2003.9.(5-43)自動控制原理0-1已知:P=0，且從圖中可知N=0，§5.643－ξπ/(√1-ξ2)Mp=e×100%由此可見，ξ越小?γ越小?

Mp越大；

ξ越大?γ越大?

Mp越??；

γ—Mp%變化關系曲線見P231圖5-54②γ、ωc與ts之間的關系

因:ts=3/(ξωn)

則:ts=6/（ωc·tgγ）,其關系參見P231圖5-55。

§5.7傳遞函數(shù)的實驗確定方法(experimentaldeterminationmethod)1.最小相角系統(tǒng)(不含有延遲環(huán)節(jié))傳遞函數(shù)的確定

1)原理

正弦信號G(S)變換器變換器記錄儀圖1頻率特性實驗原理2003.9.(5-44)自動控制原理－ξπ/(√1-442)例題

例題1:設某最小相角系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如下圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

(dB)0．2220200ω40200-20解：1）低頻段斜率為-20dB/dec，應有環(huán)節(jié)1/S；

2）在ω1=2和ω2=20處，斜率分別由-20變?yōu)?，由0變?yōu)?20，

說明系統(tǒng)含有環(huán)節(jié)S+2，1/（S+20）

故系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)具有下如形式：K(S/2+1)G(S)=-----------------------

S（S/20+1）3）在ω=2處的分貝值為20dB，顯然：

此處的分貝值是由K與1/S共同決定的，即:20lg（K/ω）=20

2003.9.(5-45)自動控制原理2)例題例題1:設某最小相角系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如下45當ω=2時，有K=20

因此，有:20(S/2+1)G(S)=--------------------

S（S/20+1）例題2:設某最小相角系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如下圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。[-60][-40][-20](dB)40200-12-20

ω1ω2ω

解：1）低頻段斜率為-20dB/dec，應有環(huán)節(jié)1/S；2）

2)有兩個交接頻率：ω1，ω2，且經(jīng)過ω1，ω2處時斜率分別由-20變?yōu)?40，由-40變?yōu)?60，說明系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含有環(huán)節(jié):1/（S/ω1+1）和1/（S/ω2+1），3)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)形式為：

KG(S)=----------------------------------------

S（S/ω1+1）（S/ω2+1）2003.9.(5-46)自動控制原理5當ω=2時，有K=20因此，有:464）根據(jù)已知條件確定K，