2021年2022年各地高考數(shù)學(xué)真題匯編：概率與統(tǒng)計(jì)解答題

2021、2022年高考數(shù)學(xué)匯編：概率與統(tǒng)計(jì)解答題

解答題

1.（2022?全國(guó)甲（文）T）（2022?全國(guó)甲（文）T17）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和8兩家

公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次,

得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

n(ad-bc)'

(a+/7)(c+d)(a+c)(b+d)

pR.k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

2.（2022?全國(guó)甲（理）T19）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方

得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)

校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

3.（2022?全國(guó)乙（文T19）（理T19）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為

估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單

位：m2）和材積量（單位：n?），得到如下數(shù)據(jù):

總

樣本號(hào)i12345678910

和

根部橫截面積

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

玉

材積量口0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=°。38,2寸=L6158，E>*=02474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和

為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木

的總材積量的估計(jì)值.

附：相關(guān)系數(shù)r=?-，，麗”1.377.

Jfa-元）之（》一刃2

Vi=li=l

4.(2022?新高考I卷T20)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)

生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例

組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的

人患有該疾病”.然與然的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度

量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

P(AB)P(A|B)

(i)證明:

P(A\B)P(A\B)

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸(A|B),P(A舊)的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)

值.

附心——幽z至——，

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2022?新高考II卷T19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡,

得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)?/p>

口的16%,從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患該種疾病的概率.（樣

本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）

6.（2022?北京卷T18）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到950m

以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、

丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

7.（2021?全國(guó)）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有4,8兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在

兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確

則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的

每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得。分，

己知小明能正確回答4類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答8類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)

題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答4類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

8.（2021.全國(guó)（文））甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比

較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9.（2021?全國(guó)（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)

有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為［和7，樣本方差分別記為5：和.

⑴求x，y>5：,；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果歹一了之2，^^，

則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

答案及解析

127

1.【答案】（1）A,B兩家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為一，-

138

（2）有

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，

設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M,

240_12

則P(M)

260-13

8共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,

設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,

210_7

則P(N)

240-8

A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為一;

7

B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為了.

8

【小問(wèn)2詳解】

列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)

A24020260

B21030240

合計(jì)45050500

n(ad-bc)2

(?+b)(c+d)(a+c)(b+d)

500x(240x30-210x20)2

?3.205>2.706,

260x240x450x50

根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有

關(guān).

2.【答案】（1）0.6；

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=13.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+（）.24+0.04=0.6.

【小問(wèn)2詳解】

依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

p（x=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

p(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)-0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

3.【答案】(1)0.06m2；0.39m3

（2）0.97

（3）1209m3

小問(wèn)1詳解】

樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值x=—=0.06

10

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值歹=￥39=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39n?

小問(wèn)2詳解】

1010

_i=l_i=l

加-對(duì)面-方騰野-附（dT

0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)VO.OOO1896~0.01377

則”0.97

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為hn3，

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,

RGO.061865、Ra

可得6前=丁，解之得^二12()90?.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3

4.【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)R=6；

【小問(wèn)1詳解】

己k2=-2_200(40x90-60x10)2二24

“(a+/?)(c+d)(a+c)3+d)50x150x100x100一

又2(片26.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

【小問(wèn)2詳解】

八P(B|A)P(B\A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)

⑴因?yàn)镽=-=----------=-----------=-----=----=—,

P(B|A)P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

口尸(AB)P(B)P(AB)P(B)

)Gyr\vNXK-----------------=-------——--------=—

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以R=

P(A|8)P(A\B)

(ii)

由已知P(A|B)=9,P(A\B)^—

100100

-60--90

又P(A|B)=上匕，P(A|/?)=—,

100100

「(A|8)

所以火=——o

P(A|B)P(A\B)

5.【答案】(1)44.65歲;

(2)0.89；

(3)0.0014.

【小問(wèn)1詳解】

平均年齡彳二（5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002）x10=44.65（歲）.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70）｝,所以

P（A）=l-P（A）=l-（0.001+0.002+0.006+0.002）xlO=1-0.11=0.89.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50）｝,C=｛任選一人患這種疾?。?

則由條件概率公式可得

尸?B）=9=X°23=°Q0M375。0.0014

P（B）16%0.16

7

6.【答案】（1）0.4（2）-

（3）丙

【小問(wèn)1詳解】

由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件4,丙獲得優(yōu)秀為事件小

------3

P（X=0）=尸（4A2A3）=0.6x0.5X0.5=方，

P（X=1）=p（A氏％）+p（%）+P（A）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

p（X=2）=P（4A^）+P（4AA3）+P（4AA3）

7

=0.4X0.5X0.5+0.4X0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

尸(X=3)=尸(A44)=Q4XO.5XO.5=Z.

【小問(wèn)3詳解】

丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為,，甲獲得9.80的概

4

率為,，乙獲得9.78的概率為并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙

106

越有利.

7.(1)見(jiàn)解析；(2)B類.

【分析】

(1)通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.(2)與(1)

類似，找出先回答5類問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【解析】

(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20,100.

p(X=0)=l-0.8=0.2；

P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X02010()

p0.20.320.48

(2)由(1)知，Ox0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8問(wèn)題，記y為小明的累計(jì)得分，則y的所有可能取值為o,80,loo.

p(y=0)=1—0.6=0.4；

p(y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以E(Y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答3類問(wèn)題.

8.(1)75%；60%；(2)能.

【分析】

本題考查頻率統(tǒng)計(jì)和獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)給出公式計(jì)算即可

【解析】

(1)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級(jí)品的頻率為當(dāng)=75%,