2023年全國(guó)高考新課標(biāo)1卷文科數(shù)學(xué)試題及答案

1/12023年全國(guó)高考新課標(biāo)1卷文科數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題，本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．設(shè)集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=()

A．{1,3}

B．{3,5}

C．{5,7}

D．{1,7}2．設(shè)(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a=()

A．-3

B．-2

C．2

D．3

3．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，

余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()

A．13

B．12

C．23

D．56

4．ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

已知2

2,cos3

acA===，

則b=()

A．

B

．C．2D．3

5．直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的

1

4

，則該橢圓的離心率為()A．13B．12C．23D．34

6．若將函數(shù)y=2sin(2x+6

π)的圖像向右平移1

4個(gè)周期后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

()

A．y=2sin(2x+4π)

B．y=2sin(2x+3π)

C．y=2sin(2x–4π)

D．y=2sin(2x–3

π

)

7．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)

圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是283

π

，

則它的表面積是()

A．17π

B．18π

C．20π

D．28π8．若a>b>0，0cb9．函數(shù)y=2x2–e|x|在[–2,2]的圖像大致為()

10

A．y=2x

B．y=3x

C．y=4x

D．y=5x

11．平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，

α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，

α∩平面ABB1

A1=n，則m，n所成角的正弦值為()

A

B

．CD．13

12．若函數(shù)1

sin2sin3

fxx-xax=+在(-∞,+∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A．[-1,1]

B．[-1,13]

C．[-13,13]

D．[-1,-1

3

]

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22題~第24題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在橫線上．13．設(shè)向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，則x=.

14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，則tan(θ-π

4

)=.

15．設(shè)直線y=x+2a與圓C

：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=

則圓C的面積為.

16．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品

A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品

B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.只做6題，共70分.17.（本題滿分12分）

已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿意b1=1，b2=3

1

，anbn+1+bn+1=nbn.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求{bn}的前n項(xiàng)和.

18.（本題滿分12分）

如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA

內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，

連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

(Ⅰ)證明G是AB的中點(diǎn)；

(Ⅱ)在答題卡第（18）題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC

內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)，并求四周體PDEF的體積．

19.（本小題滿分12分）

某公司方案購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，假如備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元），n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).

(Ⅰ)若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；

(Ⅱ)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；

(Ⅲ)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？

20.（本小題滿分12分）

在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2=2px(p>0)

于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.

(Ⅰ)求OH

ON

；(Ⅱ)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(Ⅰ)爭(zhēng)論f(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答,假如多做,則按所做的第一題計(jì)分,做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O(shè)為圓心，1

2

OA為半徑作圓.

(Ⅰ)證明：直線AB與⊙O相切；

(Ⅱ)點(diǎn)C,D在⊙O上，且A,B,C,D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD.

23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直線坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為

cos

1sin

xat

yat

=

?

?

=+

?

（t為參數(shù)，a>0）.

在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ.

(Ⅰ)說(shuō)明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿意tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.

24.（本小題滿分10分），選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(Ⅰ)在答題卡第24題圖中畫出y=f(x)的圖像；

(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.

2023年全國(guó)高考新課標(biāo)1卷文科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題，本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1B2A3C4D5B6D7A8B9D10C11A12C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13．23-14．4

3

-15．4π16．216000

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.只做6題，共70分.

17．解：(Ⅰ)依題a1b2+b2=b1，b1=1，b2=3

1

，解得a1=2…2分

通項(xiàng)公式為an=2+3(n-1)=3n-1…6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=31bn，所以{bn}是公比為1

的等比數(shù)列.…9分

所以{bn}的前n項(xiàng)和Sn=1

11313122313n

n--=-?-

…18．(Ⅰ)證明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE．又PG?平面PDE，∴AB⊥PG．依題PA=PB，∴G(Ⅱ)解：在平面PAB內(nèi)作EF⊥PA（或EF//PB）垂足為F，

則F是點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影.…7分

理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB．∴EF⊥PC

作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影.…9分連接CG，依題D是正ΔABC的重心，∴D

在中線CG上，且CD

=2DG．

易知DE//PC，PC=PB=PA=6，∴DE=2，PE=22

33

PG=?=

則在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面積S=2．

所以四周體PDEF的體積14

33

VSDE=?=.…12分

19．解：(Ⅰ)當(dāng)x≤19時(shí)，y=3800；當(dāng)x>19時(shí)，y=3800+500(x-19)=500x-5700.

所以y與x的函數(shù)解析式為3800,

19(*)5005700,19

xyxNxx≤?=∈?->?…3分

(Ⅱ)由柱狀圖知，需更換的易損零件數(shù)不大于18為0.46，不大于19為0.7，所以n的最小值為19.…6分

(Ⅲ)若每臺(tái)機(jī)器都購(gòu)買19個(gè)易損零件，則有70臺(tái)的費(fèi)用為3800，20臺(tái)的費(fèi)用為4300，10臺(tái)的費(fèi)用為4800，所以100臺(tái)機(jī)器購(gòu)買易損零件費(fèi)用的

平均數(shù)為1

100

(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.…9分

若每臺(tái)機(jī)器都購(gòu)買20個(gè)易損零件，則有90臺(tái)的費(fèi)用為4000，10臺(tái)的費(fèi)用為4500，所以100臺(tái)機(jī)器購(gòu)買易損零件費(fèi)用的

平均數(shù)為1

100

(4000×90+4500×10)=4050.…11分

比較兩個(gè)平均數(shù)可知，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件.…12分

20．解：(Ⅰ)依題M(0,t)，P(22tp,t).所以N(2

tp

,t)，ON的方程為pyxt=.

聯(lián)立y2=2px，消去x整理得y2=2ty.解得y1=0，y2=2t.…4分

所以H(2

2tp,2t).所以N是OH的中點(diǎn)，所以O(shè)HON

=2.…6分

(Ⅱ)直線MH的方程為2p

ytxt

-=，聯(lián)立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0.

解得y1=y2=2t.即直線MH與C只有一個(gè)交點(diǎn)H.

所以除H以外，直線MH與C沒有其它公共點(diǎn).…12分

21．解：(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+a(2x-2)=(x-1)(ex+2a).x∈R…2分(1)當(dāng)a≥0時(shí)，在(-∞,1)上，f'(x)0，f(x)單調(diào)遞增.…3分

(2)當(dāng)a2

e

-，ln(-2a)0，f(x)單調(diào)遞增.③若a1，在(1,ln(-2a))上，f'(x)0，f(x)單調(diào)遞增.…7分

(Ⅱ)(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x-2)ex只有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求.…8分(2)當(dāng)a>0時(shí)，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減；在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

最小值f(1)=-e0，若取b223

(2)(1)022

abababb-+-=->，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).…10分

(3)當(dāng)ab>0，0cb9．函數(shù)y=2x2–e|x|在[–2,2]的圖像大致為()D

10

A．y=2x

B．y=3x

C．y=4x

D．y=5x

11．平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，

α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，

α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為()A

AB．CD．13

12．若函數(shù)1

sin2sin3

fxx-xax=+在(-∞,+∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()C

A．[-1,1]

B．[-1,13]

C．[-,13]

D．[-1,-1

3

]

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22題~第24題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在橫線上．

13．設(shè)向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，則x=.2

3

-

14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，則tan(θ-π4)=.4

3

-

15．設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=

則圓C的面積為.4π

16．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品

A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品

B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.216000

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.只做6題，共70分.17.（本題滿分12分）

已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿意b1=1，b2=3

1

，anbn+1+bn+1=nbn.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求{bn}的前n項(xiàng)和.

解：(Ⅰ)依題a1b2+b2=b1，b1=1，b2=3

1

，解得a1=2…2分

通項(xiàng)公式為an=2+3(n-1)=3n-1…6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=31bn，所以{bn}是公比為3

1

的等比數(shù)列.…9分

所以{bn}的前n項(xiàng)和Sn=111313122313

n

n--=-?-…12分18.（本題滿分12分）

如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，

連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

(Ⅰ)證明G是AB的中點(diǎn)；

(Ⅱ)在答題卡第（18）題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC

內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)，并求四周體PDEF(Ⅰ)證明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．

又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE．…3分又PG?平面PDE，∴AB⊥PG．依題PA=PB，∴G是AB的中點(diǎn)．…6分(Ⅱ)解：在平面PAB內(nèi)作EF⊥PA（或EF//PB）垂足為F，

則F是點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影.…7分

理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB．∴EF⊥PC

作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影.…9分連接CG，依題D是正ΔABC的重心，∴

D在中線CG上，且CD=2

DG．

易知DE//PC，PC=PB=PA=6，∴DE=2，PE=22

33

PG=?=

則在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面積S=2．

所以四周體PDEF的體積14

33

VSDE=?=.…12分

19.（本小題滿分12分）

某公司方案購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，假如備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元），n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).

(Ⅰ)若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；

(Ⅱ)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；(Ⅲ)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？

解：(Ⅰ)當(dāng)x≤19時(shí)，y=3800；當(dāng)x>19時(shí)，y=3800+500(x-19)=500x-5700.

所以y與x的函數(shù)解析式為3800,

19(*)5005700,19xyxNxx≤?=∈?->?

…3分