集合的概念難題匯編附答案

2013年9月犀利哥的高中數(shù)學組卷一．選擇題〔共11小題〕1．〔2011?**〕設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，假設(shè)T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?*，y，z∈V，有*yz∈V，則以下結(jié)論恒成立的是〔〕A．T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的B．T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．T，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．T，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的2．〔2007?**〕設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P﹣Q={*|*∈P，且*?Q}，如果，Q={*||*﹣2|＜1}，則P﹣Q等于〔〕A．{*|0＜*＜1}B．{*|0＜*≤1}C．{*|1≤*＜2}D．{*|2≤*＜3}3．〔2010?延慶縣一?！硨⒄紨?shù)集合{2，4，6，…}從小到大按第n組有2n個偶數(shù)進展分組如下：則2010位于〔〕A．第7組B．第8組C．第9組D．第10組4．〔2009?閘北區(qū)一模〕設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，則k是A的一個“孤立元〞，給定A={1，2，3，4，5}，則A的所有子集中，只有一個“孤立元〞的集合共有〔〕A．10個B．11個C．12個D．13個5．用C〔A〕表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=，假設(shè)A={1，2}，B={*||*2+a*+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值構(gòu)成的集合是S，則C〔S〕等于〔〕A．4B．3C．2D．16．〔2013?**模擬〕設(shè)集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，則滿足條件的集合A的個數(shù)為〔〕A．78B．76C．84D．837．以下命題正確的有〔〕〔1〕很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；〔2〕集合{y|y=*2﹣1}與集合{〔*，y〕|y=*2﹣1}是同一個集合；〔3〕這些數(shù)組成的集合有5個元素；〔4〕集合{〔*，y〕|*y≤0，*，y∈R}是指第二和第四象限內(nèi)的點集．A．0個B．1個C．2個D．3個8．假設(shè)*∈A則∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為〔〕A．15B．16C．28D．259．定義A?B={z|z=*y+，*∈A，y∈B}．設(shè)集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．則集合〔A?B〕?C的所有元素之和為〔〕A．3B．9C．18D．2710．元素為實數(shù)的集合A滿足條件：假設(shè)a∈A，則，則集合A中所有元素的乘積為〔〕A．﹣1B．1C．0D．±111．設(shè)集合P={*|*=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，假設(shè)*0∈P，y0∈Q，a=*0+y0，b=*0?y0，則〔〕A．a(chǎn)∈P，b∈QB．a(chǎn)∈Q，b∈PC．a(chǎn)∈P，b∈PD．a(chǎn)∈Q，b∈Q二．填空題〔共14小題〕12．〔2004?虹口區(qū)一模〕定義集合A，B的一種運算“*〞，A*B={p|p=*+y，*∈A，y∈B}．假設(shè)A={1，2，3}，B={1，2}，則集合A*B中所有元素的和_________．13．〔2011?**模擬〕集合，且2∈A，3?A，則實數(shù)a的取值*圍是_________．14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一個子集，當*∈A時，假設(shè)*﹣1?A，*+1?A，則稱*為A的一個“孤立元素〞，則S中無“孤立元素〞的4元子集的個數(shù)是_________．15．〔2006?**〕非空集合G關(guān)于運算⊕滿足：〔1〕對任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，〔2〕存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱G關(guān)于運算⊕為“融洽集〞．現(xiàn)給出以下集合和運算：①G={非負整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法．②G={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法．③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法．④G={二次三項式}，⊕為多項式的加法．⑤G={虛數(shù)}，⊕為復(fù)數(shù)的乘法．其中G關(guān)于運算⊕為“融洽集〞的是_________．〔寫出所有“融洽集〞的序號〕16．〔2012?**模擬〕給定集合A，假設(shè)對于任意a，b∈A，有a+b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下五個結(jié)論：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}為閉集合；②正整數(shù)集是閉集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}是閉集合；④假設(shè)集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合；⑤假設(shè)集合A1，A2為閉集合，且A1?R，A2?R，則存在c∈R，使得c?〔A1∪A2〕．其中正確的結(jié)論的序號是_________．17．〔2011?**三?！吃O(shè)集合A?R，對任意a、b、c∈A，運算“⊕具有如下性質(zhì)：〔1〕a⊕b∈A；〔2〕a⊕a=0；〔3〕〔a⊕b〕⊕c=a⊕c+b⊕c+c給出以下命題：①0∈A②假設(shè)1∈A，則〔1⊕1〕⊕1=0；③假設(shè)a∈A，且a⊕0=a，則a=0；④假設(shè)a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，則a=c．其中正確命題的序號是_________〔把你認為正確的命題的序號都填上〕．18．集合A={a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA={*|*=ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card〔TA〕表示集合TA中元素的個數(shù)．①假設(shè)A={2，4，8，16}，則card〔TA〕=_________；②假設(shè)ai+1﹣ai=c〔1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)〕，則card〔TA〕=_________．19．設(shè)集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}〔i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}〕，都有〔min{*，y}表示兩個數(shù)*，y中的較小者〕，則k的最大值是_________．20．設(shè)集合A=，B=，函數(shù)f〔*〕=假設(shè)*0∈A，且f[f〔*0〕]∈A，則*0的取值*圍是_________．21．〔文〕設(shè)集合A?R，如果*0∈R滿足：對任意a＞0，都存在*∈A，使得0＜|*﹣*0|＜a，則稱*0為集合A的聚點．則在以下集合中：〔1〕Z+∪Z﹣〔2〕R+∪R﹣〔3〕〔4〕以0為聚點的集合有_________〔寫出所有你認為正確結(jié)論的序號〕．22．用描述法表示圖中的陰影局部〔包括邊界〕

_________．23．設(shè)，則A∩B用列舉法可表示為_________．24．如果具有下述性質(zhì)的*都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．則以下元素：①；②；③；④．其中是集合M的元素是_________．〔填序號〕25．用列舉法表示集合：=_________．三．解答題〔共5小題〕26．〔2007?〕集合A={a1，a2，…，ak〔k≥2〕}，其中ai∈Z〔i=1，2，…，k〕，由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：S={〔a，b〕|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={〔a，b〕|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中〔a，b〕是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n．假設(shè)對于任意的a∈A，總有﹣a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P．〔I〕檢驗集合{0，1，2，3}與{﹣1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；〔II〕對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；〔III〕判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．27．對于集合A={*|*=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因為16=52﹣32，所以16∈A，研究以下問題：〔1〕1，2，3，4，5，6六個數(shù)中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？〔2〕討論集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素屬于A，試給出一個一般的結(jié)論，不必證明．28．集合A={*|*=m+n，m，n∈Z}．〔1〕設(shè)*1=，*2=，*3=〔1﹣3〕2，試判斷*1，*2，*3與集合A之間的關(guān)系；〔2〕任取*1，*2∈A，試判斷*1+*2，*1?*2與A之間的關(guān)系．29．集合A的全體元素為實數(shù)，且滿足假設(shè)a∈A，則∈A．〔1〕假設(shè)a=2，求出A中的所有元素；〔2〕0是否為A中的元素？請再舉例一個實數(shù)，求出A中的所有元素；〔3〕根據(jù)〔1〕、〔2〕，你能得出什么結(jié)論？30．設(shè)非空集合S具有如下性質(zhì)：①元素都是正整數(shù)；②假設(shè)*∈S，則10﹣*∈S．〔1〕請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個；〔2〕是否存在恰有6個元素的集合S？假設(shè)存在，寫出所有的集合S；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕由〔1〕、〔2〕的解答過程啟發(fā)我們，可以得出哪些關(guān)于集合S的一般性結(jié)論〔要求至少寫出兩個結(jié)論〕？2013年9月犀利哥的高中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共11小題〕1．〔2011?**〕設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，假設(shè)T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?*，y，z∈V，有*yz∈V，則以下結(jié)論恒成立的是〔〕A．T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的B．T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．T，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．T，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：壓軸題；閱讀型；新定義．分析：此題從正面解比擬困難，可運用排除法進展作答．考慮把整數(shù)集Z拆分成兩個互不相交的非空子集T，V的并集，如T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，或T為負整數(shù)集，V為非負整數(shù)集進展分析排除即可．解答：解：假設(shè)T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意，此時T與V關(guān)于乘法都是封閉的，排除B、C；假設(shè)T為負整數(shù)集，V為非負整數(shù)集，也滿足題意，此時只有V關(guān)于乘法是封閉的，排除D；從而可得T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的，A正確應(yīng)選A．點評：此題考察學生理解新定義的能力，會判斷元素與集合的關(guān)系，是一道比擬難的題型．2．〔2007?**〕設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P﹣Q={*|*∈P，且*?Q}，如果，Q={*||*﹣2|＜1}，則P﹣Q等于〔〕A．{*|0＜*＜1}B．{*|0＜*≤1}C．{*|1≤*＜2}D．{*|2≤*＜3}考點：元素與集合關(guān)系的判斷；絕對值不等式的解法．專題：計算題．分析：首先分別對P，Q兩個集合進展化簡，然后按照P﹣Q={*|*∈P，且*?Q}，求出P﹣Q即可．解答：解：∵化簡得：P={*|0＜*＜2}而Q={*||*﹣2|＜1}化簡得：Q={*|1＜*＜3}∵定義集合P﹣Q={*|*∈P，且*?Q}，∴P﹣Q={*|0＜*≤1}應(yīng)選B點評：此題考察元素與集合關(guān)系的判斷，以及絕對值不等式的解法，考察對集合知識的熟練掌握，屬于根底題．3．〔2010?延慶縣一模〕將正偶數(shù)集合{2，4，6，…}從小到大按第n組有2n個偶數(shù)進展分組如下：則2010位于〔〕A．第7組B．第8組C．第9組D．第10組考點：元素與集合關(guān)系的判斷；集合的表示法；等差數(shù)列；等比數(shù)列．專題：計算題．分析：首先將正偶數(shù)集合按大小順序排列是一個等差數(shù)列，先求出2010是此數(shù)列中的第幾項，然后按第n組有2n個偶數(shù)進展分組，每組中集合元素的個數(shù)正好是等比數(shù)列，求出解答：解：正偶數(shù)集按從小到大的順序排列組成數(shù)列2，4，6…2n2n=2010，n=1005由第一組{2，4}的元素是2個第二組{6，8，10，12}的元素是4個第三組{14，16，18，20，22，24，26，28}的元素是8個…第m組的元素是2n個2+4+8+…+2n==2m+1﹣22m+1﹣2＜1005，解得2m＜503.5m∈z，28=256，29=512，256＜503.5＜512所以，m=9，應(yīng)選C．點評：此題外表是一個集合題，實際上考察等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列求和公式，但過程中一定要思路清晰，否則容易出錯．4．〔2009?閘北區(qū)一?！吃O(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，則k是A的一個“孤立元〞，給定A={1，2，3，4，5}，則A的所有子集中，只有一個“孤立元〞的集合共有〔〕A．10個B．11個C．12個D．13個考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：綜合題；壓軸題．分析：此題考察的是新定義和集合知識聯(lián)合的問題．在解答時首先要明確集合A的所有子集是什么，然后嚴格按照題目當中對“孤立元〞的定義逐一驗證即可．當然，如果按照“孤立元〞出現(xiàn)的情況逐一排查亦可．解答：解：“孤立元〞是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；“孤立元〞是2的集合：{2}；{2，4，5}；“孤立元〞是3的集合：{3}；“孤立元〞是4的集合：{4}；{1，2，4}；“孤立元〞是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．點評：此題考察的是集合知識和新定義的問題．在解答過程當中應(yīng)充分體會新定義問題概念確實定性，與集合子集個數(shù)、子集構(gòu)成的規(guī)律．此題綜合性強，值得同學們認真總結(jié)和歸納．5．用C〔A〕表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=，假設(shè)A={1，2}，B={*||*2+a*+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值構(gòu)成的集合是S，則C〔S〕等于〔〕A．4B．3C．2D．1考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題；壓軸題；新定義；分類討論．分析：根據(jù)A={1，2}，B={*||*2+a*+1|=1}，且A*B=1，可知集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，然后對方程|*2+a*+1|=1的根的個數(shù)進展討論，即可求得a的所有可能值，進而可求C〔S〕．解答：解：|*2+a*+1|=1?*2+a*+1=1或*2+a*+1=﹣1，即*2+a*=0①或*2+a*+2=0②，∵A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實根，②無實數(shù)根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，則方程①有兩不相等實根，②有兩個相等且異于①的實數(shù)根，即，解得a=±2，綜上所述a=0或a=±2，∴C〔S〕=3．應(yīng)選B．點評：此題是中檔題．考察元素與集合關(guān)系的判斷，以及學生的閱讀能力和對新定義的理解與應(yīng)用．6．〔2013?**模擬〕設(shè)集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，則滿足條件的集合A的個數(shù)為〔〕A．78B．76C．84D．83考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題．分析：從集合S中任選3個元素組成集合A，一個能組成C93個，再把不符合條件的去掉，就得到滿足條件的集合A的個數(shù)．解答：解：從集合S中任選3個元素組成集合A，一個能組成C93個，其中A={1，2，9}不合條件，其它的都符合條件，所以滿足條件的集合A的個數(shù)C93﹣1=83．應(yīng)選D．點評：此題考察元素與集合的關(guān)系，解題時要認真審題，仔細思考，認真解答．7．以下命題正確的有〔〕〔1〕很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；〔2〕集合{y|y=*2﹣1}與集合{〔*，y〕|y=*2﹣1}是同一個集合；〔3〕這些數(shù)組成的集合有5個元素；〔4〕集合{〔*，y〕|*y≤0，*，y∈R}是指第二和第四象限內(nèi)的點集．A．0個B．1個C．2個D．3個考點：集合的含義．專題：計算題．分析：〔1〕〔3〕中由集合元素的性質(zhì)：確定性、互異性可知錯誤；〔2〕中注意集合中的元素是什么；〔4〕中注意*=0或y=0的情況．解答：解：〔1〕中很小的實數(shù)沒有確定的標準，不滿足集合元素確實定性；〔2〕中集合{y|y=*2﹣1}的元素為實數(shù)，而集合{〔*，y〕|y=*2﹣1}的元素是點；〔3〕有集合元素的互異性這些數(shù)組成的集合有3個元素；〔4〕集合{〔*，y〕|*y≤0，*，y∈R}中還包括實數(shù)軸上的點．應(yīng)選A點評：此題考察集合元素的性質(zhì)和集合的表示，屬根本概念的考察．8．假設(shè)*∈A則∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為〔〕A．15B．16C．28D．25考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：綜合題；壓軸題；新定義．分析：先找出具有伙伴關(guān)系的元素：﹣1，1，、2，、3共四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關(guān)系集合，利用組合知識求解即可．解答：解：具有伙伴關(guān)系的元素組有﹣1，1，、2，、3共四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關(guān)系集合，個數(shù)為C41+C42+C43+C44=15應(yīng)選A點評：此題考察集合的子集問題、排列組合等知識，考察學生利用所學知識分析問題、解決問題的能力．9．定義A?B={z|z=*y+，*∈A，y∈B}．設(shè)集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．則集合〔A?B〕?C的所有元素之和為〔〕A．3B．9C．18D．27考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：新定義．分析：首先根據(jù)題意，求出A?B中的元素，然后求出〔A?B〕?C中所含的元素，最后求和即可．解答：解：由題意可求〔A?B〕中所含的元素有0，4，5，則〔A?B〕?C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和為18．應(yīng)選C點評：此題考察元素與集合關(guān)系的判斷，通過集合間的關(guān)系直接判斷最后求和即可，屬于根底題．10．元素為實數(shù)的集合A滿足條件：假設(shè)a∈A，則，則集合A中所有元素的乘積為〔〕A．﹣1B．1C．0D．±1考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題；新定義．分析：根據(jù)假設(shè)a∈A，則，依據(jù)定義令a=代入進展求解，依次進展賦值代入進展化簡，把集合A中元素所有的形式全部求出，再求出它們的乘積．解答：解：由題意知，假設(shè)a∈A，則，令a=，代入==；令a=代入==，令a=，代入==a，A={a，，，，}，則所有元素的乘積為1，應(yīng)選B．點評：此題主要考察集合的應(yīng)用，題目比擬新穎，以及閱讀題意的能力，有一定的難度，主要對集合元素的理解．11．設(shè)集合P={*|*=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，假設(shè)*0∈P，y0∈Q，a=*0+y0，b=*0?y0，則〔〕A．a(chǎn)∈P，b∈QB．a(chǎn)∈Q，b∈PC．a(chǎn)∈P，b∈PD．a(chǎn)∈Q，b∈Q考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題．分析：據(jù)集合中元素具有集合中元素的屬性設(shè)出*0，y0，求出*0+y0，*0?y0并將其化簡，判斷其具有Q，P中哪一個集合的公共屬性．解答：解：∵*0∈P，y0∈Q，設(shè)*0=2k﹣1，y0=2n，n，k∈Z，則*0+y0=2k﹣1+2n=2〔n+k〕﹣1∈P，*0y0=〔2k﹣1〕〔2n〕=2〔2nk﹣n〕，故*0y0∈Q．故a∈P，b∈Q，應(yīng)選A．點評：此題考察集合中的元素具有集合的公共屬性、元素與集合關(guān)系的判斷、等根底知識，考察化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于根底題．二．填空題〔共14小題〕12．〔2004?虹口區(qū)一?！扯x集合A，B的一種運算“*〞，A*B={p|p=*+y，*∈A，y∈B}．假設(shè)A={1，2，3}，B={1，2}，則集合A*B中所有元素的和14．考點：集合的含義．專題：新定義．分析：由A*B={p|p=*+y，*∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，知A*B={2，3，4，5}，由此能求出集合A*B中所有元素的和．解答：解：∵A*B={p|p=*+y，*∈A，y∈B}．A={1，2，3}，B={1，2}，∴A*B={2，3，4，5}，2+3+4+5=14．故答案為：14．點評：此題考察集合的概念，解題時要認真審題，注意新定義的靈活運用．13．〔2011?**模擬〕集合，且2∈A，3?A，則實數(shù)a的取值*圍是．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想．分析：根據(jù)集合，且2∈A，3?A，知道2滿足不等式，3不滿足該不等式，即，解此不等式組即可求得實數(shù)a的取值*圍．解答：解：∵，且2∈A，3?A，∴，解得：．故答案為．點評：此題是個中檔題．考察了元素與集合之間的關(guān)系，以及分式不等式的求解，對題意的正確理解和轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵．14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一個子集，當*∈A時，假設(shè)*﹣1?A，*+1?A，則稱*為A的一個“孤立元素〞，則S中無“孤立元素〞的4元子集的個數(shù)是6．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題；壓軸題．分析：由S={1，2，3，4，5，6}，結(jié)合*∈A時，假設(shè)有*﹣1?A，且*+1?A，則稱*為A的一個“孤立元素〞，我們用列舉法列出滿足條件的所有集合，即可得到答案．解答：解：∵S={1，2，3，4，5，6}，其中不含“孤立元〞的集合4個元素必須是：共有{1，2，3，6}，{1，3，4，6}，{1，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6個則S中無“孤立元素〞的4個元素的子集A的個數(shù)是6個．故答案為6．點評：此題考察的知識點是元素與集合關(guān)系的判斷，我們要根據(jù)定義列出滿足條件列出所有不含“孤立元〞的集合，及所有三元集的個數(shù)，進而求出不含“孤立元〞的集合個數(shù)．15．〔2006?**〕非空集合G關(guān)于運算⊕滿足：〔1〕對任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，〔2〕存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱G關(guān)于運算⊕為“融洽集〞．現(xiàn)給出以下集合和運算：①G={非負整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法．②G={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法．③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法．④G={二次三項式}，⊕為多項式的加法．⑤G={虛數(shù)}，⊕為復(fù)數(shù)的乘法．其中G關(guān)于運算⊕為“融洽集〞的是①③．〔寫出所有“融洽集〞的序號〕考點：集合的含義．專題：壓軸題；新定義；對應(yīng)思想．分析：根據(jù)題意對給出的集合和運算對兩個條件：運算的封閉性和單位量e進展驗證，分別用加法、乘法和平面向量的線性運算的法則判斷，只有都滿足時才是G關(guān)于運算⊕為“融洽集〞．解答：解：①G={非負整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法，滿足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求；②G={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法，假設(shè)存在a⊕e=a×e=a，則e=1，矛盾，∴②不符合要求；③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法，兩個向量相加結(jié)果仍為向量；取，滿足要求，∴③符合要求；④G={二次三項式}，⊕為多項式的加法，兩個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式，∴④不符合要求；⑤G={虛數(shù)}，⊕為復(fù)數(shù)的乘法，兩個虛數(shù)相乘得到的可能是實數(shù)，∴⑤不符合要求，這樣G關(guān)于運算⊕為“融洽集〞的有①③．故答案為：①③．點評：此題考察了學生對新定義的理解和運用能力，可結(jié)合學過的運算性質(zhì)進展類比理解，比方：第一條是運算的封閉性，第二條如加法中的“0〞或乘法中的“1〞．16．〔2012?**模擬〕給定集合A，假設(shè)對于任意a，b∈A，有a+b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下五個結(jié)論：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}為閉集合；②正整數(shù)集是閉集合；③集合A={n|n=3k，k∈Z}是閉集合；④假設(shè)集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合；⑤假設(shè)集合A1，A2為閉集合，且A1?R，A2?R，則存在c∈R，使得c?〔A1∪A2〕．其中正確的結(jié)論的序號是②③⑤．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題．分析：明確閉集合的定義，然后嚴格按照題目當中對“閉集合〞的定義逐一驗證即可．解答：解：對于①：集合A={﹣4，﹣2，0，2，，4}；例如﹣4+〔﹣2〕=﹣6?A，故不是閉集合，故不正確；對于②：任意a，b∈A，有a+b∈A，所以正整數(shù)集是閉集合，正確．對于③：由于任意兩個3的倍數(shù)，它們的和、差仍是3的倍數(shù)，故③是閉集合，故正確；對于④：假設(shè)A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5?A1∪A2，則A1∪A2不是閉集合，故錯．對于⑤：設(shè)集合A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=2k，k∈Z}都為閉集合，但5?〔A1∪A2〕．故⑤正確．正確結(jié)論的序號是②③⑤．故答案為：②③⑤．點評：此題考察的是集合知識和新定義的問題．充分體會新定義問題概念確實定性，與集合子集個數(shù)、子集構(gòu)成的規(guī)律．此題綜合性強，值得總結(jié)和歸納．17．〔2011?**三?！吃O(shè)集合A?R，對任意a、b、c∈A，運算“⊕具有如下性質(zhì)：〔1〕a⊕b∈A；〔2〕a⊕a=0；〔3〕〔a⊕b〕⊕c=a⊕c+b⊕c+c給出以下命題：①0∈A②假設(shè)1∈A，則〔1⊕1〕⊕1=0；③假設(shè)a∈A，且a⊕0=a，則a=0；④假設(shè)a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，則a=c．其中正確命題的序號是①③④〔把你認為正確的命題的序號都填上〕．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：壓軸題；新定義；綜合法．分析：根據(jù)定義中所給的規(guī)則〔1〕a⊕b∈A；〔2〕a⊕a=0；〔3〕〔a⊕b〕⊕c=a⊕c+b⊕c+c，對四個命題逐一進展驗證，得出正確命題．解答：解：①由〔1〕a⊕b∈A；〔2〕a⊕a=0，0∈A，故①正確；②由〔2〕a⊕a=0；〔3〕〔a⊕b〕⊕c=a⊕c+b⊕c+c知1∈A，則〔1⊕1〕⊕1=1，故②不正確；③當a=0時，假設(shè)a∈A，且a⊕0=a，則a=0顯然成立，當a≠0時，假設(shè)假設(shè)a∈A，且a⊕0=a，則在〔3〕中令c=0，發(fā)現(xiàn)此時〔a⊕b〕⊕c=a⊕c+b⊕c+c無意義，故a=0，③正確；④a⊕0=a或得a=0，又a⊕b=c⊕b，故有a=c=0，所以④正確；綜上①③④正確故答案為①③④點評：此題考察元素與集合關(guān)系的判斷，正確解答此題，關(guān)鍵是掌握并理解新定義中所給的規(guī)則，以及靈活選用規(guī)則判斷命題是否正確．此題比擬抽象，應(yīng)好好總結(jié)做題規(guī)律．18．集合A={a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA={*|*=ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card〔TA〕表示集合TA中元素的個數(shù)．①假設(shè)A={2，4，8，16}，則card〔TA〕=10；②假設(shè)ai+1﹣ai=c〔1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)〕，則card〔TA〕=2n﹣3．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題；新定義．分析：對于①假設(shè)A={2，4，8，16}，直接計算出TA={6，10，18，12，20，24}，即可得出答案；②假設(shè)ai+1﹣ai=c〔1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)〕，說明數(shù)列a1，a2，…，an，構(gòu)成等差數(shù)列，利用特殊化思想，取特殊的等差數(shù)列進展計算，結(jié)合類比推理可得card〔TA〕=2n﹣3．解答：解：①假設(shè)A={2，4，8，16}，則TA={6，10，18，12，20，24，4，8，16，32}，∴card〔TA〕=10；②假設(shè)ai+1﹣ai=c〔1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)〕，說明數(shù)列a1，a2，…，an，構(gòu)成等差數(shù)列，取特殊的等差數(shù)列進展計算，取A={1，2，3，…，n}，則TA={3，4，5，…，2n﹣1}，由于〔2n﹣1〕﹣3+1=2n﹣3，∴TA中共2n﹣3個元素，利用類比推理可得假設(shè)ai+1﹣ai=c〔1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)〕，則card〔TA〕=2n﹣3．故答案為：10；2n﹣3．點評：此題考察集合與元素的位置關(guān)系和數(shù)列的綜合應(yīng)用，綜合性較強，解題時注意特殊化思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，解題時要認真審題，仔細解答，防止錯誤，屬根底題．19．設(shè)集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}〔i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}〕，都有〔min{*，y}表示兩個數(shù)*，y中的較小者〕，則k的最大值是11．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題．分析：含2個元素的子集有15個，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一個；{1，3}、{2，6}只能取一個；{2，3}、{4，6}只能取一個，由此能求出滿足條件的兩個元素的集合的個數(shù)．解答：解：含2個元素的子集有15個，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一個；{1，3}、{2，6}只能取一個；{2，3}、{4，6}只能取一個，故滿足條件的兩個元素的集合有11個．故答案為：11．點評：此題考察元素與集合的關(guān)系的判斷，解題時要認真審題，仔細解答．20．設(shè)集合A=，B=，函數(shù)f〔*〕=假設(shè)*0∈A，且f[f〔*0〕]∈A，則*0的取值*圍是．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：計算題．分析：這是一個分段函數(shù)，從*0∈A入手，依次表達出里層的解析式，最后得到1﹣2*0∈A，解不等式得到結(jié)果．解答：解：*0∈A，即，所以，，即，即f〔*0〕∈B，所以f[f〔*0〕]=2[1﹣f〔*0〕]=1﹣2*0∈A，即，解得：，又由，，所以．故答案為：〔，〕點評：此題考察元素與集合間的關(guān)系，考察分段函數(shù)，解題的關(guān)鍵是看清自變量的*圍，代入適合的代數(shù)式．21．〔文〕設(shè)集合A?R，如果*0∈R滿足：對任意a＞0，都存在*∈A，使得0＜|*﹣*0|＜a，則稱*0為集合A的聚點．則在以下集合中：〔1〕Z+∪Z﹣〔2〕R+∪R﹣〔3〕〔4〕以0為聚點的集合有〔2〕〔4〕〔寫出所有你認為正確結(jié)論的序號〕．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：閱讀型；新定義．分析：根據(jù)集合聚點的新定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．解答：解：〔1〕對于*個a＜1，比方a=0.5，此時對任意的*∈Z+∪Z﹣，都有|*﹣0|=0或者|*﹣0|≥1，也就是說不可能0＜|*﹣0|＜0.5，從而0不是Z+∪Z﹣的聚點；〔2〕集合{*|*∈R，*≠0}，對任意的a，都存在*=〔實際上任意比a小得數(shù)都可以〕，使得0＜|*|=＜a∴0是集合{*|*∈R，*≠0}的聚點；〔3〕中，集合中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的時候，不存在滿足得0＜|*|＜a的*，∴0不是集合的聚點；〔4〕集合中的元素是極限為0的數(shù)列，對于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|*|=＜a∴0是集合的聚點故答案為〔2〕〔4〕點評：此題的考點是函數(shù)恒成立問題，主要考察的知識點是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義﹣﹣集合的聚點的含義，是解答此題的關(guān)鍵．22．用描述法表示圖中的陰影局部〔包括邊界〕

{〔*,y)|*y＞0,且．考點：集合的表示法．專題：計算題．分析：利用圖中的陰影局部的點的坐標滿足的條件即為集合的元素的公共屬性．解答：解：圖中的陰影局部的點設(shè)為〔*，y〕則{*，y〕|﹣1≤*≤0，﹣或0，0≤y≤1}={〔*，y〕|*y＞0且﹣1}故答案為：{〔*，y〕|*y＞0，且}點評：此題考察用集合表示平面圖形，注意代表元素是數(shù)對．23．設(shè)，則A∩B用列舉法可表示為{〔1，1〕，〔0，1〕，〔0，﹣1〕}．考點：集合的表示法．專題：計算題．分析：欲求出A∩B中的元素，只須求解方程組的解．將方程組的解用列舉法寫出來即得答案．解答：解：∵求解方程組的解，或或由此可知集合A∩B用列舉法可表示為{〔1，1〕，〔0，1〕，〔0，﹣1〕}故答案為{〔1，1〕，〔0，1〕，〔0，﹣1〕}點評：此題考察集合的表示法、集合的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意不重復(fù)、不遺漏．24．如果具有下述性質(zhì)的*都是集合M中的元素，即，其中a，b∈Q．則以下元素：①；②；③；④．其中是集合M的元素是①③④．〔填序號〕考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：新定義．分析：通過a，b取值直接判斷①②，是否正確，通過化簡③④，確定a，b的值判斷③④是否滿足題意．解答：解：對于①，顯然a=0，b=1，滿足題意；對于②；顯然a=3，b=π，π是無理數(shù)，所以②不滿足題意；對于③==3+2，所以a=3，b=2滿足題意；對于④==4，a=4，b=0，滿足題意．是集合M的元素是①③④．故答案為：①③④．點評：此題考察元素與集合關(guān)系的判斷，考察計算能力，邏輯推理能力．25．用列舉法表示集合：={﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}．考點：集合的表示法．專題：計算題．分析：首先根據(jù)，對m值進展分析，當為整數(shù)時記錄m的值，最后綜合m的值構(gòu)成集合M解答：解：∵；m=﹣11時，；m=﹣6時，=﹣2；m=﹣3時，=﹣5；m=﹣2時，=﹣10；m=0時，=10；m=1時，=5；m=4時，=2；m=9時，=1；∴M={﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}故答案為：{﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}點評：此題考察集合的表示方法，根據(jù)題意進展分析，通過對m值的分析為解題的關(guān)鍵，屬于根底題．三．解答題〔共5小題〕26．〔2007?〕集合A={a1，a2，…，ak〔k≥2〕}，其中ai∈Z〔i=1，2，…，k〕，由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：S={〔a，b〕|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={〔a，b〕|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中〔a，b〕是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n．假設(shè)對于任意的a∈A，總有﹣a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P．〔I〕檢驗集合{0，1，2，3}與{﹣1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；〔II〕對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；〔III〕判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．考點：元素與集合關(guān)系的判斷；集合的含義．專題：綜合題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．分析：〔I〕利用性質(zhì)P的定義判斷出具有性質(zhì)P的集合，利用集合S，T的定義寫出S，T．〔II〕據(jù)具有性質(zhì)P的集合滿足a∈A，總有﹣a?A，得到0?A得到〔ai，ai〕?T；當〔ai，aj〕∈T時，〔aj，ai〕?T，求出T中的元素個數(shù)．〔III〕對應(yīng)S中的元素據(jù)S，T的定義得到也是T中的元素，反之對于T中的元素也是s中的元素，得到兩個集合中的元素一樣．解答：〔I〕解：集合{0，1，2，3}不具有性質(zhì)P．集合{﹣1，2，3}具有性質(zhì)P，其相應(yīng)的集合S和T是S=〔﹣1，3〕，〔3，﹣1〕，T=〔2，﹣1〕，〔2，3〕．〔II〕證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對〔ai，aj〕共有k2個．因為0?A，所以〔ai，ai〕?T〔i=1，2，，k〕；又因為當a∈A時，﹣a?A時，﹣a?A，所以當〔ai，aj〕∈T時，〔aj，ai〕?T〔i，j=1，2，，k〕．從而，集合T中元素的個數(shù)最多為，即．〔III〕解：m=n，證明如下：〔1〕對于〔a，b〕∈S，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而〔a+b，b〕∈T．如果〔a，b〕與〔c，d〕是S的不同元素，則a=c與b=d中至少有一個不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立．故〔a+b，b〕與〔c+d，d〕也是T的不同元素．可見，S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù)，即m≤n，〔2〕對于〔a，b〕∈T，根據(jù)定義，a∈A，b∈A，且a﹣b∈A，從而〔a﹣b，b〕∈S．如果〔a，b〕與〔c，d〕是T的不同元素，則a=c與b=d中至少有一個不成立，從而a﹣b=c﹣d與b=d中也不至少有一個不成立，故〔a﹣b，b〕與〔c﹣d，d〕也是S的不同元素．可見，T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù)，即n≤m，由〔1〕〔2〕可知，m=n．點評：此題考察利用題中的新定義解題；新定義題是近幾年?？嫉念}型，要重視．27．對于集合A={*|*=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因為16=52﹣32，所以16∈A，研究以下問題：〔1〕1，2，3，4，5，6六個數(shù)中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？〔2〕討論集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素屬于A，試給出一個一般的結(jié)論，不必證明．考點：元素與集合關(guān)系的判斷．專題：探究型．分析：〔1〕根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)證明1，3，4，5∈A，對于2和6用反證法進展證明，證明過程注意根據(jù)整數(shù)是奇〔偶〕進展分類說明；〔2〕根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)，在偶數(shù)中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由這些數(shù)的特征進展歸納得出結(jié)論．解答：解：〔1〕∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；∴1，3，4，5∈A，且2，6?A；〔5分〕設(shè)2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．〔m﹣n〕〔m+n〕=2當m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)∴〔m﹣n〕〔m+n〕為4的倍數(shù)，與2不是4倍數(shù)矛盾．當m，n同分別為奇，偶數(shù)時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)〔m﹣n〕〔m+n〕為奇數(shù)，與2是偶數(shù)矛盾．∴2?A同理6?A〔8分〕〔2〕4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；2，6，10，14，?A，結(jié)論：是4的倍數(shù)的數(shù)屬于A．〔12分〕點評：此題考察了元素與集合的關(guān)系，只要根據(jù)