全國大學生數學建模2015年國二a題

2015高教社杯全國大學生數學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開場后參賽隊員不能以任何方式〔包括、電子、網上咨詢等〕與隊外的任何人〔包括指導教師〕研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網上查到的資料〕，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進展公開展示〔包括進展網上公示，在書籍、期刊和其他媒體進展正式或非正式發(fā)表等〕。我們參賽選擇的題號是〔從A/B/C/D中選擇一項填寫〕：A 我們的參賽報名號為〔如果賽區(qū)設置報名號的話〕：所屬學校〔請?zhí)顚懲暾娜常簠①愱爢T(打印并簽名)：1.2.3.指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名)：日期：年月日賽區(qū)評閱編號〔由賽區(qū)組委會評閱前進展編號〕：編號專用頁賽區(qū)評閱編號〔由賽區(qū)組委會評閱前進展編號〕：賽區(qū)評閱記錄〔可供賽區(qū)評閱時使用〕：評閱人評分備注全國統一編號〔由賽區(qū)組委會送交全國前編號〕：全國評閱編號〔由全國組委會評閱前進展編號〕：太陽影子定位摘要本文研究了太陽影子定位問題，基于天球坐標系相關知識、球面幾何理論以及相似度理論，對不同情況下的數據，建立了相應的數學模型并得到了最優(yōu)的匹配地點與日期。問題1中，利用球面三角形余弦定理給出了太陽高度角公式，并建立了影子長度變化的數學模型，定性的分析了影子長度關于時角、當地緯度以及赤緯角的變化規(guī)律：(1).時角的絕對值越大，影子長度越大；(2).在同一經度上〔即時角一定〕，當地緯度與此時的太陽赤緯之差越大，影子長度越大；(3).在同一緯度不同經度上，當地經度和此時太陽直射點所在的經度之差越大，影子長度越大。用所建的模型，得到了2015年10月22日時間9:00-15:00之間天安門廣場3米問題2中，由太陽高度角、方位角、時角、赤緯角之間的關系，建立了桿的高度、太陽高度角、太陽方位角等變量間的方程組，推導出影子的長度與太陽高度角滿足的方程，該方程不依賴于桿的高度、坐標系的選取。利用1的數據并結合遍歷相關知識，給出了最優(yōu)匹配地點：最優(yōu)地點為北緯24度，東經100度，〔省滄市臨翔區(qū)〕；次優(yōu)地點為北緯18度，東經110度〔省市〕。問題3中，在問題2模型的根底上，對未知日期引入了日期參數，導出了相應的優(yōu)化模型。由2的數據得出了最優(yōu)匹配日期和地點：7月10日，北緯41度，東經80度，**維吾爾自治區(qū)阿克地區(qū)烏什縣。由3的數據得出了最優(yōu)匹配日期和地點：3月02日，北緯37度，東經110度，省市延川縣。問題4中，給出了桿的高度的近似值，我們修正了問題3中的模型，在優(yōu)化模型中，引入了變量。對視頻進展逐針讀取，再灰度化處理，利用Photoshop軟件得到了影子坐標的和桿的坐標的像素，由它們之間的比例關系，得出了相應的坐標。利用坐標數據和桿的近似高度，通過優(yōu)化模型，經過Matlab遍歷，得到了最優(yōu)的拍攝地點：最優(yōu)的為北緯40度，東經113度，省市南郊區(qū)；其它次優(yōu)的為北緯44度，東經110度，蒙古；北緯39度，東經110度，省市神木縣；北緯39度，東經111度，省市府谷縣；北緯39度，東經112度，省市神池縣；北緯40度，東經114度，省市陽原縣；北緯41度，東經115度，省市崇禮縣。如果拍攝日期未知，最優(yōu)的拍攝地點為北緯40，東經115，省市蔚縣，日期為6月22日。同時，我們也提出了分光理論，并建立了相應的模型和數學推導。由于時間的限制，不能完善該模型。針對問題二、三、四，提出了影子弧線的相似度模型。由于提取數據的誤差，可能使得我們的計算結果與實際地點有稍許偏差。關鍵字:太陽影子定位，天球坐標系，遍歷，時角，赤緯角，太陽高度角，太陽方位角1.問題重述太陽影子定位技術就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。1.1問題一有兩局部組成：〔1〕：確定影子長度變化數學模型，分析影子長度關于各個參數的變化規(guī)律?！?〕：用已建立的模型畫出2015年10月22日時間9:00-15:00之間天安門廣場〔北緯39度54分26秒,東經116度23分29秒〕3米1.2問題二有兩局部組成：〔1〕：根據*固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，建立數學模型確定直桿所處的地點?！?〕：將模型應用于1的影子頂點坐標數據，給出假設干個可能的地點。1.3問題三有兩局部組成：〔1〕：根據*固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，建立數學模型確定直桿所處的地點和日期?！?〕：將所建的模型分別應用于2和3的影子頂點坐標數據，給出假設干個可能的地點與日期。1.4問題有三局部組成：〔1〕：根據4一根直桿在太陽下的影子變化視頻，建立確定視頻拍攝地點的數學模型?！?〕：應用已建立的模型給出假設干個可能的拍攝地點?！?〕：如果拍攝日期未知，根據視頻確定出拍攝地點與日期。2.模型假設〔1〕：地球是球體；〔2〕：直桿影子長度為直線段長度而非弧長；〔3〕：到達地球的太線為平行光線；〔4〕：太陽高度角為太的入射方向與入射點切平面〔地平面〕的夾角；〔5〕：假設地面無障礙物，直桿影子都投影在一個平面上；〔6〕：假設4中拍攝角度對所提取的影長無影響；〔7〕：假設一天當中太陽赤緯角不變；3.符號說明表3.1符號說明表直桿長度直桿影子長度太陽高度角當地太陽時時角赤緯角光線與直桿的夾角當地維度當地經度注：規(guī)定北緯為正，南緯為負4.模型建立及求解4.1問題一的分析影子的長度主要依賴于兩個因素，即直桿的長度和當地的太陽高度角。由推導可得，太陽高度角又依賴于當時的太陽赤緯，時角和當地的緯度。易知當地的緯度和時角；又可知赤緯角由日期確定，注意我們假設一天當中的赤緯角是不變的。問題一模型的建立及求解直桿高度、太陽高度角及影子長度三者有如下關系：(4.1)其中，為影子長度，為直桿高度，為太陽高度角，其關系如圖4.1所示。圖4.1直桿高度、太陽高度角及影子長度關系示意圖在天文三角形中，兩邊：測者余緯，天體極距它們的夾角，即天體半圓時角，應用邊的余弦公式可以求得第三邊：天頂距,如圖4.2所示。圖4.2天球坐標系中的相關參數應用球面三角形邊的余弦定理,有,(4.2)又,,，所以.(4.3)即有.(4.4)帶入(4.1)式，可得.(4.4)其中，時角的計算公式為：,(4.5)太陽赤緯角〔即太陽直射點的維度〕：(4.6)其中為日期序號，例如，1月1日為，2月25日為。下面我們將定性分析影子長度關于各個參數〔時角、緯度及赤緯角〕的變化規(guī)律。首先，分析在一天之中時角對影子長度的影響。由假設可知赤緯角在一天之中是恒定的，又可知，太陽高度角越大，影子長度越??；又由式(4.4)可得，時角的絕對值越大，越小。所以可知，越大，影子長度越大。其次，分析緯度對影子長度的影響。我們在同一經度上〔即時角定〕考慮此問題，當地緯度與此時的太陽赤緯之差越大，影子長度越大。最后，分析赤緯角對影子長度的影響。我們在同一緯度不同經度上考慮此問題，當地經度和此時太陽直射點所在的經度之差越大，影子長度越大。應用我們所建立的模型(4.4)，基于Matlabplot函數給出9:00—15:00的影子長度，見圖(4.3)。其中整點時刻的影子長度見表4.1.表4.19:00—15:00間整點時刻直桿影子的長度時間9101112131415影長(米)7.81055.36524.26753.85853.98434.68746.2862圖4.39:00—15:00天安門廣場直桿影子長度的變化曲線4.2問題二的分析首先建立一個坐標系〔標準坐標系〕，數據所在的坐標系為舊坐標系，標準坐標系與舊坐標系之間有一個旋轉角。通過推導發(fā)現，影子長度與相應時刻太陽高度角的余切之比為定值，故可以直接利用舊坐標系下的影長數據，而避開了未知桿長、旋轉角及標準坐標系下的坐標分量，從而簡化了問題的復雜度和求解難度。問題二模型的建立及求解設為時刻的太陽高度角，為時刻太陽方位角(太陽方位角為正北方向按順時針旋轉到太陽投影點所旋轉的角度),為時刻影子長度，為舊坐標系下的桿頂點投影的坐標〔舊坐標系為中數據所在的坐標系〕，建立標準坐標系，以桿低端為原點，軸朝向正南，軸朝向正東。為標準坐標系下桿頂點投影的坐標。在標準坐標系下，有(4.7)所以(4.8)又為時刻太陽方位角，則為舊坐標系和標準坐標系之間的旋轉角度，故(4.9)即(4.10)也就是直桿影子頂點橫縱坐標的比值與桿子的高度無關，僅僅與太陽的方位角有關。因為(4.11)所以(4.12)由上面分析可知，新舊坐標系下的坐標，桿的高度，太陽高度角，太陽方位角，滿足如下方程組：(4.13)上述方程組為含多個未知量的非線性的方程，求解非常困難。但是由方程組可以得到如下關系式：(4.14)由此得到(4.15)假設所求點恰好為所給數據的拍攝地點，必滿足(4.16)從而建立目標函數如下：(4.17)此目標函數和桿的高度、兩個坐標系均無關，大大簡化了模型的求解難度，加快了求解速度。為了找出最正確匹配的點，我們需要在球面上，計算出一些點的*段時刻的高度角，帶入目標函數，求出最正確匹配點。在Matlab環(huán)境下，基于遍歷思想，求出最正確匹配點如下：最優(yōu)：北緯24度東經100度〔省滄市臨翔區(qū)〕次優(yōu)：北緯18度東經110度〔省市〕基于目標函數(4.17)，給出影子長度隨時間變化的規(guī)律，見圖(4.4)，其中不同時刻影子的長度見表4.2.圖4.41中影子長度的變化曲線表4.2不同時刻影子的長度時間12:4112:4412:4712:5012:5312:5612:5913:0213:0513:0813:11影子長度1.2472561.2227951.1989211.1754291.152441.1299171.1078351.0862541.0650811.0444461.024264時間13:1413:1713:2013:2313:2613:2913:3213:3513:3813:41影子長度1.004640.9854910.966790.9485850.9309280.9137520.8971090.8809740.8654920.8505044.3問題三的分析在問題二中的目標函數里面，由于日期是的，即赤緯角是的；而問題三中，日期是未知的，即赤緯角是未知的。故太陽高度角和當地經緯度、日期均有關，這就導致所建的目標函數還是日期的函數，故需要在問題二的根底上，還須對日期進展遍歷。問題三模型的建立及求解建立目標函數如下：(4.18)在Matlab平臺下，基于遍歷思想，求出最正確匹配點如下：二的最優(yōu)解為：日期1917月10日北緯41度東經80度**維吾爾自治區(qū)阿克地區(qū)烏什縣；基于目標函數(4.18)，給出影子長度隨時間變化的規(guī)律，見圖(4.5)，其中不同時刻影子的長度見表4.3.圖4.52中影子長度的變化曲線表4.3不同時刻影子的長度時間12:4112:4412:4712:5012:5312:5612:5913:0213:0513:0813:11影子長度1.2472561.2227951.1989211.1754291.152441.1299171.1078351.0862541.0650811.0444461.024264時間13:1413:1713:2013:2313:2613:2913:3213:3513:3813:41影子長度1.004640.9854910.966790.9485850.9309280.9137520.8971090.8809740.8654920.850504三的最優(yōu)解為：日期613月02日北緯37度東經110度省市延川縣基于目標函數(4.18)，給出影子長度隨時間變化的規(guī)律，見圖(4.6)，其中不同時刻影子的長度見表4.4圖4.62中影子長度的變化曲線表4.4不同時刻影子的長度時間13:0913:1213:1513:1813:2113:2413:2713:3013:3313:3613:39影子長度3.5331423.5467683.5617983.5781013.5957513.6149343.6354263.6572183.6805413.7051683.731278時間13:4213:4513:4813:5113:5413:5714:0014:0314:0614:09影子長度3.7589183.7880883.8187013.850813.8845853.9199123.9568763.9955354.0357514.0778634.4問題四的分析由于影子長度的數據未知，所以首先需要對視頻進展逐針讀取，再灰度化處理，利用Photoshop軟件提取影子長度數據。在該問題中，由于給出了直桿高度的估計值，我們便可以進一步優(yōu)化目標函數，找出最正確匹配點。問題四模型的建立及求解問題四給出了直桿高度的估計值，基于問題二和問題三的分析，我們可以進一步優(yōu)化目標函數為：(4.19)在Matlab環(huán)境下，基于遍歷思想，求出最正確匹配點如下：最優(yōu)：北緯40度東經113度省市南郊區(qū)次優(yōu)：北緯44度東經110度蒙古北緯39度東經110度省市神木縣北緯39度東經111度省市府谷縣北緯39度東經112度省市神池縣北緯40度東經114度省市陽原縣北緯41度東經115度省市崇禮縣假設拍攝日期未知，可以得到最優(yōu)解，即可以確定拍攝地點和日期，日期和地點為：日期2076月22日北緯40度東經115度省市蔚縣5.模型的改良與評價5.1問題一模型的改良與評價原問題一中所建的模型的求解比擬復雜，把地球看成了一個圓球體，而地球是一個橢球體，所以該模型舍去了一些高階微小量，只是給出了一個近似模型。我們需要注意，可以求得任何一地點在任何時刻的太陽直射點，一般情況下，該直射點和直桿處的經度和緯度是不同的，而我們假設太線為平行光，基于此，可以把直桿處的光線沿著經線的切線方向和緯線的切線方向進展分解，分別得到兩個方向的單位化向量，然后將經線切線的單位向量除以直桿處緯度和此時赤緯角的差絕對值的余弦，得到一向量；再將緯線切線的單位向量除以直桿處經度和直射點處的經度的差絕對值的余弦，得到另外一向量，分別將這兩個向量加權合成光線向量，進一步可得影子的長度。假設A處為太陽直射點，B處為直桿所在點，把直桿處的光線沿著經線的切線方向和緯線的切線方向進展分解,即分別在同一經度不同緯度下，同一緯度不同經度下考慮，如圖5.1所示，假設北緯為正，南緯為負。圖5.1直桿處光線分解示意圖首先考慮，在同一經度不同緯度下的情況，如圖5.2所示。直桿處緯度和赤緯之差的絕對值為，假設在B點建立空間直角坐標系如下：如圖5.3所示。再考慮同一緯度不同經度的情況，如圖5.4所示。假設在D點建立空間直角坐標系如下：如圖5.5所示。設為單位向量，因為太朝向軸負半軸，所以.設為單位向量，因為太朝向軸負半軸,所以.圖5.2直桿處光線經線切線分解示意圖圖5.3B處空間直角坐標系圖5.4直桿處光線緯線切線分解示意圖則其中，為與軸夾角，.合成光線向量如圖5.6所示。圖5.5D處空間直角坐標系圖5.6C處空間直角坐標系5.2問題二、三、四模型的改良與評價缺點：原模型由于所給數據為一小時間隔的數據，所以模型不能很好