相似三角形及圓綜合題

1、：如圖，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，過E作⊙O的切線ED，切點為C，AD⊥ED交ED于點D，交⊙O于點F，CG⊥AB交AB于點G．求證：BG?AG=DF?DA．2、：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．(1)求證：DE為⊙O的切線．(2)求證：AB：AC=BF：DF．3、(**)：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC，E為垂足．(1)求證：∠ADE=∠B；(2)過點O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點F，求證：FD?DA=FO?DE．4、如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．(1)直接寫出AE與BC的位置關系；(2)求證：△BCG∽△ACE；(3)假設∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．5、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？(3)在(2)的條件下，假設OH=1，AH=2，求弦AC的長．6、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？(3)在(2)的條件下，假設OH=1，AH=2，求弦AC的長．7、如是⊙O的直徑，CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，點E在CD的延長線上，且CE=AE+BC；

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)過點D作DF⊥AB于點F，連接BE交DF于點M，求證：DM=MF．

8、：如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，連結(jié)BD并延長，使CD=BD，連結(jié)AC。過點D作DE⊥

AC，垂足是點E．過點B作BE⊥AB，交ED延長線于點F，連結(jié)OF。求證：(1)EF是⊙O的切線；

(2)△OBF∽△DEC。9、如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O

切線，交OD的延長線于點E，連結(jié)BE．

(1)求證：BE與⊙O相切；(2)連結(jié)AD并延長交BE于點F，假設OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的長．10、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點F。

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)假設，求的值；

(3)在(2)的條件下，假設⊙O直徑為10，求△EFD的面積．11、：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑作⊙O，BC交⊙O于點D，E是邊AC的中點，ED、AB的延長線相交于點F．

求證：

(1)DE為⊙O的切線．

(2)AB?DF=AC?BF．

12、如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，延長AB、ED交于點F，AD平分∠BAC．

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)假設AE=3，AB=4，求圖中陰影局部的面積．

13、知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足為F，BF交⊙O于G。(1)求證：CE2=FG·FB；

(2)假設tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直徑。14.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC平分∠BCD，BD交AC于點F，過點A作圓的切線AE交CB的延長線于E.求證：①AE∥BD；②AD2=DF·AE15、：□ABCD，過點D作直線交AC于E，交BC于F，交AB的延長線于G，經(jīng)過B、G、F三點作⊙O，過E作⊙O的切線ET，T為切點.求證：ET=ED16、如圖，△ABC中，AB=AC，O是BC上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓與AC相切于點A，過點C作CD⊥BA，垂足為D.求證：〔1〕∠DAC=2∠B；〔2〕CA2=CD·CO相似三角形與圓的綜合考題〔教師版〕1、：如圖，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，過E作⊙O的切線ED，切點為C，AD⊥ED交ED于點D，交⊙O于點F，CG⊥AB交AB于點G．求證：BG?AG=DF?DA．證明：連接BC，F(xiàn)C，CO，∵過E作⊙O的切線ED，∴∠DCF=∠CAD，∠D=∠D，∴△CDF∽△ADC，∴=，∴CD2=AD×DF，∵CG⊥AB，AB為直徑，∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，∴∠GBC=∠ACG，∴△BGC∽△CGA，∴=，∴CG2=BG×AG，∵過E作⊙O的切線ED，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAD，在△AGC和△ADC中，，∴△AGC≌△ADC〔AAS〕，∴CG=CD，∴BG×AG=AD×DF．2、：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．(1)求證：DE為⊙O的切線．(2)求證：AB：AC=BF：DF．3、(**)：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC，E為垂足．(1)求證：∠ADE=∠B；(2)過點O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點F，求證：FD?DA=FO?DE．解：〔1〕方法一：證明：連接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE．∵OD是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．∴∠ADE=∠B．方法二：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∴∠ADB=∠DEA，∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．∴△DAE∽△BAD．∴∠ADE=∠B．〔2〕證明：∵OF∥AD，∴∠F=∠ADE．又∵∠DEA=∠FDO〔已證〕，∴△FDO∽△DEA．∴FD：DE=FO：DA，即FD?DA=FO?DE．點評：此題主要考察了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；〔2〕題乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得以證明．4、如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．(1)直接寫出AE與BC的位置關系；(2)求證：△BCG∽△ACE；(3)假設∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．

解：〔1〕如圖1，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°．

∴AE⊥BC．

〔2〕如圖1，

∵BF與⊙O相切，

∴∠ABF=90°．

∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．

∵∠BAF=2∠CBF．

∴∠BAF=2∠BAE．

∴∠BAE=∠CAE．

∴∠CBF=∠CAE．

∵CG⊥BF，AE⊥BC，

∴∠CGB=∠AEC=90°．

∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，

∴△BCG∽△ACE．

〔3〕連接BD，如圖2所示．

∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，

∴∠DBE=∠CBF．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∴BD⊥AF．

∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，

∴CD=CG．

∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，

∴tan∠F==CG=tan60°=∵CG=，

∴CD=．

∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，

∴∠BAF=30°．

∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，

∴AB=2BD．

∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，

∴∠ABE=∠ACE．

∴AB=AC．

設⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．

∵∠ADB=90°，

∴AD=r．

∴DC=AC-AD=2r-r=〔2-〕r=．

∴r=2+3．

∴⊙O的半徑長為2+3．解析：〔1〕由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直．

〔2〕易證∠CBF=∠BAE，再結(jié)合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE，易證∠CGB=∠AEC，從而證到△BCG∽△ACE．

〔3〕由∠F=60°，GF=1可求出CG=；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG=；設圓O的半徑為r，易證AC=AB，∠BAD=30°，從而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出⊙O的半徑長．5、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？(3)在(2)的條件下，假設OH=1，AH=2，求弦AC的長．分析：〔1〕連接OC，證明∠OCP=90°即可．〔2〕乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．〔3〕可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長．解答：〔1〕證明：連接OC．∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90°，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切線．〔2〕解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD2=DE?DF，理由如下：連接AE．∵點D在劣弧AC中點位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DE?DF．〔3〕解：連接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH===2．∵點D在劣弧AC中點位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，，∴△OGA≌△OHD〔AAS〕，∴AG=DH，∴AC=4．點評：此題考察了切線的判定．要證*線是圓的切線，此線過圓上*點，連接圓心與這點〔即為半徑〕，再證垂直即可．同時考察了相似三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)．6、如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使AD2=DE?DF，為什么？(3)在(2)的條件下，假設OH=1，AH=2，求弦AC的長．

〔1〕證明：連接OC．

∵PC=PF，OA=OC，

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，

∴∠AHF=90°，

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，

∴PC是⊙O的切線．

〔2〕解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD2=DE?DF，理由如下：

連接AE．

∵點D在劣弧AC中點位置，

∴∠DAF=∠DEA，

∵∠ADE=∠ADE，

∴△DAF∽△DEA，

∴AD：ED=FD：AD，

∴AD2=DE?DF．

〔3〕解：連接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，

∴OA=3，即可得OD=3，

∴DH===2．

∵點D在劣弧AC中點位置，

∴AC⊥DO，

∴∠OGA=∠OHD=90°，

在△OGA和△OHD中，

，

∴△OGA≌△OHD〔AAS〕，

∴AG=DH，

∴AC=4．解析：〔1〕連接OC，證明∠OCP=90°即可．

〔2〕乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．

〔3〕可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長。7、如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，點E在CD的延長線上，且CE=AE+BC；

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)過點D作DF⊥AB于點F，連接BE交DF于點M，求證：DM=MF．證明：〔1〕連接OD，OE，

∵CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，

∴∠ODE=90°，CD=CE，

∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，

∴AE=DE，

∵OD=OA，OE=OE，

∴△ODE≌△OAE〔SSS〕，

∴∠OAE=∠ODE=90°，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切線；

〔2〕∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，

∴AE∥DF∥BC，

∴△BMF∽△BEA，

∴，

∴，

∴∵△EDM∽△ECB，

∴，

∴，

∴DM=MF．解析：〔1〕首先連接OD，OE，由CB、CD分別切⊙O于B、D兩點，即可得∠ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可證得AE=DE，則可得△ODE≌△OAE，即可證得AE是⊙O的切線；

〔2〕首先易證得AE∥DF∥BC，然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可求得DM=MF．8、：如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，連結(jié)BD并延長，使CD=BD，連結(jié)AC。過點D作DE⊥

AC，垂足是點E．過點B作BE⊥AB，交ED延長線于點F，連結(jié)OF。求證：(1)EF是⊙O的切線；

(2)△OBF∽△DEC。證明：〔1〕連結(jié)OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴OA=OB，又∵CD=BD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°，∠ODE=90°，

∵點D是⊙O上一點，

∴EF是⊙O的切線。

〔2〕∵BF⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴BF是⊙O的切線，

∵EF是⊙O的切線，

∴∠BFO=∠DFO，F(xiàn)B=FD，

∴OF⊥BD，

∵∠FDB=∠CDE，

∴∠OFD=∠C，

∴∠C=∠OFB，又∵∠CED=∠FBO=90°，

∴△OBF∽△DEC。9、如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O

切線，交OD的延長線于點E，連結(jié)BE．

(1)求證：BE與⊙O相切；(2)連結(jié)AD并延長交BE于點F，假設OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的長．解：〔1〕連結(jié)CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，

∴△OCE≌△OBE〔SAS〕

∴∠OCE＝∠OBE，

又CE是切線，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE與⊙O相切

〔2〕備用圖中，作DH⊥OB于H，H為垂足，

∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝，∴OD＝4，

同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝，OH＝

又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH，

∴FB＝

考點：切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質(zhì)及判定。

點評：熟知以上定義性質(zhì)，根據(jù)可求之，此題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中檔題。10、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點F。

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)假設，求的值；

(3)在(2)的條件下，假設⊙O直徑為10，求△EFD的面積．試題分析：〔1〕連接OD，根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；

〔2〕先由〔1〕得OD∥AE，再結(jié)合平行線分線段成比例定理即可得到答案；

〔3〕根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合圓的根本性質(zhì)求解即可.

〔1〕連接OD

因為OA="OD"

所以∠OAD=∠ODA

又∠OAD=∠DAE

可得∠ODA=∠DAE，

所以OD‖AC，

又DE⊥AC

可得DE⊥OD

所以DE是⊙O的切線；

〔2〕由〔1〕得OD∥AE，

〔3〕

考點：圓的綜合題

點評：此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.11、：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑作⊙O，BC交⊙O于點D，E是邊AC的中點，ED、AB的延長線相交于點F．

求證：

(1)DE為⊙O的切線．

(2)AB?DF=AC?BF．

證明：〔1〕如圖，連接OD、AD．

∵OD=OA，

∴∠2=∠3，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，

∴∠CDA=90°．

又∵E是邊AC的中點，

∴DE=AE=AC，

∴∠1=∠4，

∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴DE為⊙O的切線；

〔2〕如圖，∵AB⊥AC，AD⊥BC，

∴∠3=∠C〔同角的余角相等〕．

又∵∠ADB=∠CDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴

易證△FAD∽△FDB，

∴，

∴，

∴AB?DF=AC?BF．解析：〔1〕連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，點E為AC中點，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定即可；

〔2〕證△ABD∽△CAD，推出，再證△FAD∽△FDB，推出，得，即可得出AB?DF=AC?BF．12、如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，延長AB、ED交于點F，AD平分∠BAC．

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)假設AE=3，AB=4，求圖中陰影局部的面積．解：〔1〕連接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴∠DEA=90°，

∴∠ODF=∠DEA=90°，

∵OD是半徑，

∴EF是⊙O的切線．

〔2〕∵AB為⊙O的直徑，DE⊥AC，

∴∠BDA=∠DEA=90°，

∵∠BAD=∠CAD，

∴△BAD∽△DAE，

∴，

即，

∴AD=2，

∴cos∠BAD=，

∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°，

∴BD=AB=2，

∴S△BOD=S△ABD=××2×2=，

∴S陰影=S扇形BOD-S△BOD=解析：〔1〕根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定推出即可；

〔2〕證△BAD∽△DAE，求出AD長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面積，相減即可．13、知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足為F，BF交⊙O于G。(1)求證：CE2=FG·FB；

(2)假設tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直徑。解：〔1〕證明：連結(jié)AC，

∵AB為直徑，∠ACB=90°，

∵，且AB是直徑，

∴AB⊥CD即CE是Rt△ABC的高，

∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC，

∵CE是⊙O的切線，

∴∠FCB=∠A，CF2=FG·FB，

∴∠FCB=∠ECB，

∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，

∴△BCF≌△BCE，

∴CE=CF，∠FBC=∠CBE，

∴CE2=FG·FB；

〔2〕∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，

∴∠ACE=∠CBF，

∴tan∠CBF=tan∠ACE==，

∵AE=3，

∴CE=6，

在Rt△ABC中，CE是