有限元法的講解

第四章求解導(dǎo)熱問題的有限單元法第4.1節(jié)概述第4.2節(jié)泛函變分原理第4.3節(jié)有限單元法第4.1節(jié)概述粗略地講：有限元法是獲得微分方程近似解的一種方法，是一種適合計(jì)算機(jī)來求解的數(shù)值計(jì)算方法。〔元素特性方程和總體合成方程的建立可以采用直接法，變分法，加權(quán)余數(shù)法和能量平衡法等四種方法之一，所以粗略地說有限元法是獲得微分方程近似解的一種方法也有道理〕比擬嚴(yán)格的定義：有限單元法是求解泛函變分問題的一種近似方法。則這兩種說法有什么聯(lián)系，或者說是共同之處呢？變分和微分是對(duì)未知函數(shù)的不同描述，同一連續(xù)介質(zhì)問題往往都可以找到微分和變分的等價(jià)表達(dá)方式。變分和微分幾乎是同時(shí)開展起來的兩個(gè)數(shù)學(xué)分支，其目的是一樣的，都是求解未知函數(shù)，但是方法上有很大差異。在邊界條件的情況下，求微分方程的準(zhǔn)確解析雖然已有完整的理論，但是真正能解出的只有極少數(shù)的幾種簡單情況，因?yàn)樵诤芏嗲闆r下，微分方程并不存在初等函數(shù)解析解?！矊?duì)于各種各樣的映射，初等函數(shù)的表達(dá)能力實(shí)在太有限了，初等函數(shù)包括：冥函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)，以及它們的四則運(yùn)算等?！秤捎趯で笪⒎址匠痰某醯群瘮?shù)解析解有困難，所以我們在前一章講述了微分方程的近似解法，即差分法。泛函變分原理雖然也可以用解析法〔即積分〕求得未知函數(shù)，但是因?yàn)橛泻芏啾环e函數(shù)根本無法找到初等原函數(shù)，也就不能積分，尤其是對(duì)于二維和三維問題，解析法更加困難。所以我們也要尋求泛函變分的近似解法。泛函變分的近似解法包括里茲法和有限元法〔里茲法是有限元法的前身〕，這兩種方法的原理完全一樣，即：構(gòu)造一個(gè)近似的初等函數(shù)，用近似的初等函數(shù)去逼近未知函數(shù)。因?yàn)槿魏挝粗瘮?shù)都可以找到它的近似初等函數(shù)〔如：包含待定系數(shù)的多項(xiàng)式或三角函數(shù)〕，所以從根本上克制了解析法〔無法找到初等原函數(shù)〕的局限性—犧牲極小的理論計(jì)算精度，卻換回了對(duì)大量復(fù)雜二維和三維工程問題的適用性。微分方程的近似解法：差分法泛函變分的近似解法：里茲法，有限元法第4.2節(jié)泛函變分原理一、泛函的概念〔借助講解〕二、變分的概念借助普通函數(shù)微分的概念，用類比法講解三、泛函的極值條件借助普通函數(shù)的極值條件，用類比法講解四、里茲法〔補(bǔ)充容，但是很重要〕泛函變分的近似解法一、泛函的概念通過教材§4.1.2的運(yùn)算實(shí)例引入一個(gè)泛函表達(dá)方式〔作圖講解〕泛函的概念：函數(shù)的函數(shù)泛函與普通函數(shù)的區(qū)別就在于：函數(shù)的自變量是數(shù)；而泛函的自變量則是函數(shù)，泛函的定義域由具有一定條件的一組函數(shù)組成。泛函是一個(gè)函數(shù)集到一個(gè)數(shù)集的映射；普通函數(shù)則是一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。泛函的表達(dá)式：J=J(y)=J[y(*)]J=J(T)=J[T(*，y)]泛函的一般式：從物理意義上講，暫時(shí)你也可以把泛函理解成熵，自由能等。對(duì)于泛函的具體數(shù)值我們并不是特別關(guān)心，而更關(guān)注它何時(shí)取得極值，即取什么樣的自變量函數(shù)，泛函有極值。二、變分的概念普通函數(shù)y(*)泛函J[y(*)]自變量的增量自變函數(shù)的增量其中：是一個(gè)有限小的量，自變量的微分自變函數(shù)的變分函數(shù)的增量泛函的增量函數(shù)的微分泛函的變分函數(shù)微分運(yùn)算規(guī)則：有函數(shù)u(*)和v(*)，則：有函數(shù)y(*)，則泛函變分運(yùn)算規(guī)則：有函數(shù)u(*)和v(*)，則：有函數(shù)y(*)，則函數(shù)的極值條件泛函的極值條件三、泛函的極值條件〔歐拉方程〕泛函的極值條件等價(jià)于歐拉方程給出了泛函極值條件與微分方程的關(guān)系！利用歐拉方程解教材§4.1.2的例題?！沧⒁膺@是求解變分問題的解析法〕在變分問題中，使泛函J(y)為極小值的條件，除外，還應(yīng)有〔二階變分〕四、里茲法〔泛函變分的近似解法〕〔變分原理在求解微分方程中的應(yīng)用〕連續(xù)介質(zhì)問題經(jīng)常有著不同的但是等價(jià)的表達(dá)公式－－微分表達(dá)公式和變分表達(dá)公式，從例§4.1.2中我們可以看到，泛函的變分計(jì)算可用微分方程的求解來代替，反之，微分方程的求解也可用泛函的變分計(jì)算來代替。求解變分準(zhǔn)確解的過程中需要進(jìn)展各種積分運(yùn)算，而許多情況下被積函數(shù)根本無法找到與相應(yīng)的初等函數(shù)形式的原函數(shù)，這說明通過求原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限性，甚至于可以說這種形式的變分運(yùn)算根本無法表達(dá)出它的運(yùn)算較微分解方程有什么優(yōu)越性。變分法的優(yōu)越性表達(dá)在：我們可以找到一種適用于求得以變分形式表達(dá)問題的近似解的簡便方法，這種方法叫里玆法，是有限元法的前身。例：用里茲法解微分方程：邊界條件解：構(gòu)造泛函，在滿足邊界條件情況下，該泛函的極值條件與微分方程同解。利用歐拉方程可以很容易的證明兩者同解〔，〕令近似函數(shù)〔或稱為試探函數(shù)〕其中為待定系數(shù)，因?yàn)榻坪瘮?shù)必須滿足邊界條件，所以我們構(gòu)造了這樣一個(gè)函數(shù)。將近似函數(shù)代入泛函，則此時(shí)泛函J已經(jīng)“變質(zhì)〞了，它不再是函數(shù)的函數(shù)〔泛函〕。而實(shí)際上是關(guān)于未知數(shù)的多元函數(shù)J() 普通多元函數(shù)取極值的條件：k=1,2,3,…n從這n個(gè)代數(shù)方程中顯然可以求得等n個(gè)未知數(shù)這里，我們令 ＝ ＝ ＝ ＝＝0得：，所以：檢驗(yàn)：近似解：由解析法得準(zhǔn)確解：述評(píng)：i〕一般而言近似函數(shù)〔試探函數(shù)〕的項(xiàng)數(shù)愈多，到達(dá)的精度愈高。ii〕這個(gè)方法只是從一族假定中給我們最好的解，因此，非常明顯，近似解的準(zhǔn)確度和試探函數(shù)的選擇有關(guān)。iii〕我們要求試探函數(shù)應(yīng)定義在整個(gè)求解區(qū)域上，而且它們至少要滿足一些邊界條件，通常是要滿足全部邊界條件。iv〕通常試探函數(shù)是由次數(shù)連續(xù)增大的多項(xiàng)式構(gòu)成，但在有些情況下，采用其它類型的函數(shù)可能是有好處的。第4.3節(jié)有限單元法一、里茲法的缺乏〔有限元法與里茲法的異同點(diǎn)〕一樣點(diǎn)：兩者實(shí)質(zhì)是一樣，數(shù)學(xué)根底都是泛函變分，求解方法都是以初等函數(shù)〔多項(xiàng)式〕去近似未知函數(shù)，利用普通多元函數(shù)的極值條件來求解多項(xiàng)式中的待定系數(shù)。不同點(diǎn)〔里茲法的缺點(diǎn)〕：ⅰ〕里茲法將近似函數(shù)定義在整個(gè)定義域上，而構(gòu)造近似函數(shù)時(shí)，又要求它滿足所有的邊界條件，所以說定義域的邊界只能是簡單的多邊形或多面體〔它只能應(yīng)用在形狀相當(dāng)簡單的求解區(qū)域上〕，而不能是復(fù)雜形狀的邊界，故適用圍有限；有限元素法將近似函數(shù)定義在一個(gè)單元〔給出未知函數(shù)的分片近似函數(shù)〕，雖然對(duì)單元同樣存在幾何上的限制，但是由于形狀簡單的單元可以被集合起來表示非常復(fù)雜的幾何形狀，因此，有限單元法比里茲法的用途要廣泛得多。有限單元法的近似函數(shù)的自變量〔即待定系數(shù)〕是節(jié)點(diǎn)上的場變量，應(yīng)變量當(dāng)然是單元區(qū)域上各點(diǎn)的場變量。ⅱ〕對(duì)里茲法，一般來說，試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多精度越高；對(duì)有限元法，一般可選用線性〔一次〕多項(xiàng)式試探函數(shù)，通過縮小單元格尺寸提高計(jì)算精度。?！骋话闱闆r下，里玆法要求解出試探函數(shù)表達(dá)式；而有限元法則一般只需求得離散節(jié)點(diǎn)上的未知函數(shù)值。二、有限元法的解題思路〔即一般步驟〕1．有限元方法的一般步驟〔摘錄自其它教材〕：連續(xù)介質(zhì)的離散化把連續(xù)介質(zhì)劃分成很多元素〔單元〕。即使在一個(gè)求解區(qū)域中亦可應(yīng)用不同形狀的元素。指定節(jié)點(diǎn)選擇插值函數(shù)場變量可能是一個(gè)標(biāo)量，或是一個(gè)更高階的量。通常選擇多項(xiàng)式作為場變量的插值函數(shù)，因?yàn)樗鼈円子诜e分和微分，多項(xiàng)式次數(shù)的選擇取決于每個(gè)元素上指定的節(jié)點(diǎn)數(shù)目，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上未知數(shù)的性質(zhì)和數(shù)目以及加在節(jié)點(diǎn)上和元素邊界上的*些連續(xù)性的要求。節(jié)點(diǎn)上場變量的大小以及它的導(dǎo)數(shù)的大小很可能是未知的。求出元素特性應(yīng)用直接法，變分法，加權(quán)余數(shù)法和能量平衡法等四種方法之一，建立表示各個(gè)元素特性的矩陣方程。集合元素特性以求得系統(tǒng)方程組〔總體合成〕將表示元素性態(tài)的矩陣方程組加以合并，形成表示整個(gè)求解區(qū)域或系統(tǒng)性態(tài)的矩陣方程組系統(tǒng)的矩陣方程組和一個(gè)單獨(dú)元素的方程組具有一樣的形式，只是系統(tǒng)方程組包括更多的項(xiàng)，因?yàn)樗鼈儼ㄋ械墓?jié)點(diǎn)?？傮w集合成的根底是：對(duì)于每個(gè)共有*個(gè)互連節(jié)點(diǎn)的元素而言，在這個(gè)節(jié)點(diǎn)上的場變量值是一樣的在準(zhǔn)備求解系統(tǒng)方程組之前，必須引入邊界條件對(duì)系統(tǒng)方程組加以修正求解系統(tǒng)方程組求解系統(tǒng)方程組，可求得場變量的未知節(jié)點(diǎn)值?！?〕按照需求要進(jìn)展附加計(jì)算。利用系統(tǒng)方程組的解來計(jì)算其它的重要參數(shù)。有限元素法的應(yīng)用圍：平衡問題〔或不依賴于時(shí)間的穩(wěn)態(tài)問題〕。定常狀態(tài)的特征值問題，如固體或流體振動(dòng)的固有頻率。傳播問題〔或非穩(wěn)態(tài)問題〕。將時(shí)間量綱參加前兩類問題而產(chǎn)生的新問題。2．有限元法的解題思路〔我的總結(jié)〕***構(gòu)造泛函JD[TD〔*,y〕]={單元體泛函Je[Te(*,y)]與整個(gè)定義域泛函形式一樣},使泛函的極值條件與需要求解的微分方程組等價(jià)〔如傅立葉導(dǎo)熱微分方程和邊界條件構(gòu)成的微分方程組〕。網(wǎng)格剖分：如果將求解區(qū)域D〔以二維平面為例〕劃分為E個(gè)單元〔如三角單元〕和n個(gè)節(jié)點(diǎn)。〔注意單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則〕單元分析：在每個(gè)單元部應(yīng)用溫度近似函數(shù)〔是待定系數(shù)〕，通過解方程可以將待定系數(shù)轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)溫度Tie,Tje,Tme〔待定系數(shù)的轉(zhuǎn)換〕。這樣處理以后，溫度近似函數(shù)寫作：Te=NieTie+NjeTje+NmeTme,一般稱之為溫度插值函數(shù)，其中Nie,Nje,Nme稱為形函數(shù)。將溫度插值函數(shù)Te=NieTie+NjeTje+NmeTme代入單元體泛函Je[Te(*,y)]，單元體泛函Je[Te(*,y)]實(shí)際上變質(zhì)為普通多元函數(shù)Je(Tei,Tje,Tme)。{即：由關(guān)于未知函數(shù)Te(*,y)的泛函Je[Te(*,y)]轉(zhuǎn)化成關(guān)于待定系數(shù)的普通多元函數(shù)Je(Tei,Tje,Tme)}然后求解普通多元函數(shù)Je(Tei,Tje,Tme)對(duì)節(jié)點(diǎn)溫度Tie,Tje,Tme的偏導(dǎo)數(shù),,?！惨?yàn)槔锲澐ㄖ挥幸粋€(gè)單元，而有限元素法包括很多單元，所以它們均不等于零，只有總體合成后才等于零?！硨?duì)全部E個(gè)單元都進(jìn)展類似③的運(yùn)算總體合成：為使泛函Je[Te(*,y)]取得極值，要求其中k=1,2,3…,n上式包含n個(gè)代數(shù)方程，解之可得n個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度。三、溫度場泛函〔與傅里葉導(dǎo)熱微分方程等價(jià)的泛函表達(dá)式〕一般來說，泛函可根據(jù)物理學(xué)原理〔如熵的最大化，能量最低原量等〕或者由微分方程推導(dǎo)而來，具體的推導(dǎo)過程已超出了課程的圍。對(duì)于一個(gè)二維穩(wěn)態(tài)溫度場，函數(shù)族所構(gòu)成的泛函:式中D表示溫度場所對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域。對(duì)于一個(gè)二維非穩(wěn)態(tài)溫度場，函數(shù)族所構(gòu)成的泛函，理論上:但實(shí)際上，目前非穩(wěn)態(tài)溫度場的處理并不采用上式，而是先把t〔或〕當(dāng)作常數(shù)〔即先把非穩(wěn)態(tài)溫度場作為穩(wěn)態(tài)溫度場處理〕，然后將用一價(jià)差商代替。泛函J的形式與原微分方程及其邊界條件密切相關(guān)，原微分方程和邊界條件決定泛函J的形式?！苍⒎址匠虥Q定了泛函在區(qū)域部的積分式，邊界條件決定了泛函在區(qū)域邊界上的積分式〕一般形式傅立葉方程所描述的溫度場的泛函微分方程的一般形式其中：表示單位體積熱源的發(fā)熱強(qiáng)度；k*，ky，kz表示不同坐標(biāo)方向上的導(dǎo)熱系數(shù)，且導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度不同亦即隨坐標(biāo)位置〔*,y,z〕不同而變化。邊界條件的一般形式可表示為其中：h為綜合換熱系數(shù)；T∞是環(huán)境溫度；q為單位邊界外表上的熱流強(qiáng)度；分別為邊界曲面S外法線的方向余弦。與上述二式對(duì)應(yīng)的泛函無熱源三維穩(wěn)態(tài)溫度場,但時(shí)，泛函由于q’=0,,故無熱源三維穩(wěn)態(tài)溫度場的泛函，且(并且是一常數(shù))假設(shè)同時(shí)具備第三類邊界條件，即〔對(duì)流和輻射換熱邊界條件〕，為邊界外法線方向上的溫度梯度其中:是常數(shù)2〕假設(shè)具備第二類邊界條件〔邊界上熱流〕,則此時(shí)3〕假設(shè)具備第一類邊界條件〔外表溫度〕則,因?yàn)樵谶@種邊界條件下,邊界上溫度是固定的，邊界上的積分為常數(shù)，其變分為零，因而在泛函J中沒有與有關(guān)的項(xiàng)。4．無熱源二維穩(wěn)態(tài)溫度場，且(并且是一常數(shù))1〕假設(shè)具備第三類邊界條件：〔改〕教材p117寫作兩者差一常數(shù),完全等價(jià)。2〕假設(shè)具備第二類邊界條件：3〕假設(shè)具備第一類邊界條件：四、網(wǎng)格剖分網(wǎng)絡(luò)剖分亦稱為時(shí)空離散化，就是將時(shí)間和空間分割成假設(shè)干有限的小單元?！惨弧硶r(shí)間離散化對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，只涉及空間的剖分。而對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，目前對(duì)這類方程的泛函變分問題尚未很好解決，通常的處理方法是在空間域用有限單元網(wǎng)格劃分，而在時(shí)間域則用有限差分網(wǎng)格劃分〔即：有限元法處理空間變量，有限差分法處理時(shí)間變量〕。具體而言，有兩種處理方式〔兩種處理方法得到的結(jié)果完全一樣〕：(1)令時(shí)間變量暫時(shí)固定，即先考慮在*一瞬間對(duì)泛函變分，然后再考慮t的變化，把用差分展開為〔亦可采用其它差分格式〕。(2)先把用差分展開為〔亦可采用其它差分格式〕，然后進(jìn)展泛函變分運(yùn)算，而在變分運(yùn)算過程中，把與均作為常量處理〔，即作為變量〕。〔二〕空間離散化有限元法〔FiniteElementMethod，簡稱FEM〕，它的最大特點(diǎn)是單元形狀和疏密程度可以任意變化，因而對(duì)具有復(fù)雜幾何形狀和條件的物體極為適用。1．網(wǎng)格剖分的規(guī)則從理論上說，有限元法可以采用多種形狀的多邊形或多面體網(wǎng)格單元，但是通常以三角形和四邊形單元用得最多。平面溫度場計(jì)算一般取三角形網(wǎng)絡(luò)，三角形的形狀和疏密程度可任意變化，對(duì)復(fù)雜形狀的物體尤其能顯示其優(yōu)點(diǎn)。網(wǎng)格剖分的規(guī)則：〔結(jié)合課本P115圖4.7講解規(guī)則的應(yīng)用〕〔1〕一個(gè)單元中只能包含一種材料。〔2〕不能把一個(gè)三角形的頂點(diǎn)取在另一個(gè)三角形的邊上?！?〕把求解區(qū)域劃分為部單元和邊界單元，規(guī)定邊界單元只能有一條邊落在邊界上〔注意：對(duì)曲線邊界，實(shí)際是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)落在邊界上〕。求解區(qū)域的邊界為曲線時(shí)，剖分時(shí)用直線代替，并取為三角形單元的一邊。〔4〕三角形的三條邊的長度不宜相過大，圖為計(jì)算精度受單元最長邊長與最短邊長之比值的控制。2．單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則為了減少失誤，提高計(jì)算效率，便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)有一定規(guī)則：〔1〕單元編號(hào)規(guī)則〔結(jié)合課本P115圖4.7講解規(guī)則的應(yīng)用〕單元分為兩大類：部單元，邊界單元單元編號(hào)規(guī)則：先編部單元后編邊界單元，一、二、三類邊界單元依次編排。〔原因是單元體泛函由依序由簡單到復(fù)雜，有助于簡化總體合成后矩陣方程中的系數(shù)矩陣，從而提高算法效率。其原因仍然有待進(jìn)一步深入思考〕記作：①②③④⑤…〔2〕節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則每一個(gè)節(jié)點(diǎn)分別有兩個(gè)序號(hào)：局部序號(hào)，全局序號(hào)節(jié)點(diǎn)全局序號(hào)編號(hào)規(guī)則：〔結(jié)合課本P136圖4.11講解規(guī)則的應(yīng)用〕依序編排，力求使鄰近節(jié)點(diǎn)的編號(hào)盡可能接近，尤其是同一單元中三個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)相差不宜太大?！苍颍汉侠淼鼐幣殴?jié)點(diǎn)全局序號(hào)，可以使得總體合成后矩陣方程中的系數(shù)矩陣有規(guī)則地分布在主對(duì)角線附近相對(duì)狹小的寬度，構(gòu)成所謂帶狀矩陣。這種對(duì)稱正定帶狀矩陣對(duì)利用消去法求解極為有利，有助于大大提高算法效率?！秤涀鳎?，2，3，4…節(jié)點(diǎn)局部序號(hào)編號(hào)規(guī)則：(Ⅰ)部單元：i，j，m按逆時(shí)針方向依次編排，起始位置可以是任意的；(Ⅱ)邊界單元：對(duì)于三角形單元，節(jié)點(diǎn)i與邊界相對(duì)〔即節(jié)點(diǎn)〕，i，j，m逆時(shí)針方向依次編排；對(duì)于其他多邊形單元，保證j，m落在邊界上。記作：i，j，m，…五、單元分析1.溫度插值函數(shù)溫度插值函數(shù)實(shí)際上就是里茲法試探函數(shù)〔近似函數(shù)〕的變形。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。1.1單元部的溫度插值函數(shù)設(shè)三角形單元e上的溫度是*，y的線性函數(shù)，即其中：為待定系數(shù)將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及溫度代入得寫成矩陣形式：利用矩陣求逆的方法，可以解出待定系數(shù)式中：為三角形單元的面積，其值為〔為了使面積不為負(fù)值，故要求節(jié)點(diǎn)的局部序號(hào)i,j,m必須按逆時(shí)針方向排列〕將<2>式代入<1>式，得<3>上式通?？梢院唽懗墒街蟹Q為形狀因子，形狀函數(shù)或簡稱形函數(shù)。1.2單元邊界上的溫度插值函數(shù)〈4〉式適用于整個(gè)單元區(qū)域，對(duì)于單元邊界當(dāng)然也是適用的，但是，根據(jù)線性插值的概念，既然單元邊界jm上兩節(jié)點(diǎn)的溫度分別為和，則直線jm上任意一點(diǎn)的溫度應(yīng)在和之間呈線性變化，而與無關(guān)，這樣在邊界上就可以構(gòu)造一個(gè)更加簡單的插值函數(shù)式中g(shù)為一參變量，；g=0對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)j，g=1對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)m。1.2邊界弧長〔積分變量〕s與參變量g的關(guān)系顯然jm的邊長是一個(gè)數(shù)而曲線積分中的邊界弧長變量s與間的關(guān)系可利用g聯(lián)系起來2.單元變分運(yùn)算〔即普通多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算〕2.1二維穩(wěn)態(tài)溫度場單元變分計(jì)算〔實(shí)際上可理解為偏導(dǎo)計(jì)算，因?yàn)橛脺囟炔逯岛瘮?shù)代泛函以后，泛函實(shí)際上已經(jīng)成為一個(gè)普通多元函數(shù)〕2.1.1第三類邊界單元變分計(jì)算<1>〔我不成熟的理解：泛函表達(dá)式的第二局部原來也是對(duì)整個(gè)單元的面積分，但是被積函數(shù)只有在邊界上才有非零值，所以轉(zhuǎn)換成了邊界的線積分〕泛函表達(dá)式的第二局部,對(duì)整個(gè)求解區(qū)域而言，邊界一般是封閉的，記作“〞；然而對(duì)*個(gè)單元而言，邊界一般是不封閉的，記作“〞。將三角形單元部的插值公式以及邊界上的插值公式代入泛函，泛函實(shí)際上變成了普通多元函數(shù)求，，可以采用兩種方法：(1)先將插值公式代入<1>式，然后再求，，<1>單元部插值函數(shù)：單元邊界插值函數(shù)：積分變量的轉(zhuǎn)換：接下去，重點(diǎn)看以下推導(dǎo)過程的后半局部。同理：寫成矩陣形式<2>其中(2)先推導(dǎo)變分公式，再將插值函數(shù)代入令，則同理可求得，〔后續(xù)推導(dǎo)略〕2.1.2部單元變分計(jì)算部單元的泛函<3>將三角形單元部的插值公式以及邊界上的插值公式代入泛函，泛函實(shí)際上變成了普通多元函數(shù)求，，可以采用兩種方法：(1)先將插值公式代入<3>式，然后再求，，<3>單元部插值函數(shù)：同理同理：寫成矩陣形式其中從形式上說，部單元的變分結(jié)果與邊界單元根本一樣；從本質(zhì)上說，僅需令邊界單元變分結(jié)果中的，即可得部單元的變分結(jié)果。(2)先推導(dǎo)變分公式，再將插值函數(shù)代入令，則同理可求得，〔后續(xù)推導(dǎo)略〕2.2二維非穩(wěn)態(tài)溫度場單元變分計(jì)算，無熱源二維非穩(wěn)態(tài)溫度場泛函變分問題尚未很好解決，目前采用的處理方法有兩種：①先用有限元法處理空間域，后用有限差分法處理時(shí)間域②先用有限差分法處理時(shí)間域，后用有限元法處理空間域我們采用前一種處理方法。二維非穩(wěn)態(tài)溫度場泛函〔先固定時(shí)間變量，即先把看作常數(shù)〕：2.2.1第三類邊界單元變分計(jì)算無熱源二維非穩(wěn)態(tài)溫度場第三類邊界單元泛函無熱源二維穩(wěn)態(tài)溫度場第三類邊界單元泛函兩者相比擬，僅有項(xiàng)是新的，并且我們在整個(gè)變分運(yùn)算〔實(shí)際上是普通函數(shù)積分運(yùn)算〕過程中，把作為常數(shù)處理。因此可以證明得到：同理可得：寫成矩陣形式注意：此處的并