反函數(shù)求解及性質(zhì)

第5講：反函數(shù)【復(fù)習(xí)要求】理解反函數(shù)的意義，會(huì)求一些函數(shù)的反函數(shù)。經(jīng)歷探索互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像之間關(guān)系的過(guò)程，掌握利用與的性質(zhì)解決一些問(wèn)題．【教學(xué)重點(diǎn)】反函數(shù)的求法，反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系．【知識(shí)要點(diǎn)】1、反函數(shù)的概念：對(duì)于函數(shù)，設(shè)它的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，?duì)應(yīng)法則為，如果對(duì)于每一個(gè)值，都有唯一的，滿足，這樣得到的關(guān)于的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作，〔〕。2、求反函數(shù)的一般步驟：〔1〕解出；〔2〕互換、；〔3〕寫出反函數(shù)的定義域〔即原函數(shù)的值域〕。注：求分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)再合成。反函數(shù)的性質(zhì)：〔1〕．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=*對(duì)稱；即：兩個(gè)互為反函數(shù)的圖像如果有交點(diǎn)，它們的交點(diǎn)不一定都在直線y＝*上〔2〕．具有單調(diào)性的函數(shù)必有反函數(shù)，且他們的單調(diào)性一樣。但反之不一定成立。〔3〕．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在它們各自的定義域具有一樣的單調(diào)性．〔4〕．一般的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)(但一種特殊的偶函數(shù)存在反函數(shù),例f(*)=a(*=0)它的反函數(shù)是f(*)=0(*=a)這是一種極特殊的函數(shù))，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。假設(shè)一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)?！?〕．函數(shù)y=f(*)的定義域是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)y＝f(*)的值域是它的反函數(shù)的定義域．〔6〕．假設(shè)y=f(*)(*∈A)，與(*∈C)互為反函數(shù)，則有()()〔7〕．*=f(y)與是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊亩x域、值域?qū)?yīng)一樣(都分別是原來(lái)函數(shù)的值域和定義物)，對(duì)應(yīng)法則一樣；〔8〕．的反函數(shù)；的反函數(shù)為：；【典型例題】類型1：判斷一個(gè)函數(shù)是否存在反函數(shù)例1、“函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)〞是“函數(shù)有反函數(shù)〞的充分不必要條件。例2、判斷以下說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由?！?〕奇函數(shù)一定有反函數(shù)。〔錯(cuò)，反例：三角函數(shù)〕〔2〕偶函數(shù)一定沒(méi)有反函數(shù)?！插e(cuò)，反例：f(*)=0〕〔3〕原函數(shù)與其反函數(shù)交點(diǎn)必在直線上?！插e(cuò)反例：〕例3、判斷以下函數(shù)是否存在反函數(shù)：〔1〕〔無(wú)〕〔2〕〔有〕〔無(wú)〕例4、函數(shù)〔定義域?yàn)?，值域?yàn)椤秤蟹春瘮?shù)，則方程有解，且的充要條件是滿足。類型2：怎樣求簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)例5、求以下函數(shù)的反函數(shù)：〔1〕〔2〕〔3〕類型3：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像的對(duì)稱性的應(yīng)用例6、解決以下有關(guān)反函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)問(wèn)題：〔1〕、假設(shè)函數(shù)互為反函數(shù)，則，3?！?〕、函數(shù)的反函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)〔-2，-3〕對(duì)稱?！?〕、函數(shù)的值?！病场?〕、函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，假設(shè)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________；答案：例7、函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，求的值．解：由得，∴，由題知：，，∴例8、假設(shè)既在的圖象上，又在它反函數(shù)圖象上，求的值．解：∵既在的圖象上，又在它反函數(shù)圖象上，∴，∴，∴類型4：怎樣求復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)例9、，求【解】例10、設(shè)，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求的值?！敬鸢浮俊?10〕例11、〔1〕函數(shù)，求；函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試求函數(shù)的表達(dá)式；【解】〔1〕先求，再求，最后求得，；〔2〕類型10：有關(guān)反函數(shù)的綜合問(wèn)題例12、，〔1〕求的反函數(shù)；〔2〕假設(shè)不等式，對(duì)一切恒成立，求的取值圍。解：〔1〕〔2〕依題意得：對(duì)恒成立即：對(duì)恒成立令，則對(duì)恒成立設(shè)當(dāng)時(shí)，，舍；當(dāng)時(shí)，得：*例13、，是上的奇函數(shù)．求的值；求的反函數(shù)；對(duì)任意的解不等式．解〔1〕由題知，得，此時(shí)，即為奇函數(shù)．〔2〕∵，得，∴．〔3〕∵，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，原不等式的解集，②當(dāng)時(shí)，原不等式的解集【課后練習(xí)】A組1．函數(shù)的反函數(shù)是(D)A．B．C．D．2．函數(shù)的反函數(shù)是(B)A．B．C．D．3．函數(shù)在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充分必要條件是(D)A．a(chǎn)∈(-∞,1]B．a(chǎn)∈[2,+∞)C．a(chǎn)∈[1,2]D．a(chǎn)∈(-∞,1]∪[2,+∞]4．函數(shù)的反函數(shù)圖像是(C)AA．D．C．B．5．假設(shè)函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，且，則(A)A．B．C．D．26．函數(shù),假設(shè)則實(shí)數(shù)a的取值圍是(C)A．B．CD7．設(shè)函數(shù)f(*)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱,且存在反函數(shù),f(4)=0,則=-28．假設(shè)f(*)為一次函數(shù),且,則f(*)=or9．假設(shè)的反函數(shù)為自身,則a=-210．=(*<-1)，則=-211．函數(shù)的反函數(shù)是(*∈R,*≠2)，求a,b,c的值．a(chǎn)=2,b=1,c=-3．12．函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線y=*對(duì)稱,求的值．提示：法2:由題設(shè)知的反函數(shù)g(*)，又的反函數(shù)為f(*)-1∴g(*)=f(*)-1∴B組知函數(shù)，是的反函數(shù)，假設(shè)，則________；【答案】-22．假設(shè)〔其中〕，則函數(shù)與的圖像關(guān)于對(duì)稱．【答案】軸3．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，且的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的反函數(shù)的圖像必過(guò)點(diǎn)〔〕A、 B、 C、 D、【答案】C4．函數(shù)存在反函數(shù)，假設(shè)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)〔〕A、 B、 C、 D、【答案】C5．函數(shù)是否存在反函數(shù)，假設(shè)存在，請(qǐng)求出來(lái)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】略求與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)．【答案】由可得，即，即 所求函數(shù)7．函數(shù)是的反函數(shù)，定義：假設(shè)對(duì)給定的