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文檔簡介
2022-2023學(xué)年山東省青島市萊西市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1.對(duì)于下列四個(gè)命題:①滿足的復(fù)數(shù)只有、;②若、,且,則是純虛數(shù);③復(fù)數(shù)的充要條件是;④在復(fù)平面內(nèi),軸叫做實(shí)軸,軸叫做虛軸.其中真命題的個(gè)數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】解方程,可判斷①;取,可判斷②;設(shè),由可求得的值,可判斷③;利用復(fù)平面的相關(guān)知識(shí)可判斷④.【詳解】對(duì)于①,由可得,解得,①錯(cuò);對(duì)于②,當(dāng)時(shí),則,此時(shí),為實(shí)數(shù),②錯(cuò);對(duì)于③,設(shè),若,所以,復(fù)數(shù)的充要條件是,③對(duì);對(duì)于④,在復(fù)平面內(nèi),軸叫做實(shí)軸,軸叫做虛軸,④對(duì),所以,真命題的個(gè)數(shù)為.故選:C.2.若直線不平行于平面,且,則下列結(jié)論成立的是(
)A.內(nèi)不存在與異面的直線 B.內(nèi)存在與平行的直線C.內(nèi)存在唯一一條直線與相交 D.內(nèi)存在與垂直的直線【答案】D【分析】利用圖形判斷A選項(xiàng);利用反證法可判斷B選項(xiàng);設(shè),取內(nèi)所有過點(diǎn)的直線可判斷C選項(xiàng);利用線面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橹本€不平行于平面,且,則直線與平面相交,對(duì)于B選項(xiàng),若內(nèi)存在與平行的直線,則,且,,則,與題設(shè)矛盾,B錯(cuò);對(duì)于A選項(xiàng),如下圖所示:
設(shè),設(shè)直線滿足,且,在平面內(nèi)存在直線,使得,且,由A選項(xiàng)可知,與不平行,若,則、,且、,從而有,與題設(shè)矛盾,故與異面,即在平面內(nèi)存在直線與直線異面,A錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),設(shè),則平面內(nèi)所有過點(diǎn)的直線均與直線相交,C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),設(shè),在直線上取異于點(diǎn)的一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn),連接,
在平面內(nèi)存在直線,使得,因?yàn)?,,則,因?yàn)椋?、平面,所以,平面,因?yàn)槠矫妫?,,故?nèi)存在與垂直的直線,D對(duì).故選:D.3.如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多,則下列敘述一定錯(cuò)誤的是(
)A.?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值 B.這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的C.?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值 D.?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【答案】B【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的定義說明.【詳解】中位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的一般水平,平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平,如果這兩者差不多,說明數(shù)據(jù)分布較均勻,也可以看作近似對(duì)稱,但現(xiàn)在它們相關(guān)很大,說明其中有異常數(shù)據(jù),有極端大的值,眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),可能不止一個(gè),當(dāng)然可以和中位數(shù)相同,因此只有B錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)特征,掌握它們的概念是解題基礎(chǔ).4.拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)事件“第一枚硬幣正面向上”,事件“第二枚硬幣反面向上”;下列結(jié)論正確的是(
)A. B.與互斥C.與相等 D.與是對(duì)立事件【答案】A【分析】根據(jù)事件發(fā)生的結(jié)果,仔細(xì)辨別對(duì)立事件、互斥事件和相等事件即可.【詳解】A選項(xiàng),因?yàn)椋裕蔄選項(xiàng)正確;B選項(xiàng),事件與可以同時(shí)發(fā)生,所以與不是互斥事件,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng),事件與可以同時(shí)發(fā)生,也可能不同時(shí)發(fā)生,所以與不相等,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;D選項(xiàng),事件與可以同時(shí)發(fā)生,所以與不是對(duì)立事件,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:A.5.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)(
)A.向左平移個(gè)單位長度,然后把圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍B.向右平移個(gè)單位長度,然后再把圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍C.向左平移個(gè)單位長度,然后再把圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍D.向右平移個(gè)單位長度,然后再把圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍【答案】A【分析】用輔助角公式先把函數(shù)化為,再用三角函數(shù)的圖象變換法則即可求解.【詳解】因?yàn)?,把的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后,得到的圖象,然后再把圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍即可得到的圖象.故選:A6.已知,,點(diǎn)P在直線上,且,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
)A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,表示出,的坐標(biāo),由且P在直線上,故分或兩種情況討論,根據(jù)向量相等得到方程組,解得.【詳解】解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,,則,.由且點(diǎn)P在直線上,得或.∴或解得或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.故選:【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.對(duì)于,若存在,滿足,則稱為“類三角形”.“類三角形”一定滿足.A.有一個(gè)內(nèi)角為 B.有一個(gè)內(nèi)角為C.有一個(gè)內(nèi)角為 D.有一個(gè)內(nèi)角為【答案】B【分析】由對(duì)稱性,不妨設(shè)和為銳角,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡求值即可.【詳解】解:由對(duì)稱性,不妨設(shè)和為銳角,則A,B,所以:+=π﹣(A+B)=C,于是:cosC=sin=sin(+)=sinC,即:tanC=1,解得:C=45°,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值,注意新定義運(yùn)算法則,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.8.在三棱錐中,,若該三棱錐的體積為,則三棱錐外接球的體積為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由題意可得等腰直角三角形和等腰直角三角形,取的中點(diǎn),明確其為外接球的球心,根據(jù)線面垂直的判定定理,分割三棱錐,利用其體積公式,求得半徑,結(jié)合球的體積公式,可得答案.【詳解】由題意可作圖如下:
設(shè)的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)椋?,,所以,所?所以為三棱錐外接球的球心,設(shè)其半徑為,又,且,所以,,則,又由,,且,平面,則平面所以,解得,所以外接球的體積.故選:B.二、多選題9.已知復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù):的點(diǎn)為,則下列結(jié)論中正確的為(
)A.若,則 B.若在直線上,則C.若為純虛數(shù),則 D.若在第四象限,則【答案】CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念直接判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A,若,則,得,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)樵谥本€上,所以,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若為純虛數(shù),則,即,此時(shí)虛部不為0,故C正確;對(duì)于D,若在第四象限,則,解得,故D正確.故選:CD10.為調(diào)查禽類某種病菌感染情況,某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪成如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)該頻率分布直方圖,對(duì)于這5000只家食血液樣本中的指標(biāo)值,下列的敘述正確的為(
)
A.估計(jì)指標(biāo)值的中位數(shù)為 B.估計(jì)A指標(biāo)值的80%分位數(shù)為9C.估計(jì)A指標(biāo)值的眾數(shù)為7.5 D.估計(jì)A指標(biāo)值的第25百分位數(shù)為【答案】ABD【分析】根據(jù)題意,由頻率分布直方圖分別計(jì)算中位數(shù),眾數(shù)以及百分位數(shù)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知,,解得,因?yàn)?,,所以中位?shù)在之間,設(shè)中位數(shù)為,則,解得,故A正確;觀察頻率分布直方圖可得,的頻率最大,所以眾數(shù)為8,故C錯(cuò)誤;由頻率分布直方圖可知,前兩組的頻率之和為,小于,所以第25百分位數(shù)位于第3組,則,故D正確;且前四組的頻率之和為,所以80%分位數(shù)為9,故B正確;故選:ABD11.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為、、、的四個(gè)球,除了標(biāo)號(hào)外沒有其它差異,現(xiàn)采用不放回方式從中任意摸球兩次,設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”,事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”,則下列選項(xiàng)正確的為(
)A. B. C. D.【答案】BC【分析】列舉出所有的基本事件,確定每個(gè)選項(xiàng)中各事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得各選項(xiàng)中事件的概率.【詳解】采用不放回方式從中任意摸球兩次,所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、,共種,對(duì)于A選項(xiàng),事件包含的基本事件有:、、、、、,共種,則,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),事件包含的基本事件有::、、、、、、、、、,共種,則,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),事件包含的基本事件有:、,共種,故,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),事件包含的基本事件有:、、、、、,共種,故,D錯(cuò).故選:BC.12.三棱錐滿足下列兩個(gè)條件:①;②.若,記二面角的大小為,則下列選項(xiàng)中可以取到的為(
)A. B. C. D.【答案】CD【分析】設(shè),,,將三棱錐沿著、、剪開,然后將、分別沿著、都展開在所在的平面內(nèi),延長、交于點(diǎn),則四邊形為正方形,計(jì)算得出,在三棱錐中,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,連接,推導(dǎo)出,利用基本不等式計(jì)算的取值范圍,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出的范圍,即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè),,,將三棱錐沿著、、剪開,然后將、分別沿著、都展開在所在的平面內(nèi),如下圖所示,得五邊形,由題設(shè)知,,延長、交于點(diǎn),則四邊形為正方形,且,,,在中,有,互,解得,在三棱錐中,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,連接,因?yàn)椋?,、平面,所以,平面,因?yàn)槠矫?,所以,,因?yàn)?,,、平面,所以,平面,因?yàn)槠矫?,所以,,故為二面角的平面角,則,因?yàn)槠矫?,平面,所以,,故,在中,,在中,,從而,而余弦函?shù)在時(shí)單調(diào)遞減,所以,,故選:CD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求二面角常用的方法:(1)幾何法:二面角的大小常用它的平面角來度量,平面角的作法常見的有:①定義法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性質(zhì);(2)空間向量法:分別求出兩個(gè)平面的法向量,然后通過兩個(gè)平面法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.三、填空題13.若圓錐的底面半徑為,其側(cè)面展開圖的面積為,則該圓錐的高為.【答案】【分析】求出圓錐的母線長,利用勾股定理可求得該圓錐的高.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長為,高為,圓錐的側(cè)面積為,可得,因此,該圓錐的高為.故答案為:.14.已知,則在上的投影向量的坐標(biāo)為;【答案】【分析】根據(jù)題意,先由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到,然后由投影向量的定義,代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,則在上的投影向量的坐標(biāo)為:.故答案為:.15.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字,記為,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字把乙猜的數(shù)字記為,且,,若,則稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲,得出他們”心有靈犀”的概率為.【答案】【分析】由題意知是古典概型,從0~9中任意取兩個(gè)數(shù)共有100種取法,列出滿足所有可能情況,代入公式得到結(jié)果.【詳解】由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從,,,,,,,,,十個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)共有種不同的結(jié)果,則的情況有;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;共種情況,他們”心有靈犀”的概率為.故答案為:.16.設(shè)銳角三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,,則的取值范圍為.【答案】【詳解】由正弦定理及有,所以,則,由已知有,所以.點(diǎn)睛:本題主要考查了正弦定理,兩角差正弦公式以及兩角和正弦公式的逆用,屬于中檔題.本題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些公式.四、解答題17.已知復(fù)數(shù)和滿足:,若,求和.【答案】答案見解析【分析】由可得,代入化簡,然后設(shè)代入上式化簡,再利用復(fù)數(shù)相等的條件列方程組可求得結(jié)果.【詳解】解:由可得:,將其代入可得:,設(shè),則,化簡得,∴解之得:或,或
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.18.試分別解答下列兩個(gè)小題:(1)設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),記事件“方程沒有實(shí)根”,事件“方程有且僅有一個(gè)實(shí)根”,求.(2)甲、乙、丙三位同學(xué)各自獨(dú)立地解決同一個(gè)問題,已知這三位同學(xué)能夠正確解決這個(gè)問題的概率分別為,記“三人中只有一個(gè)人正確解決了這個(gè)問題”,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)用古典概型的概率公式分別算出和,進(jìn)而可得結(jié)果;(2)分別計(jì)算出只有甲、乙、丙正確解決這個(gè)問題的概率,從而可得.【詳解】(1)設(shè)樣本空間為,則,樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為36個(gè),,為滿足,必須:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為17個(gè),,
,為滿足,必須:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè),
(2)∵這三位同學(xué)能夠正確解決這個(gè)問題的概率分別為,∴僅甲同學(xué)單獨(dú)解決了這個(gè)問題的概率為:
僅乙同學(xué)單獨(dú)解決了這個(gè)問題的概率為:
僅丙同學(xué)單獨(dú)解決了這個(gè)問題的概率為:
19.如圖,在三棱錐中,作平面,垂足為,連接并延長交棱于點(diǎn)為棱上的一點(diǎn),若,二面角的大小與相等,求證:平面.
【答案】證明見解析【分析】連接,推出平面,,得為二面角的平面角,根據(jù)推出,再根據(jù)線面垂直的判定可得平面.【詳解】連接,平面,平面,,,平面,平面,因?yàn)槠矫妫?,因?yàn)槠矫?,又,為二面角的平面角,,平面平面,又,,,從而,平面平?/p>
20.試分別解答下列兩個(gè)小題:(1)已知向量和都是非零向量,且與垂直,與垂直,記向量與的夾角為,求.(2)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若.試將表示成關(guān)于的表達(dá)式,并求出的取值范圍.【答案】(1)(2);【分析】(1)由已知可得,解得,然后利用向量的夾角公式求解出,再利用兩角差的正切公式可求得結(jié)果;(2)利用數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理可得,再利用基本不等式求出的范圍,從而可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)榕c垂直,與垂直,所以,,解得,所以,因?yàn)?,所以,所以,?)因?yàn)?,所以,因?yàn)樗?/p>
所以,因?yàn)?,,,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以所以21.如圖,四邊形是邊長為2的正方形,平面,且為的中點(diǎn).
(1)求證:;(2)設(shè)平面平面與直線所成的角為,求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)過作交于,連接,然后利用三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形為平行四邊形,則,由已知線面垂直可得,從而可證得結(jié)論;(2)延長和交于點(diǎn),連接和,則可得與重合,證得,從而可得為與直線所成的角,進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】(1)過作交于,連接,
為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,且,∴四邊形為平行四邊形,
平面,面,,∴
(2)延長和交于點(diǎn),連接和,∵平面平面,與重合,,∴∽,從而,∵四邊形是正方形,,從而為平行四邊形,
由(1)可知,,為與直線所成的角,即,
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