2022-2023學(xué)年山東省青島市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部與實部互為相反數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)虛部，實部定義可得答案.【詳解】由題，，則．故選：B2．圓錐和圓柱的底面半徑?高都是，則圓錐的表面積和圓柱的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接求出圓錐或圓柱的全面積，即可確定二者的比值．【詳解】由題意圓錐的全面積為：圓柱的全面積為：所以，圓錐的全面積與圓柱的全面積之比為：故選：A【點睛】本題考查圓錐、圓柱的全面積，正確應(yīng)用面積公式是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．3．中國營養(yǎng)學(xué)會把走路稱為“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強心肺功能、血管彈性、肌肉力量等．下圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖：則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600 B．乙的日步數(shù)星期四比星期三增加了1倍以上C．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙 D．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙【答案】B【分析】對于A：直接求出中位數(shù)；對于B：求出乙的星期三和星期四步數(shù)，計算可得；對于C：分別計算出甲、乙平均數(shù)，即可判斷；對于D：分別計算出甲、乙方差，即可判斷；【詳解】對于A：甲的步數(shù)：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.從小到大排列為：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位數(shù)是11600.故A正確；對于B：乙的星期三步數(shù)7030，星期四步數(shù)12970.因為，所以沒有增加1倍上.故B不正確；對于C：，.所以.故C正確；對于D：所以.故D正確；故選：B.4．已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【答案】B【分析】利用三角形重心的性質(zhì)及平面向量的線性運算，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】如圖所示是的重心，,,,,，即，點為的中點，即點為邊中線的兩個三等分點，，，故選：B.5．如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求異面直線所成的角的余弦值，再得正弦值．【詳解】由題意以為軸建立空間直角坐標系，如圖，，，，，又，．，則，設(shè)異面直線與所成角為，則，為銳角，，所以．故選：D．6．已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設(shè)表示事件“3件產(chǎn)品

全不是次品”，表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是

次品”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與互斥 B．與互斥但不對立C．任意兩個事件均互斥 D．與對立【答案】D【分析】列出基本事件，再結(jié)合互斥事件，對立事件的定義即可判斷.【詳解】設(shè)1表示取到正品,0表示取到次品，所有事件則故與不互斥，故A,C錯故與互斥且對立,故B錯，D正確故選：D7．如圖，在中，，，直線交于點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三點共線可得存在實數(shù)使得，再由三點共線可解得，利用向量的線性運算化簡可得，即.【詳解】根據(jù)圖示可知，三點共線，由共線定理可知，存在實數(shù)使得,又，所以，又三點共線，所以，解得，即可得，所以，所以，即，可得，又，即可得.故選：A8．我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”中，，?分別是和的中點，則平面截“塹堵”所得截面圖形的面積為A． B． C． D．【答案】A【分析】延長，與的延長線交于點，則平面.連接，與交于點，連接，可得截面圖形，然后計算其面積.【詳解】延長，與的延長線交于點，則平面.連接，與交于點，連接，得到的四邊形就是平面截“塹堵”所得截面圖形.由已知可求得：,由∽，可得,,.∴截面面積.故選：A【點睛】本題考查作出平面截空間立體幾何圖形的截面并計算其面積，屬于中檔題.二、多選題9．某團隊共有20人，他們的年齡分布如下表所示，年齡28293032364045人數(shù)1335431有關(guān)這20人年齡的眾數(shù)、極差、百分位數(shù)說法正確的有（

）A．眾數(shù)是32 B．眾數(shù)是5 C．極差是17 D．25%分位數(shù)是30【答案】ACD【分析】根據(jù)人數(shù)最多確定眾數(shù)；最大值減去最小值為極差；利用分位數(shù)的定義求解25%分位數(shù).【詳解】年齡為32的有5人，故眾數(shù)是32，A正確，B錯誤；45-28=17，極差為17，C正確；因為，所以，故25%分位數(shù)是30，D正確.故選：ACD10．已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則B．若，，則C．若，則D．若，，則與所成的角和與所成的角相等【答案】BD【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系、等角定理，結(jié)合圖形，通過舉反例進行判斷.【詳解】對于A，根據(jù)已知條件，可得如下圖的反例：

故A錯誤；對于B，若，則垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，又，由等角定理可知，，故B正確；對于C，根據(jù)已知條件，可得如下圖的反例，n在面α內(nèi)：

故C錯誤；對于D，若，，根據(jù)等角定理以及線面角的定義可知，與所成的角和與所成的角相等，故D正確.故選：BD.11．已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．的最大值為 B．若，則C．若是與共線的單位向量，則 D．當取得最大值時，【答案】AD【分析】設(shè)，，利用向量的減法的幾何意義可判定A；利用向量的數(shù)量積運算法則轉(zhuǎn)化為，可判定B；根據(jù)與共線的單位向量有兩個相反的方向，可以否定C；利用向量的數(shù)量積等于一個向量的模與另一個向量在第一個向量上的投影的乘積，轉(zhuǎn)化為求何時向量在向量上的投影最大，利用向量共線且方向相同的坐標表示即可判定D.【詳解】∵，∴是單位向量，設(shè)，，則，當，方向相反，即時取等號，∴的最大值為，故A正確；等價于即，即，∴，故B錯誤；與共線的單位向量為，故Ｃ錯誤；最大，當且僅當向量在向量上的投影最大，即向量與同向，亦即，此時，故D正確.故選：AD12．已知正方體的棱長為1，點為線段上的動點，則（

）A．//平面B．的最小值為C．直線與平面、平面、平面所成的角分別為，則D．點關(guān)于平面的對稱點為，則到平面的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)結(jié)合線面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、線面夾角的定義、點到平面的距離，逐項盤點即可得答案.【詳解】對于A，如圖連接

在正方體中，因為，所四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得，又平面，平面，所以平面，由平面，所以平面平面，因為平面，所以，故A正確.對于B，如圖將平面和平面展開到同一個平面，連接

的最小值即為，在正方體可得平面，平面，所以，且，所以則平面中，由余弦定理得，即，故B錯誤；對于C，如圖，過作于，

于，平面于，連接

由正方體易得平面，平面，又直線與平面、平面、平面所成的角分別為，所以，則，因為平面，平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在矩形中可得，所以，在中，，所以，即，故C正確；對于D，連接，連接交平面于，過作交于

在正方體中可得，，平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因為平面，所以平面，即平面，因為正方形的面對角線，所以為正三角形，又，所以，則，因為正方體的體對角線，所以，因為，所以，即，因為平面，所以到平面的距離為，由于點關(guān)于平面的對稱點為，則為中點，于是到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍為；【答案】【分析】利用去掉同向的情形即得．【詳解】由題意，即，，∴，若，則，解得，綜上的范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查向量的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系，是兩個非零向量，則夾角是銳角時，，夾角是鈍角時，，反之要注意可能同向也可能反向．四、雙空題14．已知我國某省二、三、四線城市數(shù)量之比為．年月份調(diào)查得知該省二、三、四線城市房產(chǎn)均價為萬元/平方米，方差為．其中三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為萬元/平方米，萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為，則二線城市房產(chǎn)均價為萬元/平方米，二線城市房價的方差為【答案】【分析】根據(jù)平均值及方差的定義列方程求解即可.【詳解】設(shè)二線城市房產(chǎn)均價為，方差為，因為二、三、四線城市數(shù)量之比為，二、三、四線城市房產(chǎn)均價為萬元/平方米，三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為萬元/平方米，萬元/平方米，所以，解得（萬元/平方米），由題意可得，解得，故答案為：2；29.9.五、填空題15．的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，，則的最小值為．【答案】【分析】先由正弦定理將化為，，可求出，再由余弦定理可得，即可的a的最小值.【詳解】因為，所以，因為，所以，由余弦定理，得，即.【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的運用，結(jié)合基本不等式即可求三角形邊的最值.16．如圖圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，球的半徑，，分別為圓柱上、下底面的圓心，O為球心，為底面圓的一條直徑，若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一動點，線段與的和為，則的取值范圍為．

【答案】【分析】設(shè)在底面的投影為，連接，，，則平面，則，，在中由勾股定理表示出和，由，設(shè)，得出，求出其范圍即可得出的取值范圍．【詳解】由題可知，點在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的投影為，連接，，，則平面，，又，平面，所以，，所以，，，設(shè)，則，，因為，所以，所以，故答案為：．

六、解答題17．設(shè)向量滿足，且．(1)求與的夾角；(2)求的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）設(shè)與的夾角為，利用即可求出答案；（2）利用即可求出答案【詳解】（1）設(shè)與的夾角為，，將代入得，.（2）將代入得，.18．某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段，，…，后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：(1)求分數(shù)在內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)估計本次考試的第50百分位數(shù)；(3)用分層抽樣的方法在分數(shù)段為的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，求至多有1人在分數(shù)段內(nèi)的概率．【答案】(1)0.3，直方圖見解析(2)(3)【分析】（1）由頻率分布直方圖，能求出分數(shù)在，內(nèi)的頻率，并能補全這個頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖能估計本次考試的第50百分位數(shù)；（3）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為，的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，則分數(shù)段為，中抽取的學(xué)生數(shù)為2人，分數(shù)段為，中抽取的學(xué)生數(shù)為4人，從中任取2個，利用列舉法列舉出所有基本事件，再根據(jù)古典概型即可得解．【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖，得：分數(shù)在，內(nèi)的頻率為：，，補全后的直方圖如右圖所示：（2）解：，的頻率為，，的頻率為：，第50百分位數(shù)為：；（3）解：用分層抽樣的方法在分數(shù)段為，的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，則分數(shù)段為，中抽取的學(xué)生數(shù)為：人，設(shè)為，分數(shù)段為，中抽取的學(xué)生數(shù)為：人，設(shè)為，從中任取2個，有共15種，其中符合題意得有共9種，所以至多有1人在分數(shù)段內(nèi)的概率為.19．如圖，在五面體ABCDEF中，面是正方形，，，，且．（1）求證：平面；（2）求直線BD與平面ADE所成角的正弦值；（3）設(shè)M是CF的中點，棱上是否存在點G，使得平面ADE？若存在，求線段AG的長；若不存在，說明理由．【答案】（1）答案見詳解；（2）；（3）存在，.【解析】(1)由和，利用線面垂直的判定定理即證結(jié)論；(2)先根據(jù)等體積法計算點B到平面ADE的距離d，再利用正弦等于即得結(jié)果；(3)先取DC，AB上點N，G使得CN=BG=1，證明平面MNG平面ADE，即得平面ADE，.【詳解】解：（1）證明：正方形中，，又，，平面，所以平面；（2）設(shè)直線BD與平面ADE所成角為，點B到平面ADE的距離d，則.依題意，，由（1）知平面，得平面平面，故點E到平面的距離，中，，又，故根據(jù)等體積法，得，即，故，故直線BD與平面ADE所成角的正弦值是；（3），平面，平面，平面，又平面平面，平面，.分別取DC，AB上點N，G，使得CN=BG=1，又，故四邊形CNGB是平行四邊形，，又NG在平面ADE外，BC在平面ADE內(nèi)，平面ADE，取DC中點H，則DH=EF=2，又，故四邊形EFDH是平行四邊形，，又，M是CF的中點，故MN是中位線，，又MN在平面ADE外，DE在平面ADE內(nèi)，平面ADE，因為MN，NG相交于平面MNG內(nèi)，所以平面MNG平面ADE，又平面MNG，故此時平面ADE，.【點睛】本題考查了線面垂直的判定、線面成角的求法和存在性問題的探究，屬于中檔題.求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線線段長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.20．如圖，四邊形中，，，，且為銳角．(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面積公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四邊形外接圓的直徑，再利用正弦定理可求解；（2）由面積公式即可得解.【詳解】（1）由已知，∵是銳角，∴．由余弦定理可得，則．∵，∴BD是四邊形外接圓的直徑，∴BD是外接圓的直徑，利用正弦定理知（2）由，，，，則,,又，則，因此，故的面積為．21．如圖（1），六邊形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿進行翻折，得到的圖形如圖（2）所示，且.(1)求二面角的余弦值；(2)求四棱錐外接球的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）作，連接，則，證得平面，得到再證得平面，得到，進而得到就是二面角的平面角，在直角中，即可求解；（2）取的中點，連接，得到為等腰梯形的外心，取的中點，連接，證得平面，得到為四棱錐外接球的球心，利用球的體積公式，即可求解.【詳解】（1）解：在等腰梯形中，作于，則，所以，連接，則，因為，所以，所以，所以，又因為，且，平面，所以平面，又由平面，所以，因為且，平