解三角形課件

知識點梳理1.正弦定理正弦定理的變形：第一頁第二頁，共39頁。2.余弦定理余弦定理的變形：第二頁第三頁，共39頁。3.三角形面積公式第三頁第四頁，共39頁。4.三角形中的常見結(jié)論(2)在三角形中大邊對大角，大角對大邊.(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)有關(guān)三角形內(nèi)角的三角函數(shù)式第四頁第五頁，共39頁。中，A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B=60為正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.第五頁第六頁，共39頁。解三角形正余弦推論的應(yīng)用三角形解的個數(shù)的確定求三角形中基本量判斷三角形形狀解三角形的實際應(yīng)用求角求邊求面積測量距離測量高度測量角度解三角形中的交匯問題

第六頁第七頁，共39頁。一、正余弦定理推論的應(yīng)用第七頁第八頁，共39頁。第八頁第九頁，共39頁。第九頁第十頁，共39頁。二、三角形解的個數(shù)的確定已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a、B、C)正弦由A+B+C=180求出角A；根據(jù)正弦定理求出b與c;在有解時只有一解兩邊和夾角(如a、b、C)余弦正弦由余弦定理求出c；由正弦定理求出A、B；在有解時只有一解三邊(a、b、c)余弦定理由余弦定理分別求出A、B；由內(nèi)角和是180求出C;有解時只有一解兩邊和其中一邊的對角(如a、b、A)正弦定理由正弦定理求出B；由內(nèi)角和為180求出C；由正弦定理求出c;可有兩解，一解或無解解斜三角形有下表所示的四種情況：第十頁第十一頁，共39頁。在已知a、b、A時判斷三角形解的個數(shù)有三種方法：（2）用正弦定理確定另一邊的對角（1）幾何作圖法（3）利用余弦定理整理后是以c為未知數(shù)的一元二次方程。因為c是三角形的邊長，必有c>0。所以，所給定的三角形的解就取決于滿足方程的未知數(shù)c正實數(shù)值得存在情況第十一頁第十二頁，共39頁。在三角形中，已知a、b和A時解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形

關(guān)系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba>b或a=ba>ba<b或a=b解個數(shù)無解一個解兩個解一個解一個解無解第十二頁第十三頁，共39頁。例4.根據(jù)下列條件，判定三角形解的情況.解法一：（幾何作圖法）分別如下圖①、②、③ABa=11ACb=22b=20cABDc第十三頁第十四頁，共39頁。第十四頁第十五頁，共39頁。c點評：可通過正弦定理或幾何作圖很容易看出三角形有一個解的情況有兩種。這些有些同學(xué)容易出現(xiàn)誤區(qū)，直接令關(guān)于C的一元二次方程有一解，很容易少考慮a>b的情況，以后做題時要注意。第十五頁第十六頁，共39頁。三、求三角形基本量求三角形基本量包括求三角形的內(nèi)角、求三角形的邊、求三角形的面積這三類。在求基本量時運用正余弦定理以及它們的推論利用已知條件進行邊角互化后求出未知量。在進行求解過程中往往會與三角恒等變換知識結(jié)合，同時要注意在解出結(jié)果后運用第二部分所講的三角形解的個數(shù)的判定來對結(jié)果進行取舍，得到最終結(jié)果。第十六頁第十七頁，共39頁。BCADbch求三角形的角第十七頁第十八頁，共39頁。第十八頁第十九頁，共39頁。求三角形的邊第十九頁第二十頁，共39頁。點評：此類問題求解需要主要解的個數(shù)的討論，比較上述兩種解法，解法二比較簡便。第二十頁第二十一頁，共39頁。求三角形的面積第二十一頁第二十二頁，共39頁。OD(0,1)C(1,0)XYM第二十二頁第二十三頁，共39頁。四、判斷三角形形狀判定三角形形狀通常有兩種途徑：化邊為角；化角為邊具體有如下四種方法：①通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；②通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；③通過三角變換找出角之間的關(guān)系；④通過三角函數(shù)符號的判斷及正余弦函數(shù)有界性的討論主要題型已知邊之間的關(guān)系已知角的三角函數(shù)關(guān)系已知邊與角的關(guān)系第二十三頁第二十四頁，共39頁。已知邊之間的關(guān)系第二十四頁第二十五頁，共39頁?？偨Y(jié)：解法一是用正弦定理將邊關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，運用三角變換找出角之間的關(guān)系；解法二用余弦定理直接運用邊的關(guān)系判斷形狀；第二十五頁第二十六頁，共39頁。已知角的三角函數(shù)的關(guān)系等腰第二十六頁第二十七頁，共39頁。例12.根據(jù)所給條件，判斷的形狀解：已知邊與角之間的關(guān)系第二十七頁第二十八頁，共39頁。第二十八頁第二十九頁，共39頁。總結(jié)：根據(jù)已知條件，適當(dāng)選取適用的定理，進行邊角互化結(jié)合三角變換找出三邊之間的關(guān)系或者是找出內(nèi)角之間的關(guān)系來判斷形狀。第二十九頁第三十頁，共39頁。五、解三角形中的交匯問題

在知識交匯處命題是高考考查的熱點，體現(xiàn)了多考一點“想”，少考一點“算”的理念，所以挖掘知識內(nèi)的交匯是學(xué)習(xí)中的重點。解三角形與其它知識的交匯體現(xiàn)與向量、三角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、、解析幾何、立體幾何等幾個方面知識的結(jié)合。第三十頁第三十一頁，共39頁。第三十一頁第三十二頁，共39頁。點評：此題結(jié)合向量、三角變換的知識同時運用余弦定理和三角形面積。三角變換和向量與解三角形的結(jié)合是高考的重點，同時考察學(xué)生多方面的知識。第三十二頁第三十三頁，共39頁。BACD點評：此題運用三角形面積公式推出了角平分線定理。在立體幾何中也經(jīng)常用到解三角形，立體幾何中一般都是求三角形的基本量，這里不再給出例題。第三十三頁第三十四頁，共39頁。六、解三角形在生活中的應(yīng)用1.解三角形在生活中應(yīng)用非常廣泛,如測量、航海、物理幾何等方面都要用到解三角形的知識.這些實際問題基本上分成測量長度、高度、角度三種類型.解三角形應(yīng)用題得一般步驟及基本思路.

(1)一般步驟：①分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；②建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把一直亮與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形總，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；第三十四頁第三十五頁，共39頁。(2)基本思路：實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解實際問題的解抽象概括示意圖演算推理還原說明2.實際問題中的有關(guān)術(shù)語、名稱

(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的較重，視線在水平線上方的角角仰角，在水平線下方的角俯角（如下圖）.鉛垂線視線視線水平線仰角俯角④檢驗：檢驗上述所求的結(jié)果是否具有實際意義從而得出實際問題的解.第三十五頁第三十六頁，共39頁。(2)方位角

從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角，如B點的方位角為α（如下圖①）(3)方向角①正南方向：從原點O出發(fā)的經(jīng)過目標(biāo)射線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線上.依次可類推正北方向、正東方向和正西方向.西東北南圖①第三十六頁第三十七頁，共39頁。②東南方向：指經(jīng)過目標(biāo)的涉嫌是正東和正南的夾角平分線（如圖②）.③北偏東α：從正北向正東方向旋轉(zhuǎn)α角度（圖③）④南偏西β：從正南向正西方向旋轉(zhuǎn)β角度（圖④）西東北南圖④東