醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院1/109第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)相關(guān)變化率的導(dǎo)數(shù)第五節(jié)函數(shù)的微分2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院2/109第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院3/109一、引例1.變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院4/1092.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時)割線MN

的斜率切線MT的斜率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院5/109兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院6/109二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院7/109運動質(zhì)點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M

點處的切線斜率若上述極限不存在,在點不可導(dǎo).就說函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為無窮大.也稱在注:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院8/109導(dǎo)函數(shù)的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點x都對應(yīng)一個導(dǎo)數(shù)值

則這一對應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)

簡稱導(dǎo)數(shù)

記作易見

求導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求增量(2)算比值(3)求極限2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院9/109例1.

求函數(shù)解:說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院10/109例2.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院11/109解例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院12/109解例5即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院13/109單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):2.右導(dǎo)數(shù):函數(shù)f(x)在某點處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點可導(dǎo)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

且在a點有右導(dǎo)數(shù)、在b點有左導(dǎo)數(shù)

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院14/109三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.幾何意義切線方程為法線方程為2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院15/109

解

所求法線方程為并寫出在該點處的切線方程和法線方程

所求切線及法線的斜率分別為所求切線方程為

即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

,

例6.求等邊雙曲線在點處的切線的斜率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院16/109例7.

問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有垂直切線2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院17/109四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點x處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院18/109解例8討論函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院19/109內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院20/109思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則3.

已知則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院21/1094.

設(shè),問a

取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院22/109解:

因為5.

設(shè)存在,且求所以2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院23/109解:

因為6.

設(shè)存在,且求所以2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院24/109二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則§2.2

函數(shù)的求導(dǎo)法則四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院25/109一、四則運算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點外)都在點x

可導(dǎo),且則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院26/109此法則可推廣到任意有限項的情形.證:

設(shè),則故結(jié)論成立.例如,返回2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院27/109(2)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))返回2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院28/109

解

例1

例2

y=ex

(sinx+cosx)

求y

=2excosx

解

y

=(ex)

(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)

=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)求導(dǎo)法則

例4

y

secx

求y

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院29/109二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院30/109

例6

求(arctanx)

及(arccotx)

解

因為y=arctanx是x=tany的反函數(shù)

所以

例5

求(arcsinx)

及(arccosx)

解

因為y=arcsinx是x=siny的反函數(shù)

所以反函數(shù)的求導(dǎo)法則:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院31/109在點x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點可導(dǎo).復(fù)合函數(shù)且在點x

可導(dǎo),證:在點

u可導(dǎo),故（當(dāng)時)故有則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院32/109例如,關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院33/109

解

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:

例7

例8.

求下列導(dǎo)數(shù):解:

(1)(2)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院34/109

例9復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:

例10

解

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院35/109四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P94)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院36/1092.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則(C為常數(shù))4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則3.反函數(shù)求導(dǎo)法則

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院37/109例11.求解:由于例12.設(shè)解:求2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院38/109例13.求解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院39/109例14.

設(shè)求解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院40/109例15.

若存在,求的導(dǎo)數(shù).這兩個記號含義不同練習(xí):

設(shè)解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院41/109思考與練習(xí)1.

設(shè)其中在因故正確解法:時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院42/1092.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)(2)或2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院43/1093.

設(shè)求解:方法1

利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2

利用求導(dǎo)公式.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院44/109二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則一、高階導(dǎo)數(shù)的概念§2.3

高階導(dǎo)數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院45/109一、高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運動2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院46/109定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n

階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院47/109所以y3y

1

0

證明

例1

證明:

函數(shù)22xxy-=滿足關(guān)系式013=+￠￠yy.

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院48/109設(shè)存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解:（1）例2.（1）（2）（2）2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院49/109設(shè)求解:依次類推,例3.思考:

設(shè)問可得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院50/109例4.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1例5.設(shè)求2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院51/109例6.

設(shè)求解:一般地,類似可證:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院52/109例7.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院53/109二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有n

階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院54/109用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院55/109例8.求解:

設(shè)則代入萊布尼茲公式,得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院56/109(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4)利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法如,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院57/109例9.

如何求下列函數(shù)的

n

階導(dǎo)數(shù)?解:解:(3)解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院58/109二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

§2.4隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)

三、相關(guān)變化率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院59/109一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù)

形如y

f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)

例如

y

sinx

y

lnx

ex

都是顯函數(shù)

由方程F(x

y)

0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù)

把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)

叫做隱函數(shù)的顯化

例如

方程x

y3

1

0確定的隱函數(shù)為

隱函數(shù)的求導(dǎo)法

把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)

然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院60/109

例1

求由方程ey

xy

e

0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)

(ey)

(xy)

(e)

(0)

即ey

y

y+xy

0

方程中每一項對x求導(dǎo)得解

例2

求由方程y5

2y

x

3x7

0所確定的隱函數(shù)y

f(x)在

x

0處的導(dǎo)數(shù)y

|x

0

因為當(dāng)x

0時

從原方程得y

0

所以5y4

y

2y

1

21x6

0

方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)得解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院61/109例3.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導(dǎo)故切線方程為即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院62/109

解

上式兩邊再對x求導(dǎo)

得的二階導(dǎo)數(shù)

例4

方程兩邊對x求導(dǎo)

得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院63/109y

f(x)

[lnf(x)]

對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y

[u(x)]v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)

此方法是先在y

f(x)的兩邊取對數(shù)

然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出y的導(dǎo)數(shù)

設(shè)y

f(x)

兩邊取對數(shù)

得lny

lnf(x)

兩邊對x

求導(dǎo)

得對數(shù)求導(dǎo)法2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院64/109

例5

求y

xsinx

(x>0)的導(dǎo)數(shù)

解法二

這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求.

解法一

上式兩邊對x

求導(dǎo)

得兩邊取對數(shù)

得lny

sinx

lnx

y

xsinx

esinx·lnx

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院65/109上式兩邊對x求導(dǎo)

得說明

嚴(yán)格來說

本題應(yīng)分x

4

x

1

2

x

3三種情況討論

但結(jié)果都是一樣的

例6

先在兩邊取對數(shù)

得

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院66/109

設(shè)x

j(t)具有反函數(shù)t

j-1(x)

且t

j-1(x)與y

y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y

y[j-1(x)]

若x

j(t)和y

y(t)都可導(dǎo)

則二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程?íì==)()(tytxyj確定的.

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院67/109

解

所求切線的斜率為abdxdyt-==4p.

例7.

求橢圓?íì==tbytaxsincos在相應(yīng)于4

p=t點處的切線方程.

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院68/109

再求速度的方向

設(shè)a是切線的傾角

則軌道的切線方向為于是拋射體在時刻t的運動速度的大小為

x

(t)=v1

y

(t)=v2-gt

求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向

例8

拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為

速度的水平分量與鉛直分量分別為先求速度的大小

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院69/109討論:

已知x

j(t),y

y(t)

如何求y對x的二階導(dǎo)數(shù)y

?例9.

設(shè)求例10.

設(shè),且求解:解:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院70/109的函數(shù)y

f(x)的二階導(dǎo)數(shù)

解

(t

2np

n為整數(shù))

例11．計算由擺線的參數(shù)方程?íì-=-=)cos1()sin(tayttax所確定

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院71/109

三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對

t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院72/109例12.

一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設(shè)氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院73/109二、微分的幾何意義一、微分的概念

§2.5函數(shù)的微分

三、微分的運算法則四、微分在近似計算中的應(yīng)用2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院74/109一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x在取得增量時,變到邊長由其2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院75/109的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院76/109定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點可微,則故在點的可導(dǎo),且在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院77/109定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點的可導(dǎo),則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院78/109注:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院79/109

例1

求函數(shù)y

x2在x

1和x

3處的微分

dy

(x2)

|x

1Dx

2Dx

函數(shù)y

x2在x

3處的微分為

dy

(x2)

|x

3Dx

6Dx

例2

求函數(shù)y

x3當(dāng)x

2

Dx

0

02時的微分

y

f(x)在點x0可微

Dy

ADx

o(Dx)

dy=f

(x0)Dx

解

函數(shù)y

x2在x

1處的微分為

解

先求函數(shù)在任意點x

的微分

dy

(x3)

Dx

3x2Dx

再求函數(shù)當(dāng)x

2

Dx

0

02時的微分

dy|x=2,Dx=0.02=3

22

0.02=0.24

=3x2|x=2,Dx=0.022023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院80/109

當(dāng)|Dx|很小時

|Dy

dy|比|Dx|小得多

因此

在點M的鄰近

我們可以用切線段來近似代替曲線段

Dy是曲線上點的縱坐標(biāo)的增量;dy是過點(x0

f(x0))的切線上點的縱坐標(biāo)的增量.

當(dāng)x從x0變到x0+Dx時

二、微分的幾何意義則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商自變量的微分,記作記2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院81/109d(xm)

mxm

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

ax

lnadx

d(e

x)

exdx

(xm)

mxm

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

ax

lna

(e

x)

ex微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

1.基本初等函數(shù)的微分公式三、微分的基本公式和運算法則2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院82/109微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院83/1092、微分的四則運算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變3.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院84/109

在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時

可以不寫出中間變量

例3

y

sin(2x

1)

求dy

2cos(2x

1)dx

cos(2x

1)

2dx

cos(2x

1)d(2x

1)dy

d(sinu)

cosudu

若y

f(u)

u

j(x)

則dy

f

(u)du

解

把2x

1看成中間變量u

則

例4

解

2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院85/109例5.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例6.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院86/109四、微分在近似計算中的應(yīng)用1.函數(shù)的近似計算

當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院87/109特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院88/109的近似值.解:

設(shè)取則例7.求的近似值.解:例8.計算2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院89/109例9.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院90/1092.誤差估計

某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a的絕對誤差稱為a的相對誤差若稱為測量

A的絕對誤差限稱為測量

A的相對誤差限2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院91/109誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算

y

值時的誤差故y

的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,2023/10/11南京中醫(yī)藥大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院92/109例10.

設(shè)測得圓鋼截面的直徑測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算