信號與噪聲分析

第2章信號與噪聲分析知識點及層次

1.確知信號時－頻域分析

(1)當代通信系統(tǒng)周期信號的傅氏級數(shù)表達和非周期信號的傅氏積分。

(2)幾個簡樸且慣用的傅氏變換對及其互易性。

(3)信號與系統(tǒng)特性－卷積有關(guān)－維鈉－辛欽定理。

2.隨機過程統(tǒng)計特性

(1)二維隨機變量統(tǒng)計特性。

(2)廣義平穩(wěn)特性、自有關(guān)函數(shù)與功率譜特點。

(3)高斯過程的統(tǒng)計特性。

3.高斯型白噪聲統(tǒng)計特性

(1)抱負白噪聲及限帶高斯白噪聲特性。

(2)窄帶高斯白噪聲重要統(tǒng)計特性。

以上三個層次是一種層層進一步的數(shù)學系統(tǒng)，最后旨在解決信號、系統(tǒng)及噪聲性能分析，是全書各章的基本理論基礎(chǔ)，也是系統(tǒng)分析的最重要的數(shù)學辦法。2.1信號與系統(tǒng)表達法2.1.1通信系統(tǒng)慣用信號類型

通信系統(tǒng)所指的信號在不加聲明時，普通指隨時間變化的信號。普通重要涉及下列幾個不同類型的信號：1.周期與非周期信號

周期信號滿足下列條件：全部時域

(2-1)

——的周期，是滿足（2-1）式條件的最小時段。

因此，該也可表達為： (2-2) ——是在一種周期內(nèi)的波形（形狀）。若對于某一信號，不存在能滿足式（2-1）的任何大小的值，則不為周期信號（如隨機信號）。從確知信號的角度出發(fā)，非周期信號普通多為有限持續(xù)時間的特定時間波形。2．確知和隨機信號確知信號的特性是：無論是過去、現(xiàn)在和將來的任何時間，其取值總是唯一擬定的。如一種正弦波形，當幅度、角頻和初相均為擬定值時，它就屬于確知信號，因此它是一種完全擬定的時間函數(shù)。

隨機信號是指其全部或一種參量含有隨機性的時間信號，亦即信號的某一種或更多參量含有不擬定取值，因此在它未發(fā)生之前或未對它具體測量之前，這種取值是不可預測的。如上述正弦波中某一參量（例如相位）在其可能取值范疇內(nèi)沒有固定值的狀況，可將其表達為： (2-3)其中和為擬定值，可能是在（0，2π）內(nèi)的隨機取值。3．能量與功率信號在我們慣用的電子通信系統(tǒng)中，信號以電壓或電流（變化）值表達，它在電阻上的瞬時功率為：或 (2-4)

功率正比于信號幅度的平方。其歸一化瞬時功率或能量（=1Ω）表達式為： (2-5)

在=1Ω負載上的電壓或者電流信號的（歸一化）能量為： (2-6)單位時段2內(nèi)的平均能量等于該被截短時段內(nèi)信號平均功率。而信號的總平均功率則為： (2-7)普通地，能量有限的信號稱為能量信號，即0<<∞；而平均功率有限的信號稱為功率信號，即0<<∞。能量信號與功率信號是不相容的——能量信號的總平均功率（在全時軸上時間平均）等于0，而功率信號的能量等于無限大。普通，周期信號和隨機信號是功率信號；確知而非周期信號為能量信號。從理論上，表達信號的辦法諸多，但事實上傅立葉分析在信號解決與通信中沿用至今，它將任何函數(shù)波形均正交分解為一系列正弦波之和表達，在應用上含有很大的廣泛性。在通信系統(tǒng)中，運用變換域，如頻域分析，可更方便地揭示信號本質(zhì)性特點。4．基帶與頻帶信號從信源發(fā)出的信號，最初的表達辦法，大都為基帶信號形式（模擬或數(shù)字、數(shù)據(jù)形式），它們的重要能量在低頻段，如語音、視頻等。它們均能夠由低通濾波器取出或限定，因此又稱為低通信號。為了傳輸?shù)男枰?，特別是長途通信與無線通信，需將源信息基帶信號以特定調(diào)制方式“載荷”到某一指定的高頻載波，以載波的某一、二個參量變化受控于基帶信號或數(shù)字碼流，后者稱為調(diào)制信號，受控后的載波稱為已調(diào)信號或已調(diào)載波，屬于頻帶信號。它限制在以載頻為中心的一定帶寬范疇內(nèi)，因此又稱為帶通信號。2.1.2系統(tǒng)表達法

通信系統(tǒng)或信號系統(tǒng)涉及線性時不變系統(tǒng)和非線性的、時變系統(tǒng)。在先行課信號與系統(tǒng)分析中已對線性時不變系統(tǒng)進行過充足研究；一種復雜的通信系統(tǒng)，特別是無線通信系統(tǒng)（如短波信道），需以非線性時變系統(tǒng)分析辦法來解決。 根據(jù)傅立葉分析辦法，一種正弦波輸入到系統(tǒng)，響應成果等于相似頻率的另一正弦波的條件有兩個：系統(tǒng)是線性的——遵照迭加原理和比例倍增。如系統(tǒng)輸入為和，響應各為和，如果存在的響應為（可迭加性）及作為激勵，其響應為：（比例倍增）(2-8)其中a1、a2為任意常數(shù)。則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。系統(tǒng)是時不變的——如果系統(tǒng)激勵為，響應為，當輸入信號延<時，即，而響應也產(chǎn)生同樣延時，即，則該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。2.1.3通信系統(tǒng)中的統(tǒng)計分析辦法 從通信系統(tǒng)的通信過程而言，是含有基于概率統(tǒng)計特性的。從信源到信號表達，有噪信道傳輸和接受，各個環(huán)節(jié)均需運用統(tǒng)計分析辦法來解決通信信號及通信系統(tǒng)問題。對于接受者來說，有關(guān)信源隨機發(fā)送的信息序列是不擬定的，不可預測的，因此屬于一定特性的隨機信號。在傳輸過程中，由于信道介入多個干擾、噪聲，受到污染的信號達成接受端，使接受者更增大了不擬定程度。因此，基于統(tǒng)計理論的隨機過程和信息論是分析與解決信息傳輸和最佳接受問題的重要理論基礎(chǔ)，這正是本章第4節(jié)開始重點討論的問題。2.2信號頻譜分析概述 為了知識的持續(xù)性，同時作為隨機信號分析的基礎(chǔ)，茲概要回想確知信號傅立葉分析辦法。2.2.1傅立葉級數(shù) 任何一種周期為的周期信號，，只要滿足狄里赫利條件，就能夠展開為正交序列之和——傅立葉級數(shù)： (2-9)

式中系數(shù)(2-10)

——

的均值，即直流分量。

式（2-9）中，由

則得： (2-11)

式中：，，。

又由，則可表達為指數(shù)形式：(2-12)

式中：，

，，以上三種級數(shù)表達方式實質(zhì)相似。各項之間均為正交，這樣當有限項來逼近時，在同樣項數(shù)時，以正交項之和精度最高。2.2.2傅立葉變換 非周期信號，即能量信號，其時域表達式通過傅立葉（積分）變換，映射到頻域也可表達信號的全部信息特性——頻譜函數(shù)，更便于信號和系統(tǒng)的分析。信號的傅立葉變換對為

頻譜函數(shù)：

反演式：(2-13)

表達該傅立葉變換對的縮寫符號為：

變換對的存在，含有數(shù)學上嚴格的充要條件，這里不再列出。2.2.3卷積與有關(guān)1.卷積

卷積是當系統(tǒng)沖激響應擬定后，已知系統(tǒng)的激勵信號而求響應的運算過程。

這一運算模式也可推廣到任何兩個時間函數(shù)與或這兩個頻域函數(shù)與的卷積：

時域函數(shù)卷積：(交換律) (2-14)

頻域函數(shù)卷積：(2-15)

關(guān)系式：（卷積定理） (2-16)（調(diào)制訂理） (2-17)2.有關(guān) 一種函數(shù)可求其自有關(guān)函數(shù)。兩個函數(shù)與，可求它們之間的互有關(guān)函數(shù)及： 自有關(guān)函數(shù)： (2-18) 互有關(guān)函數(shù)：(2-19) (2-20) 則有：或（偶對稱性） (2-21)

若及、為周期信號，上列各式運用格式運算。2.2.4能量譜、功率譜及帕氏定理1.能量譜密度 若存在傅立葉變換對能量信號的能量譜與其自有關(guān)函數(shù)也是一對傅立葉變換，即：

簡要表達為： (2-22)

這里——能量譜函數(shù)，或稱能量譜密度。2.功率譜密度 若存在傅立葉變換對，且為功率信號，其自有關(guān)函數(shù)與其功率譜也是一對傅立葉變換，即： (2-23)

上式可表達周期信號和隨機信號兩種狀況。周期為的信號在一種周期的時間平均自有關(guān)函數(shù)，隨機信號截短信號的時間自有關(guān)函數(shù)，兩者都對應著單位時段能量譜，當時間無限擴展時的時間平均能量譜，等于它們的功率譜，只是當周期信號時，式（2-23）不必用極限運算。 由于為隨機信號時不存在周期，以表達該的截短段為的能量譜，為此段時間平均功率譜，取時間極限后才為該信號精確功率譜。這一計算方式，到背面隨機信號分析將要用到。 3．帕氏定理（Parseval）——信號能量與功率的計算 帕氏定理：能量譜或功率譜在其頻率范疇內(nèi)，對頻率的積分等于信號的能量或功率，并且在時域、頻域積分，以及自有關(guān)函數(shù)=0時，三者計算成果是一致的。2.3希爾伯特變換2.3.1希氏變換 希氏變換是完全在時域中進行的一種特殊的正交變換。也能夠當作它是由一種特殊的濾波器完畢的。 為了便于理解變換特點，我們首先討論這種變換在頻域中的規(guī)律（規(guī)則），然后再返回屆時域來進一步認識它，并且變換后信號以表達，對應頻譜以表達。1．希氏（頻域）變換定義

若信號存在傅立葉變換對，則其希氏變換的頻譜等于該信號頻譜的負頻域全部頻率成分相移，而正頻域相移——完畢這種變換的傳遞函數(shù)稱為希氏濾波器傳遞函數(shù)，即有：(2-25) 則希氏變換頻譜為 (2-26)2．希氏（時域）變換定義 為了得出時域中進行希氏變換的規(guī)則，能夠很簡樸地由上述希氏濾波器傳遞函數(shù)，求出其沖激響應： (2-27a)

運用傅立葉變換的互易定理，可由反表演： (2-27b) 因此希氏變換的時域表達式為：(2-28)由希式變換的定義：（1）

余弦信號的希式變換等于正弦信號；（2）

正弦信號的希式變換等于余弦信號。 希氏變換在本章最后窄帶噪聲統(tǒng)計特性分析中，以及線性調(diào)制單邊帶生成過程中，都有非常重要的作用。2.3.2希氏變換的重要性質(zhì)

1．信號與其希氏變換的幅度頻譜、功率（能量）譜以及自有關(guān)函數(shù)和功率（能量）均相等。這是由于功率譜、能量譜不反映信號相位特性。對應的，自有關(guān)函數(shù)也不反映信號的時間位置。

2．希氏變換再進行希氏變換表達為。則有： (2-29)3．與互為正交。 為證明最后一種性質(zhì)的對的性，可通過互有關(guān)與能量譜進行計算： 式中右邊：(2-30) 由上式最后一種積分式能夠看出，被積函數(shù)為奇函數(shù)與偶函數(shù)之乘積，因此該項積分等于0。于是，可得正交關(guān)系，即：(能量信號) (2-31)

或(功率信號) 2.4隨機變量統(tǒng)計特性 在數(shù)學課中，已經(jīng)涉及到基于概率論的隨機變量及其統(tǒng)計平均的計算，隨機變量是建立隨機過程和隨機信號分析辦法的基礎(chǔ)。這里從公理化概率概念出發(fā)，闡明隨機變量的形成及重要統(tǒng)計平均的運算辦法。2.4.1概率的公理概念 有關(guān)概率概念，在工科數(shù)學中曾從古典概率、幾何概率等，對隨機事件做了描述性闡明。這里擬從概率空間角度，對隨機事件及其概率建立數(shù)學模型。 一種隨機實驗，嚴格來說重要應滿足下列三個基本特點：

（1）實驗（Experiment）在相似條件下是可重復的；（2）每次重復稱作實驗（Trial），其可能成果（Outcomes）是不可預測的；（3）一種隨機實驗中的大量實驗，其成果會呈現(xiàn)一定統(tǒng)計規(guī)律。我們運用統(tǒng)計概率概念來描述概率的定義：

一種隨機實驗，全部實驗可能成果（Outcomes）稱為樣本（Samples）。其全部樣本集合構(gòu)成樣本空間（整集），其中一種樣本或多個有關(guān)樣本集合構(gòu)成的子集稱為的事件域，中的每一集合（或樣本）稱為事件。這樣若事件，則稱為事件的概率。于是以上三個要素實體的結(jié)合，構(gòu)成一種概率空間，表達為：。2.4.2

隨機變量 上面以概率空間表達了隨機實驗及其可能成果的概率模型。在實際應用中，我們但愿以更明確的數(shù)學表達，來闡明樣本空間諸事件（集）的統(tǒng)計特性及其互有關(guān)系,茲介入“隨機變量”概念。 現(xiàn)將樣本空間中全部事件（樣本）均以某種指定的規(guī)則映射（Mapping）到數(shù)軸上，并以指定的實數(shù)來表達它們。 如擲硬幣，兩種可能成果的樣本空間為，（、分別表達硬幣出現(xiàn)正、背面），映射到數(shù)軸上，可由任意指定兩個實數(shù)作為你的映射規(guī)則（稱、……）——來表達兩個實驗成果。為方便計，可用0、1來表達，即構(gòu)成一維隨機變量，此時它以=0及=1兩種可能的數(shù)值表達，即：=1（）及=0（）。

如圖2-8（a）所示。它涉及了隨機變量的2個“取值”（=0）及（=1）；由此看來，上述，表面上寫法類似于“函數(shù)”，但它們確不是一種函數(shù)，而是變量或變量取值集合。于是，可將隨機變量直接用，……來表達，以免與函數(shù)混淆。 其實，隨機變量在數(shù)軸上所示樣本映射的點（可能的取值），仍與樣本的概率相對應，它們都要附帶其在樣本空間的概率特性，因此賦予一定規(guī)則的映射所指的隨機變量、……，尚必須對全部樣本映射點（取值）的概率予以明確表達。背面將具體闡明。2.4.3隨機變量的統(tǒng)計特性 在數(shù)軸的實數(shù)值代表的樣本空間的樣本或?qū)嶓w，它們并非擬定數(shù)，它們只是中樣本的“數(shù)字符號”形式的代表，因此必須與其概率相對應才有真實意義。全部樣本的累積概率——整集的概率為1，即，而隨機變量中的部分事件的概率是一切不不不大于某特定取值的隨機變量的累積概率，其大小隨取值變化，因此稱其為概率累積函數(shù)或概率分布函數(shù)（cdf）可表達為：

且有： (2-43)

式中，的含義是不包含全部隨機變量取值（任何取值都有是不存在的）的累積概率為0；而則包含的全部取值所對應的概率之和，即累積之和固然為1（隨機變量完備群概率）。普通地，隨機變量值如有，則有：, 接著的問題是，我們尚需理解隨機變量各取值的概率質(zhì)量（離散時）或概率密度（為持續(xù)時），即隨機變量的概率密度（函數(shù)）pdf，并以或表達。 與是互為微積分關(guān)系： 或 (2-44)

這里作為“虛假”變量。當具體取值為及x1、x2,且,則： (2-45) 若上式中=–∞，可設(shè)為的任意值，則：(2-46)

且有：(2-47)2.4.4慣用的隨機變量類型

1.均勻分布

前面例子已涉及到均勻分布隨機變量，即它們的pdf含有均勻分布特性。

又如，產(chǎn)生一種幅度為，角頻為的正弦波，<>，其中若初相非為某種強制設(shè)定的量,可看做是在（0，2π）內(nèi)均勻分布的隨機變量。

2.高斯型分布

在自然界中，諸多現(xiàn)象符合“中心極限定理”，它與高斯（正態(tài)）分布特性有著親密關(guān)系。一維高斯變量的pdf為： (2-48) 由上式看出，對于一種高斯隨機變量，只要已知均值及方差，就能唯一擬定其pdf，且可簡寫為，其中當=0，時的高斯分布，其pdf為，稱其為歸一化高斯分布，即：(2-49) 圖2-11示出了一維高斯隨機變量pdf和cdf曲線。

本章附錄中列出了該歸一化分布和概率積分函數(shù)：，

在實際應用中，經(jīng)常需要計算高斯隨機變量在處的累積概率值，即：(2-50)

為了查表方便，先進行歸一化，即設(shè)可得：(2-51)

于是通過查閱本章附錄的高斯變量概率積分表，可得精確成果。 概率積分函數(shù)有下列性質(zhì)： (2-52) 在通信系統(tǒng)設(shè)計與數(shù)字信號誤碼率分析中，經(jīng)常運用“誤差函數(shù)”或“互補誤差函數(shù)”。 誤差函數(shù)：(2-53)

互補誤差函數(shù)：(2-54)

且有：(2-55)

本章附錄中列出了誤差函數(shù)表。同時還列出了當>>1時近似式——的數(shù)值。

3.其它類型的概率分布

在通信系統(tǒng)窄帶噪聲分析中（本章最后部分），要用到瑞利（Rayleigh）分布和萊斯（Rice）分布，以及其它類型如波松（Poison）分布，后者用于信號交換排隊分析。(2-32)2.5隨機過程

在通信與信息領(lǐng)域中，存在大量的隨機信號。例如語聲、音樂信號、電視信號，在通信系統(tǒng)中傳輸?shù)臄?shù)字碼流和介入到系統(tǒng)中的干擾和噪聲，均含有多個隨機性特點。要分析這類信號與噪聲和干擾的內(nèi)在規(guī)律性，只有找出它們的統(tǒng)計特性；另首先，它們均為時間函數(shù)，即它們隨機性變化是體現(xiàn)在時間進程中的，可把它們統(tǒng)稱為隨機過程。2.5.1隨機過程的概念和定義 定義1.隨機過程是同一種實驗的隨機樣本函數(shù)的集合,表達為，其中每個樣本函數(shù)均為隨機過程的一種組員，也稱為隨機過程的一次（實驗）實現(xiàn)。 定義2.隨機過程是隨機變量在時間軸上的拓展。此時可表達為或者與隨機變量表達同樣，為避免誤視為的“函數(shù)”，而以表達隨機過程。 隨機過程是含有隨機變量的時間函數(shù)。同時，由定義2，我們也能夠說隨機過程是在時間進程中處在不同時刻的（多維）隨機變量集合。2.5.2隨機信號的統(tǒng)計特性和平穩(wěn)隨機過程 研究隨機過程的統(tǒng)計特性，為便于理解，我們由定義2及上列兩個圖示，抽出位于不同時間截口的隨機變量，它們?yōu)椋?/p>

其中若，即當0就更為典型。此時由多個時間截口的隨機變量構(gòu)成的隨機過程，其分布函數(shù)可寫為：或

(2-74)

——表達隨機過程的分布函數(shù)，各與對應，表達在各不同時間截口處的隨機變量取值為，于是，(2-75)

其中為隨機過程的概率密度。 由此看來，像隨機變量那樣，若運用的pdf來求解各階多維統(tǒng)計平均是極為復雜的。幸好，在通信及日常應用中，解決一、二維統(tǒng)計特性或統(tǒng)計平均就可滿足普通規(guī)定。并且還經(jīng)常碰到統(tǒng)計特性能夠簡化的“平穩(wěn)隨機過程”或“遍歷性”平穩(wěn)過程。

1.一維統(tǒng)計特性

首先我們可在隨機過程任意指定時間截口來看該隨機過程——它將成為該時刻處的一維隨機過程：

它與前面介紹的一維隨機變量并無本質(zhì)區(qū)別，只是表明了它處在某具體時刻，由于是任意給定的，也能夠去掉下標。此時，為參變量，能夠說一維隨機過程是隨機過程在某一時刻的一維隨機變量，其分布函數(shù)為： (2-76)

對應的概率密度函數(shù)為：(2-77)(2-78) 由能夠計算出一維隨機過程各統(tǒng)計平均：（1）均值函數(shù) (2-79)（2）方差函數(shù) (2-80)（3）均方值（函數(shù)）

由(2-81) 因此,隨機過程的均方值為：(2-82)

此成果在數(shù)學上的意義：表明隨機過程在時刻的二階原點距等于二階中心距與一階原點距平方之和；在物理方面（電學）來說，隨機過程的瞬時統(tǒng)計平均總功率等于該瞬時交流功率與直流功率之和。

2.二維統(tǒng)計平均特性

上述一維統(tǒng)計平均反映隨機過程的統(tǒng)計特性是很不充足的，二維統(tǒng)計平均更顯得重要。 我們能夠在隨機過程中任選兩個時間截口和，將截取為相距的兩個隨機變量：對應變量取值為對應變量取值為

這兩個不同時刻的聯(lián)合隨機變量，此時就是二維隨機過程。其二維統(tǒng)計特性為： (2-83) (2-84)

運用在時間截口和時的二維pdf，能夠求出隨機過程的二維統(tǒng)計平均，諸如自有關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)，以及歸一化協(xié)方差函數(shù)——自有關(guān)系數(shù)。

（1）自有關(guān)函數(shù) (2-85)

式中，由于可作為參變量選值，因此以來取代。

（2）自協(xié)方差函數(shù) (2-86)

（3）自有關(guān)系數(shù) (2-87)

3.平穩(wěn)隨機過程與廣義平穩(wěn)隨機過程定義1.若隨機過程的統(tǒng)計特性與時間原點無關(guān)，即：

則稱該隨機過程為嚴平穩(wěn)或狹義平穩(wěn)隨機過程。如此，圖2-15及圖2-16的時間原點能夠任意移動，其pdf成果不變。 定義2.若隨機過程能滿足一維和二維平穩(wěn)條件，即：(2-88)

及(2-89)

則稱該隨機過程為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程。對于通信系統(tǒng)與其它諸多自然現(xiàn)象，往往使用一、二維統(tǒng)計特性足以表明隨機過程重要實質(zhì)，或能滿足基本分析需求，故必須掌握好廣義平穩(wěn)的概念。 在廣義平穩(wěn)條件下，上述諸多統(tǒng)計平均計算能夠得到簡化： 由一維平穩(wěn)：（平穩(wěn)時）

（常數(shù)）(2-90)

同時有或。由二維平穩(wěn)：（平穩(wěn)時）設(shè)(2-91)

結(jié)論：廣義平穩(wěn)