目標(biāo)-基礎(chǔ)-能力

目標(biāo)基礎(chǔ)能力杭州市長河高級中學(xué)吳金龍一、歷屆復(fù)習(xí)回顧歷屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重。如何突出重點，有的放矢高效率地完成復(fù)習(xí)工作，大面積提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量是擺在我們?nèi)w高三數(shù)學(xué)教師面前的一項無法回避的任務(wù)，以下是我結(jié)合多年的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)體驗，針對函數(shù)部分教學(xué)的一些感悟和認(rèn)識，望能收到拋磚引玉之功效，不到之處懇請同行予以的斧正。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的部分，函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，在社會實踐中被廣泛應(yīng)用。函數(shù)教學(xué)融會了配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)換等重要的數(shù)學(xué)思想和方法。高考考查的熱點有：映射、函數(shù)概念的應(yīng)用、反函數(shù)的求法及其性質(zhì)的實際應(yīng)用；函數(shù)形性態(tài)的分析討論（單調(diào)性，周期性，奇偶性），結(jié)合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)確定參數(shù)取值范圍；在函數(shù)與方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識交匯處上的綜合問題；函數(shù)的應(yīng)用問題。高考命題在本部分的風(fēng)格是：全面考查、實出重點、注重能力。試題設(shè)計的特點是：新穎、實際、思維力度大、運算量減少。試題改革的方向：由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)化，以知識為背景，實際能力的考查和思維的訓(xùn)練。例：已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)>-2x的解集為（1，3）（Ⅰ）若方程f(x)+6a=0有兩個根，求f(x)的解析式（Ⅱ）若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍（全國卷Ⅰ.文19）從考試的形式和內(nèi)容看：數(shù)學(xué)試題“活”的成份越來越多，其可謂日新月異。函數(shù)、數(shù)列作為傳統(tǒng)的重點，越考越鮮活；導(dǎo)數(shù)、向量、概率統(tǒng)計是新生代，其工具作用已相當(dāng)明顯；導(dǎo)數(shù)使得對函數(shù)性質(zhì)的研究別開生面；并由此形成高考試題的一道靚麗的風(fēng)景線。例：設(shè)函數(shù)f(x)在（-∞,+∞）上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]，只有f(1)=f(3)=0Ⅰ試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性Ⅱ試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2005，2005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。（廣東卷.19

）在2005年的高考數(shù)學(xué)試卷中，函數(shù)部分的知識點考查面較廣，相當(dāng)?shù)姆种递^多；文理卷均有一道大題，在選擇與填空題中也有較明顯的體現(xiàn)。因此，在高考復(fù)習(xí)中師生應(yīng)著重理清一條線（函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式），夯實基礎(chǔ)，拓展能力。04年函數(shù)部分所占分值比例為26%，05年函數(shù)部分所占分值比例為28%。二、相關(guān)考題的剖析例1．（2005年浙江卷）已知函數(shù)f(x)=求f[f()]的值剖析：由題意可知：∵f()=|-1|-2=-∴f[f()]=f(-)=說明：明確分段函數(shù)的概念及其意義，合理求函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵所在。例2.（2005年浙江卷）已知k>-4,求函數(shù)y=cos2x+k(cosx-1)的最小值。剖析：由原式可知：y=2cos2x+kcosx-k-1=2(cosx+)2--k-1∵k<-4,∴<-1即->1,∴當(dāng)cosx=1時，函數(shù)取得最小值，即y|min=2+k-k-1=1說明：明確本題是求關(guān)于cosx的二次函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]上的最小值是解題的關(guān)鍵。求二次函數(shù)的最小值一般步驟是：統(tǒng)一變量，配方，構(gòu)造閉區(qū)間，取值。本題中統(tǒng)一變量為cosx后配平方。尤其重要的是必須明確二次函數(shù)的對稱軸與閉區(qū)間的相對位置。如本題中對稱軸-（大于1）在閉區(qū)間[-1，1]的右側(cè)。例3．（2005浙江卷）已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖像關(guān)于原點對稱，且有f(x)=x2+2x求函數(shù)g(x)的解析式解不等式g(x)f(x)-|x-1|若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-1，1]是遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍剖析：（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)圖像上任一點關(guān)于原點的對稱點為P（x,y）,則可得即有又∵點在函數(shù)y=f(x)的圖像上，即∴-y=(-x)2+2(-x)故g(x)=-x2+2x(2)由g(x)f(x)-|x-1|可設(shè)：2x2-|x-1|0,可以化為或因此原不等式的解集為(3)∵h(yuǎn)(x)=-(1+)x2+2(1-)x+1,當(dāng)=-1時,ln(x)=4x+1在[-1,1]上是遞增函數(shù)，∴=-1符合題意，當(dāng)≠-1時，h(x)圖象的對稱軸為。于是由得<-1;由得-1<≤0綜上所述，所求實數(shù)的取值范圍是≤0。說明：對函數(shù)圖像成中心對稱與軸對稱的理解與應(yīng)用是解決本題的入口，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用是解決該題的關(guān)鍵。同時，要重視相關(guān)數(shù)學(xué)思想的滲透與應(yīng)用。例4.(2004年福建卷)已知在區(qū)間[-1,1]是增函數(shù)，(1)求實數(shù)a的值所組成的集合A(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩根為x1,x2,試問：是否在存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意aA及t[-1,1]恒成立？若存在求出m的取值范圍;若不存在，請說明理由。剖析：(1)A={a|-1≤a≤1},過程略。(2)由=得：x2-ax-2=0,由于=a2+8>0,x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根，∴∴|x1-x2|=∵-1≤a≤1∴|x1-x2|=≤3假設(shè)不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意aA及t[-1,1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm-2≥0對任意t[-1,1]恒成立，即m2+tm-2≥0對任意t[-1,1]恒成立。設(shè)g(t)=mt+(m2-2),則有解得：m≥2或m≤-2,∴存在實數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意aA及t[-1,1]恒成立，其取值范圍為{m≥2或m≤-2}說明：不等式恒成立含義的理解是解決本題的入口，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決該題的關(guān)鍵。同時應(yīng)注意相關(guān)數(shù)學(xué)思想的滲透。例5(2000年春季高考壓軸題)已知函數(shù)f(x)=其中f1(x)=-2(x-)2+1,f2(x)=--2x+2（Ⅰ）設(shè)y=f2(x),(x[,1])的反函數(shù)為y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…，an=g(an-1),求數(shù)列{an}的通項公式，并求;（Ⅱ）若x0[,1]，x1=f(x0)，f2(x1)=x0,求x0剖析：（Ⅰ）因為y=f2(x)(x[,1])的反函數(shù)為y=1-,x[0,1]故an＝-an-1＋1，設(shè)an＋＝-（an-1＋）即an＝-an-1-令-＝1，可設(shè)＝于是數(shù)列｛an-｝是以為首項，-為公比的等比數(shù)列。故：an-＝·（-）n-1,即an＝[1-()n]∴=Ⅱ由已知x0[0,],x1=f1(x0)=1-(x0-)2,由f1(x)的值域得x1[,1]所以f2(x1)＝2-2[1-2(x0-)2]=4(x0-)2由f2(x1)＝x0整理可得，4x02-5x0+1=0,解得x0＝1，x0＝，∴x0[0,）,故x0＝說明：數(shù)列是特殊的函數(shù)，由函數(shù)的解析式f(x)構(gòu)造出an＋1＝f(an)的遞推關(guān)系，是函數(shù)與數(shù)列的相交融的最基本的形式。解決此類問題最常用的方法是對遞推關(guān)系作改造，從而把問題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解。三：解題指津利用二次函數(shù)性質(zhì)解二次方程問題。例6：已知方程x2+px+q=0有兩個相異實根，若k≠0,證明方程x2+px+q+k(2x+p)=0也有兩個相異實根（p,q,k都是實數(shù)）且僅有一根在前面方程的兩個根之間。指津：根據(jù)二次方程判別式的值之大小去確定根的個數(shù)。而要判別二次方程在某個區(qū)間上有且僅有一根，只要使二次方程所轉(zhuǎn)化的二次函數(shù)在區(qū)間端點的兩值之積小于零即可。簡解：根據(jù)題意可設(shè)：△＝p2-4q＞0,對于方程x2+（p+2k）x+q+kp=0∵=(p+2k)2-4(q+4k)=p2-4q+4k2>0∴方程x2+px+q+k(2x+p)=0也有兩個相異實根，設(shè)∵k∈R且k≠0,∴k2>0,又,由此可得到故可知方程僅有一根在前面方程的兩根之間。評注：二次方程、二次函數(shù)、二次不等式的相互轉(zhuǎn)化在函數(shù)部分的解題中至關(guān)重要，而利用二次函數(shù)圖象與根的性質(zhì)去解題又能收到事半功倍之效。（二）利用函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)與方程、分類討論方法解題。例7：已知函數(shù)證明的圖象關(guān)于點的中心對稱。若（a<b）時恰有成立，則稱區(qū)間為的保值區(qū)。若有保值區(qū)，試求實數(shù)m取值范圍。指津：利用中點坐標(biāo)公式可以證明函數(shù)圖象是否成中心對稱，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，運用函數(shù)與方程、分類討論等思想是解決本題之關(guān)鍵。簡證（1）只需證明對定義域內(nèi)任意x都成立∵∴命題成立。簡解（2）∵，當(dāng)m=-4時函數(shù)沒有保值區(qū)。當(dāng)m<-4時，函數(shù)的定義域分割為兩個區(qū)間且都是單調(diào)遞減區(qū)間：。由題意知，當(dāng)a,b∈或a,b∈時有解得m=-1(舍去)當(dāng)m>-4時，函數(shù)的定義域分割為兩個區(qū)間且都是單調(diào)遞增區(qū)間：，可知當(dāng)a,b∈或a,b∈時，若b>a>有，即a,b是方程的兩個不相等和實根，也就是方程在上有兩個不相等的實根，記，則由解得m>5.若a<b<,同理可解-4<m<-3.若a<,b>顯然不符合題意。綜上所述，所求m的取值范圍是：-4<m<-3或m>5。評注：本例考查了證明函數(shù)圖象對稱性的基本方法及形如型分式函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想和方法是解題的關(guān)鍵，從不同的思維層面上考察學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。（三）利用函數(shù)的特殊性值，特殊點及奇偶性解題例8：設(shè)函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的一個不恒等于零的連續(xù)函數(shù)，對于任意不相等的兩個實數(shù)x,y，函數(shù)都滿足。（1）求f(0)和f(1)的值（2）判斷的奇偶性，并加以證明。指津：用特殊值賦值是求抽象函數(shù)值的常用方法，由函數(shù)奇偶性的定義去判斷函數(shù)的奇偶性是通解通法。深入分析已知條件是解決問題之根本所在。簡解（1）取y=0,x≠0,由條件可得：由于是連續(xù)函數(shù)，所以，于是在（*）中令可得：∴=0又由于不恒等于0，所以存在x0∈R,使得，因此（*）式又有：（2）在所給表達(dá)式中，以-x代替y得：又=0于是=∴是一個奇函數(shù)。評注：對于抽象函數(shù)的相關(guān)問題，通常鎖定目標(biāo)再進(jìn)行特殊值賦值，或者通過分析它的背景函數(shù)去尋找突破口。（四）利用數(shù)形結(jié)合思想解題例9：已知函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上是遞增函數(shù)，且有最大值為2，函數(shù)的圖象上任一切線都不會與雙曲線的兩支相交，且最大值為。（1）求證：（2）求的解析式（3）求的最小值指津：本題是有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值的問題，應(yīng)合理運用有關(guān)導(dǎo)數(shù)的知識，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。簡解（1）由題意可得a>0,且3a+2b=2,又由題意可得即（2）即從而3a=2。故有且當(dāng)時>0,當(dāng)時，<0于是∴可得d=0∴(3)∵而∴當(dāng)時，取得最小值。評注：本例是有關(guān)函數(shù)與方程，不等式，導(dǎo)數(shù)等知識的綜合問題，涉及函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和絕對值不等式等相關(guān)知識點，考查數(shù)形結(jié)合思想和靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。（五）利用數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合解題。例10：已知在（-1，1）上有定義，，且滿足有，對數(shù)列{xn}滿足（1）證明：在（-1，1）上為奇函數(shù)。（2）求的表達(dá)式（3）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意的，恒有：成立？若存在，求出m的最小值。指津：從抽象函數(shù)的賦值入手簡解：（1）令令得，故是奇函數(shù)（2）令可得：又f(x1)=f()=1故可知數(shù)列{f(xn)}是以f(x1)=1為首項，公比為2的等比數(shù)列，∴f(xn)=2n-1(3)記假設(shè)存在m使不等式成立，則有：，解得：m≥16故存在m使不等式成立，且m的最小值是16。評注：不等式、方程恒成立的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。（六）以函數(shù)為背景解決有關(guān)不等式的問題。例11.已知兩個函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k為實數(shù)，（1）對于任意的x,都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍。（2）對任意的x1，x2都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范圍。指津：要解決問題（1），由函數(shù)f(x)，g(x)表達(dá)式的形式，利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為求某個函數(shù)的最值。對問題（2），可轉(zhuǎn)化為f(x1)max≤g(x2)min,從而得到關(guān)于k的不等式。另由于g(x)為x的三次函數(shù)，故可用求導(dǎo)方法求此函數(shù)的最值。簡解（1）由題意得：8x2+16x-k≤2x3+5x2+4x即k≥-2x3+3x2+12x在x上恒成立，記F（x）=-2x3+3x2+12x則F‘（x）=-6x2+6x+12=-6(x-2)(x+1)令F’（x）=0解得：x=2或x=-1,∵F(-3)=45,F(-1)=-7,F(2)=20,F(3)=9∴F(x)max=F(-3)=45∴k≥45(2)由于f(x1)=8x12+16x1-k在x1上的最大值為F（3）=120-k又g(x2)=2x23+5x22+4x2∴g‘（x2）=6x22+10x2+4=2(x2+1)(3x2+2)令g‘（x2）=0可得：x2=-1或x2=-又x2而g(-1)=7，g(-)=，g(-3)=-21,g(3)=111∴g(x2)min=g(-3)=-21即可得120-k≤-21∴k≥141評注：本例為函數(shù)與不等式的綜合問題，以函數(shù)為載體，利用不等式的相關(guān)知識說明解決問題，這是歷年高考考查的重點。例12：求證：若拋物線y=x2+px+q上有一點M（x0,y0）位于

x軸的下方，則拋物線與x軸必有兩個不同的交點，記交點為A（x1,0），B（x2,0），則x0在x1，x2之間。指津：要證有兩個不同的交點，即證明相應(yīng)的二次方程判別式大于0，要證x0在x1與x2之間，只需證（x0-x1）（x0-x2）<0簡證：由M（x0,y0）在拋物線上且位于

x軸的下方知∵這表明二次方程x2+px+q=0的判別式大于0，∴方程x2+px+q=0必有兩個不相等的實根，記為x1，x2且x1<x2∴拋物線y=x2+px+q與x軸有兩個交點，記為A（x1,0），B（x2,0）又韋達(dá)定理可得∵x02-(x1+x2)+x1x2<0即（x0-x1）（x0-x2）<0這表明x0在x1與x2之間。評注：二次函數(shù)、二次方程、二次不等式是高中數(shù)學(xué)中極為重要的一條主線，本題的直觀性明顯，解決問題的思想深刻。四：能力測試選擇題1.函數(shù)值域是（）A[]B[0，1]C[0，]D2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A(-,2)B(-,2)(2,+)C(2,+)D(0,2)∪(2,+)3.若0<a<,則下列各式中正確的是（）A>1BCD4.已知函數(shù)，若f(a)=b,則f(-a)=（）AbB-bCD-5若函數(shù)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為（）ABCD6設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且有f(x-1)=f(1-x),則f(x)的圖像為（）A關(guān)于直線x=0對稱B關(guān)于直線x=1對稱C關(guān)于點（0，0）成中心對稱D關(guān)于點（1，0）成中心對稱7．設(shè)函數(shù),則使M=N成立的實對（a,b）有（）A0個B1個C2個D無窮多個8：設(shè)f(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0且g(-3)=0,則f(x)·g(x)的解集是（）A（-3，0）∪（3，+）B（-3，0）∪（0，3）C（-，-3）∪（3，+）D（-，-3）∪（0，3）填空題9．已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x),f(1)=-1,則f(5)+f(11)=10.設(shè)M=則M，N的大小關(guān)系是11．設(shè)函數(shù)f(x)=設(shè)方程x+1=(2x-1)f(x)的解集為12．已知0<a<1,0<b<1,如果，那么x的取值范圍為解答題13．已知集合A=，求函數(shù)y=42x-1+4x(xA)的值域。14．設(shè)f(x)的定義域為的奇函數(shù)，且x>0時，（1）求x<0時的解析式（2）解不等式15.已知函數(shù)f(x2-1)=判斷f(x)的奇偶性解關(guān)于x的方程16．已知函數(shù)求f(x)-g(x)的定義域若方程f(x)=g(x)有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍。17．設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x)在（0，1]上是遞增函數(shù)，求a的取值范圍。求f(x)在（0，1）上的最大值。18．已知函數(shù)（a,b為實數(shù)），若f(-1)=0,且函數(shù)