《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》筆記

第1頁(yè)**共14頁(yè)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》筆記一、課程導(dǎo)讀“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是討論隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的一門學(xué)科在自然界,在人們的實(shí)踐活動(dòng)中，所遇到的現(xiàn)象一般可以分為兩類：確定性現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象

在肯定的條件下，必定會(huì)消滅某種確定的結(jié)果。例如,向上拋一枚硬幣，由于受到地心引力的作用,硬幣上升到某一高度后必定會(huì)下落．我們把這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象（或必定現(xiàn)象）．同樣，任何物體沒有受到外力作用時(shí)，必定保持其原有的靜止或等速運(yùn)動(dòng)狀態(tài);導(dǎo)線通電后，必定會(huì)發(fā)熱;等等也都是確定性現(xiàn)象。

隨機(jī)現(xiàn)象

在肯定的條件下，可能會(huì)消滅各種不同的結(jié)果,也就是說，在完全相同的條件下，進(jìn)行一系列觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)，卻未必消滅相同的結(jié)果.例如，拋擲一枚硬幣，當(dāng)硬幣落在地面上時(shí)，可能是正面（有國(guó)徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬幣落地前我們不能預(yù)知畢竟哪一面朝上．我們把這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象)．同樣,自動(dòng)機(jī)床加工制造一個(gè)零件,可能是合格品，也可能是不合格品;射擊運(yùn)動(dòng)員一次射擊,可能擊中10環(huán)，也可能擊中9環(huán)8環(huán)……甚至脫靶;等等也都是隨機(jī)現(xiàn)象。

統(tǒng)計(jì)規(guī)律性對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象,從表面上看,由于人們事先不能知道會(huì)消滅哪一種結(jié)果，似乎是不行捉摸的；其實(shí)不然．人們通過實(shí)踐觀察到并且證明白，在相同的條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)(觀測(cè)）,其結(jié)果總能呈現(xiàn)出某種規(guī)律性．例如，多次重復(fù)拋一枚硬幣,正面朝上和反面朝上的次數(shù)幾乎相等；對(duì)某個(gè)靶進(jìn)行多次射擊，雖然各次彈著點(diǎn)不完全相同,但這些點(diǎn)卻按肯定的規(guī)律分布；等等．我們把隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．

應(yīng)用例子

摸球游戲中誰(shuí)是真正的贏家在街頭巷尾常見一類“摸球游戲”．游戲是這樣的：一袋中裝有16個(gè)大小、外形相同，光滑程度全都的玻璃球。其中８?jìng)€(gè)紅色、8個(gè)白色.游戲者從中一次摸出8個(gè)，8個(gè)球中．當(dāng)紅白兩種顏色消滅以下比數(shù)時(shí)．摸球者可得到相應(yīng)的“嘉獎(jiǎng)”或“懲罰”:

結(jié)果（比數(shù))A（８：0）B（7:1)C（６：２)D（５：3)E（4：4)獎(jiǎng)金（元）１010。50.２-2注：表中“—２"表示受罰2元解:此游戲（實(shí)為賭博），從表面上看格外有吸引力,5種可能消滅的結(jié)果.有４種可得獎(jiǎng)．且最高獎(jiǎng)達(dá)1０元.而只有一種情況受罰.罰金只是２元.因此就吸引了很多人格外是奇怪???的青少年參加．結(jié)果卻是受罰的多,何以如此呢？其實(shí)．這就是概率知識(shí)的簡(jiǎn)略應(yīng)用:現(xiàn)在是從16個(gè)球中任取8個(gè)。全部可能的取法為種.即基本領(lǐng)件總數(shù)有限.又由于是任意抽取．保證了等可能性．是典型的古典概型問題．由古典概率計(jì)算公式.很容易得到上述5種結(jié)果．其對(duì)應(yīng)的概率分別是:假設(shè)進(jìn)行了1000次摸球試驗(yàn)，5種情況平均消滅的次數(shù)分別為:０、10、12２、４87、3８１次，經(jīng)營(yíng)游戲者預(yù)期可得2×381-（１0×0+1×1０＋0。５×１22＋0。2×487）＝593.６（元）．這個(gè)例子的結(jié)論可能會(huì)使我們大吃一驚,然而正是在這一驚之中。獲得了對(duì)古典概率更簡(jiǎn)略、更生動(dòng)的知識(shí).

戲院設(shè)座問題乙兩戲院在競(jìng)爭(zhēng)5００名觀眾，假設(shè)每個(gè)觀眾完全任意地選擇一個(gè)戲院,且觀眾之間選擇戲院是彼此獨(dú)立的,問每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位才能保證觀眾因缺少座位而離開的概率小于5％?

解由于兩個(gè)戲院的情況相同,故只需考慮甲戲院即可.設(shè)甲戲院需設(shè)m個(gè)座位,定義

，i=1,2，…，500

依題意，若用x表示選擇甲戲院的觀眾總數(shù),則，問題化為求ｍ使由于E(xｉ）＝D（ｘi）＝0．5，由中心極限定理近似地故，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知，從而解得，即每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)多少26９個(gè)座位.各章的重點(diǎn)難點(diǎn)第一章大事與概率

古典概率

全概率公式與貝葉斯公式（＊)

獨(dú)立試驗(yàn)序列其次章離散型隨機(jī)變量

離散隨機(jī)變量的概率分布

分布函數(shù)

常用分布：超幾何分布Ｈ(n,Ｍ，Ｎ）、二項(xiàng)分布B（n，p）、泊松分布P（λ）

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念及性質(zhì)第三章連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度、均勻分布U［a，ｂ]、指數(shù)分布e（λ）、正態(tài)分布N（μ,σ２)

分布函數(shù)

二維隨機(jī)變量的分布（聯(lián)合分布)

邊際分布

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差

相關(guān)矩與相關(guān)系數(shù)

隨機(jī)變量的和的分布

切比雪夫不等式第四章大數(shù)定律與中心極限定理

大數(shù)定律（辛欽定理、伯努里定理)

中心極限定理（列維定理、德莫威爾-拉普拉斯定理)第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)

總體與樣本的概念

常用統(tǒng)計(jì)量:樣本均值、樣本方差、修正樣本方差

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的常用分布:χ2分布、ｔ分布、F分布(＊)

正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量分布：定理1~定理4第六章點(diǎn)估量

參數(shù)的矩估量:

極大似然法

無(wú)偏估量第七章假設(shè)檢驗(yàn)

正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差的假設(shè)檢驗(yàn)

正態(tài)總體均值的區(qū)間估量

正態(tài)總體方差的區(qū)間估量(未知μ）二、

學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)

本課程是討論隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。由于討論對(duì)象，所以在學(xué)習(xí)方法上與分析數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等其它課程有很大不同。在學(xué)習(xí)過程中，會(huì)遇到較多的、獨(dú)特的概念和分析方法,初學(xué)者可能會(huì)感到很不習(xí)慣,入門會(huì)有肯定困難,但是只要肯于鉆研并掌握較好的學(xué)習(xí)方法,多數(shù)同學(xué)不僅能達(dá)到考核的基本要求，而且還會(huì)產(chǎn)生較大的學(xué)習(xí)愛好。這是由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與社會(huì)生活實(shí)際的聯(lián)系十分緊密,應(yīng)用格外廣泛,因而容易激發(fā)人們的愛好。下面,結(jié)合本課程的特點(diǎn)，介紹某些行之有效的學(xué)習(xí)方法供同學(xué)參考。1。學(xué)習(xí)概率論的基本概念時(shí),首先要注意這些概念的統(tǒng)計(jì)背景。概率論部分的基本概念比較多，格外從其次章“隨機(jī)變量及其分布"開頭，似乎“高難動(dòng)作”一個(gè)接著一個(gè)來(lái).如果對(duì)基本概不能很好理解，勢(shì)必影響自學(xué)的信心.實(shí)際上，概率論的很多基本概念來(lái)源于統(tǒng)計(jì)實(shí)踐，因此弄清其統(tǒng)計(jì)背景乃是入門的向?qū)?。例如，概率?lái)源于頻率，它是大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率的穩(wěn)定值.因此，頻率是概率的先導(dǎo)。而概率又是頻率的抽象和進(jìn)展.進(jìn)而可理解概率的某些基本特性也是相應(yīng)的頻率特性的高度概括和抽象。又如,連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度的統(tǒng)計(jì)背景是統(tǒng)計(jì)直方圖；隨機(jī)變量的分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一種“累計(jì)概率”，它來(lái)源于統(tǒng)計(jì)中的閱歷分布函數(shù)；而隨機(jī)變量的期望概念則是樣本均值的抽象，在供應(yīng)了頻率分布的前提下，樣本均值實(shí)際上是一種加權(quán)平均值(“權(quán)”就是頻數(shù)）,而離散隨機(jī)變量的期望恰恰是這種加權(quán)平均值概念的提升和推廣，即將頻率提升為概率，將有限推廣到無(wú)限等等。

２．重視概念的甄別，即弄清某些容易混淆的概念之間的區(qū)分。

在概率論中存在很多容易混淆的概念，如果不能認(rèn)真區(qū)分,仔細(xì)加以甄別，就不能正確理解這些重要概念,在應(yīng)用時(shí)就會(huì)產(chǎn)生各種各樣的錯(cuò)誤。

互不相容大事與相互獨(dú)立大事是最容易混淆的一對(duì)概念“互不相容”是指兩個(gè)大事不能同時(shí)發(fā)生.而“相互獨(dú)立”則是指一個(gè)大事發(fā)生與否對(duì)另一大事發(fā)生的概率沒有影響。

隨機(jī)變量的獨(dú)立性與不相關(guān)性是兩個(gè)既有區(qū)分又有聯(lián)系的概念。兩個(gè)隨機(jī)變量

相互獨(dú)立不相關(guān)

條件概率Ｐ（Ａ｜B)與乘積概率P(AB）也是容易混淆的一對(duì)概念條件概率是已知某大事發(fā)生條件下,另一大事發(fā)生的概率,而乘積概率中所涉及的大事都沒有“已經(jīng)發(fā)生”的假定。兩者的關(guān)系為P（ＡB）=P（B)P（A|B）

３．擅長(zhǎng)識(shí)別一些重要的概率模型并能正確進(jìn)行計(jì)算是提高分析和解決概率實(shí)際問題能力的關(guān)鍵。

在概率論中有很多經(jīng)長(zhǎng)期實(shí)踐概括出的重要概率模型（簡(jiǎn)稱“概型”）,同學(xué)必須了解其背景、特點(diǎn)和適用范圍，要熟記計(jì)算公式，以便能正確應(yīng)用.例如：

（１）古典概型：一類具有有限個(gè)“等可能"發(fā)生的基本領(lǐng)件的概率模型。

(2)完備大事組模型：若干個(gè)兩兩互不相容的大事在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的一類概率模型。它主要用于某些簡(jiǎn)潔大事的計(jì)算—-全概率公式，以及某些條件概率的計(jì)算-—貝葉斯公式。(３)貝努利概型與二項(xiàng)分布模型：貝努利概型是關(guān)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列的一類重要的概率模型,其特點(diǎn)是各個(gè)重復(fù)試驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，且每次試驗(yàn)中僅有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果：大事A發(fā)生或不發(fā)生,則在ｎ次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，大事Ａ恰好發(fā)生m次的概率為

，其中p=P（A）.(4）泊松分布：物理上存在一種質(zhì)點(diǎn)流,稱為泊松流,它是由源源不斷的隨機(jī)消滅的很多質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的一種隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流。例如，電話交換臺(tái)所接到的呼喚形成一呼喚流,到某商店去購(gòu)物的顧客形成一顧客流，經(jīng)過某塊天空的流星形成流星流,放射性物質(zhì)不斷放出的質(zhì)點(diǎn)形成質(zhì)點(diǎn)流等等。泊松流的主要特征之一就是在任意兩個(gè)不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)各自消滅的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的。加上另一些特征，即可導(dǎo)出泊松流的概率模型．

（５）正態(tài)分布——最重要的概率模型：依據(jù)中心極限定理的意義可知：很多微小的,又相互獨(dú)立作用的隨機(jī)因素，如果它們同分布，則它們累加起來(lái)的總效應(yīng)必定聽從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布應(yīng)用最為廣泛的根本緣由.例如人體的身高、體重，測(cè)量的誤差等都聽從正態(tài)分布。（6)均勻分布——“等可能"取值的連續(xù)化模型：如果連續(xù)隨機(jī)變量?jī)H在某有限區(qū)間［ａ,b]內(nèi)取值,且具有概率密度則稱聽從區(qū)間［a,b]上的均勻分布.除以上6種常見的概率模型外,還有指數(shù)分布，隨機(jī)變量的函數(shù)等模型,不再—一列舉,可參看教材有關(guān)內(nèi)容。4．對(duì)于某些難度較大的特殊算法要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行“典例復(fù)算”

同學(xué)普遍反映本課程自學(xué)較難，除概念抽象外，唯恐一些特殊的計(jì)算方法也會(huì)帶來(lái)不少學(xué)習(xí)上的困難。要突破這一點(diǎn)，最好的方法是將有關(guān)的典型例題讀完后，合上書，認(rèn)真復(fù)算一遍，邊算邊加深理解.例如，關(guān)于已知隨機(jī)變量的分布列或概率密度，求分布函數(shù)的方法.從分布函數(shù)的定義

動(dòng)身，可得出關(guān)于離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算公式，分別為和困難在于這兩個(gè)公式的簡(jiǎn)略應(yīng)用.

５．學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分,最重要的是要領(lǐng)悟各種統(tǒng)計(jì)方法內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)思想,其次是要嫻熟掌握操作步驟.

例如,極大似然估量法的主要統(tǒng)計(jì)思想是：如果在一次試驗(yàn)中,某個(gè)樣本x1，x２，…,xn一旦消滅，就有理由認(rèn)為該樣本消滅的概率最大。簡(jiǎn)略操作時(shí)，只要利用總體的已知分布（其中包含待估的本知參數(shù))構(gòu)造樣本的聯(lián)合分布，即似然函數(shù)，再應(yīng)用微積分的極值原理找出最大值點(diǎn),即得極大似然估量量。

又如,區(qū)間估量實(shí)際上是以肯定的把握(置信概率）去估量未知參數(shù)所落入的范圍(置信區(qū)間）。區(qū)間估量方法最主要的統(tǒng)計(jì)思想是：設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與待估未知參數(shù)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量，利用它的抽樣分布,在給定的置信概率下確定臨界值,再作適當(dāng)?shù)母怕屎愕茸冃渭纯色@得置信區(qū)間.簡(jiǎn)言之，就是以統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布為武器,達(dá)到用樣本推斷總體的目的。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)既然是用部分去推斷總體，格外是區(qū)間估量和假設(shè)檢驗(yàn)都只是依據(jù)一次抽樣所得的樣本值去下結(jié)論,這就不行能不犯錯(cuò)誤，于是就產(chǎn)生了區(qū)間估量的牢靠性（置信概率）和假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤問題。這就是說,數(shù)理統(tǒng)計(jì)工作者對(duì)實(shí)際問題下結(jié)論時(shí)往往不是簡(jiǎn)潔地回答“是”或“非”,而是帶有肯定的犯錯(cuò)誤的概率。這樣做,既體現(xiàn)了實(shí)事求是的科學(xué)精神，又鼓勵(lì)人們通過不斷實(shí)踐，經(jīng)過多次試驗(yàn)逐步獲得較為精準(zhǔn)和牢靠的結(jié)論。同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)這部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)充分領(lǐng)悟和把握統(tǒng)計(jì)方法的這一重要特色。

6．在重視基本概念、基本理論和基本方法學(xué)習(xí)的前提下，也要注意概率統(tǒng)計(jì)中專用語(yǔ)言和符號(hào)的規(guī)范使用.本課程的教學(xué)實(shí)踐和考試的情況反映出同學(xué)的學(xué)習(xí)效果不容樂觀.很多同學(xué)對(duì)基本知識(shí)和基本技能不能正確理解和掌握。例如,求得的概率是負(fù)值或大于1,方差小于０，相關(guān)系數(shù)大于1等錯(cuò)誤大有人在；對(duì)于“至少發(fā)生1個(gè)"、“至多發(fā)生２個(gè)”等概率論專用語(yǔ)言不理解，從而不能正確表達(dá)大事;計(jì)算概率時(shí),對(duì)有關(guān)大事Ａ,”B，C等或有關(guān)隨機(jī)變量X，Y等的含義不事先設(shè)定；正態(tài)分布計(jì)算中對(duì)一般的正態(tài)變量不作“標(biāo)準(zhǔn)化變換”;關(guān)于大事或隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定或證明更是錯(cuò)誤百出,答非所問。格外是數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，很多考生或者放棄,或者胡亂解答一通。這些現(xiàn)象充分說明,同學(xué)肯定要重視基本概念、基本原理和基本方法的真正理解和掌握。7．必須做相當(dāng)多的習(xí)題。

凡數(shù)學(xué)課程,只是看書而不做習(xí)題是很難真正掌握好的。通常是，看書時(shí)明白了，當(dāng)要做習(xí)題時(shí)又無(wú)從下手。做習(xí)題能幫助我們復(fù)習(xí)提高,加深對(duì)概念的理解，對(duì)算法的掌握。三、注意事項(xiàng)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是討論隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學(xué)科，解決問題方法思路與其它數(shù)學(xué)學(xué)科大不相同,概念難以理解,規(guī)律不易掌握，習(xí)題處理困難。為提高學(xué)習(xí)效果，保證學(xué)習(xí)質(zhì)量，學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》應(yīng)注意以下幾方面的問題：1、擅長(zhǎng)歸納,尋找共性。本課程內(nèi)容較為散亂,每個(gè)問題都有不同背景，系統(tǒng)歸結(jié)，找出共性，有利于整體掌握所學(xué)內(nèi)容.例