三角法及向量法解平面幾何題

第27講三角法與向量法解平面幾何題相關(guān)知識(shí)在中,R為外接圓半徑,為切圓半徑,,則1,正弦定理:,2,余弦定理:,,.3,射影定理:,,.4,面積:==.A類例題例1．在ΔABC中，b=asinC,c=asin(900-B)，試判斷ΔABC的形狀。分析條件中有邊、角關(guān)系,應(yīng)利用正、余弦定理,把條件統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊或者是角的關(guān)系,從而判定三角形的形狀。解由條件c=asin(900-B)=acosB=.ΔABC是等腰直角三角形。例2．〔1〕在△ABC中，cosA=，sinB=，則cosC的值為〔〕A．B．C．D．解∵C=(A+B),∴cosC=cos(A+B),又∵A(0,),∴sinA=,而sinB=顯然sinA>sinB,∴A>B,∵A為銳角,∴B必為銳角,∴cosB=∴cosC=cos(A+B)=sinAsinBcosAcosB=.選A.說明△ABC中,sinA>sinBA>B.根據(jù)這一充要條件可判定B必為銳角?！?〕在Rt△ABC中，C＝90°，A＝θ，外接圓半徑為R，切圓半徑為r，當(dāng)θ為時(shí)，的值最小。解答由題意，R＝，r＝．〔其中a、b、c為Rt△ABC的三條邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)〕∴＝＝＝．∵sin〔α＋〕≤1，∴≥＝＋1．當(dāng)且僅當(dāng)θ＝時(shí)，的最小值為＋1。例3在△ABC中，＝，求證：B、A、C成等差數(shù)列。分析由于條件等式是關(guān)于三角形的邊、角關(guān)系，而要證的結(jié)論只有角的關(guān)系，故應(yīng)運(yùn)用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角。而B、A、C成等差數(shù)列的充要條件是A＝60°,故應(yīng)證A＝60°。證明由條件得＝．∵sin〔A＋B〕＝sinC，∴sin〔A－B〕＝sinC－sinB，∴sinB＝sin〔A＋B〕－sin〔A－B〕＝2cosAsinB．∵sinB≠0，∴cosA＝，A＝60°．∴B、A、C成等差數(shù)列。例4ABC中，三個(gè)角A、B、C的對(duì)邊分別為，假設(shè)，求角C的大小。解由=cosB，故B=，A＋C=.由正弦定理有：，又sinA=sin(-C)=，于是sinC=cosC，tanC=1,C=。A＋C=,要求C需消去A。說明解此題時(shí)首先要運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，從而得關(guān)于A、C的兩個(gè)方程1．利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：〔1〕己知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；〔2〕己知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其它的邊和角)。己知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有一解或兩解。2．利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：〔1〕己知三邊，求三個(gè)角；〔2〕己知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角。3．解斜三角形：要明確三角形的六個(gè)元素(三條邊、三個(gè)角)中己知什么，求什么。再運(yùn)用三角形角和定理、正弦定理與余弦定理解題。4．研究三角形的邊角關(guān)系和判斷三角形的形狀：運(yùn)用三角形角和、正弦定理與余弦定理及三角變換公式，靈活進(jìn)展邊角轉(zhuǎn)換。三角形中的邊角關(guān)系式和三角形形狀的判斷證明，都可歸入條件恒等式證明一類，常用到互補(bǔ)、互余角的三角函數(shù)關(guān)系。情景再現(xiàn)1△ABC的三個(gè)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a2=b〔b+c〕，求證：A=2B.2．ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a、b、c成等比數(shù)列，且〔1〕求的值〔2〕設(shè)，求的值3A、B、C是△ABC的三個(gè)角，y=cotA+.假設(shè)任意交換兩個(gè)角的位置，y的值是否變化"試證明你的結(jié)論.〔2〕求y的最小值.B類例題例5如圖，*園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.假設(shè)BC=a，∠ABC=，設(shè)△ABC的面積為S1，正方形的面積為S2．〔１〕用a，表示S1和S2；〔２〕當(dāng)a固定，變化時(shí)，求取最小值時(shí)的角。解〔1〕設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則〔2〕當(dāng)固定，變化時(shí)，令，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以證明：函數(shù)在是減函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)。o說明三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，此題就是一個(gè)典型的例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)。三角函數(shù)的應(yīng)用性問題是歷年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn)，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注。o例6如圖，A、B是一矩OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，設(shè)∠AOE=α.〔1〕寫出△AOB的面積關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式f(α);〔2〕寫出函數(shù)f(*)的取值圍。解：〔1〕∵OE=1，EF=∴∠EOF=60°當(dāng)α∈[0，15°]時(shí)，△AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)∴f(α)=S△AOB=[tan(45°+α)－tanα]==當(dāng)a∈〔15°,45°]時(shí)，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，且OA=，OB=∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=綜上得：f(α)=〔2〕由〔1〕得：當(dāng)α∈[0，]時(shí)f(α)=∈[,－1]且當(dāng)α=0時(shí)，f(α)min=；α=時(shí)，f(α)ma*=－1；當(dāng)α∈時(shí),－≤2α－≤，f〔α〕=∈[－,]且當(dāng)α=時(shí)，f(α)min=－；當(dāng)α=時(shí)，f(α)ma*=所以f(*)∈[,]。說明三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著嚴(yán)密的關(guān)系，它幾乎滲透了數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支。注意三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。例7海中相距2海里的A、B兩島，分別到海岸線〔直線〕的距離的海里和海里，現(xiàn)要在海岸線上建立一個(gè)觀測(cè)站P，使APB最大，求點(diǎn)P的位置，且求APB的最大值。解如圖，過P作的垂線PQ交于，，設(shè)，且，在直角梯形ABDC中，〔過A作于〕在中求出，設(shè)〔〕有最大值時(shí)，也有最大值。令，即時(shí)，LDBA’CLPALQLLDBA’CLPALQL的最大值為，點(diǎn)P在點(diǎn)D時(shí)，最大，最大值為。例8*城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB局部為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短"并求其最短距離.〔不要求作近似計(jì)算〕解：在△AOB中，設(shè)OA=a，OB=b.因?yàn)锳O為正西方向，OB為東北方向，所以∠AOB=135°.則|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=〔2+〕ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=〞成立.又O到AB的距離為10，設(shè)∠OAB=α，則∠OBA=45°－α.所以a=，b=，ab=·====≥，當(dāng)且僅當(dāng)α=22°30′時(shí)，“=〞成立.所以|AB|2≥=400〔+1〕2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，α=22°30′時(shí)，“=〞成立.所以當(dāng)a=b==10時(shí)，|AB|最短，其最短距離為20〔+1〕，即當(dāng)1.一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解三角形是重要的測(cè)量手段，通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)一步提高技能技巧和解決實(shí)際問題的能力.2.要加大以三角形為背景，以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練.3．根據(jù)實(shí)際情景，選擇適當(dāng)?shù)淖兞?，建立目?biāo)函數(shù)，通過函數(shù)方法到達(dá)問題的解決。情景再現(xiàn)4如圖，三棱錐P-ABC的底面ABC為等腰三角形，AB=AC=a，側(cè)棱長(zhǎng)均為2a，問BC為何值時(shí)，三棱錐P-ABC的體積V最大，最大值是多少？5如圖，一科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東α角的射線OZ方向航行，其中tanα=。在距離港口O為a〔a為正常數(shù)〕海里北偏東β角的A處有一個(gè)供應(yīng)科學(xué)考察船物資的小島，其中cosβ=?，F(xiàn)指揮部緊急征調(diào)沿海岸線港口O正向m海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝運(yùn)物資供應(yīng)科學(xué)考察船，該船沿BA方向不變?nèi)僮汾s科學(xué)考察船，并在C處相遇。經(jīng)測(cè)算，當(dāng)兩船運(yùn)行的航線OZ與海岸線OB圍成的三角形OBC面積S最小時(shí)，補(bǔ)給最適宜?！?〕求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S(m)；〔2〕當(dāng)m為何值時(shí)，補(bǔ)給最適宜？C類例題例9．假設(shè)△ABC的外接圓的直徑AE交BC于D，則tanB?tanC＝．證如圖，作AM⊥BC，EN⊥BC，于是有．①另一方面，注意到sinA＝sin∠BEC，＝tan∠AEC＝tanB，＝tan∠AEB＝tanC．因此＝tanB?tanC．②由①、②得tanB?tanC＝．例10在□ABCD的每個(gè)邊上取一點(diǎn)，假設(shè)以所取的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于平行四邊形面積的一半，則該四邊形至少有一條對(duì)角線平行于平行四邊形的邊．證如圖，設(shè)∠DAB＝α，AD＝a，AB＝b．由面積公式得S△AKN＝AK?ANsinα，S△BLK＝BL?〔b－AK〕?sinα，S△CLM＝〔a－BL〕〔b－MD〕?sinα，S△DMN＝〔a－AN〕?MD?sinα，S□ABCD＝absinα．于是SLMNK＝S□ABCD－〔S△AKN＋S△BLK＋S△CLM＋S△DMN〕＝absinα?[1－]．由SLMNK＝absinα，得〔AN－BL〕〔AK－MD〕＝0．故AN＝BL，或AK＝MD，也就是說LN∥AB或KM∥AD．例11在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足∠BAE＝∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC〔M、N是垂足〕，延長(zhǎng)AE交三角形ABC的外接圓于D點(diǎn)．證明：四邊形AMDN與△ABC面積相等．證連結(jié)MN、BD，因?yàn)镕M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，所以A、M、F、N四點(diǎn)共圓．所以∠AMN＝∠AFN，∠AMN＋∠BAE＝∠AFN＋∠CAF＝90°，即MN⊥AD，SAMDN＝AD?MN．又因?yàn)椤螩AF＝∠BAD，∠ACF＝∠ADB，所以△AFC∽△ABD，所以，AF?AD＝AB?AC．而AF?sin∠BAC＝MN，AF＝，所以S△ABC＝AB?Acsin∠BAC＝AF?ADsin∠BAC＝AD?MN＝SAMDH．例12如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G．求證：∠GAC＝∠EAC．證連結(jié)BD交AC于H，對(duì)△BCD用塞瓦定理有：．因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線，由角平分線定理有：．故設(shè)∠BAC＝∠DAC＝α〔α∈〕，設(shè)∠GAC＝∠1，∠EAC＝∠2，由角公式有：，，于是，即sin∠1?sin〔α－∠2〕＝sin∠2?sin〔α－∠1〕，所以sin∠1?sinαcos∠2－sin∠1?cosαsin∠2＝sin∠2?sinαcos∠1－sin∠2?cosαsin∠1．所以sin∠1?cos∠2＝cos∠1?sin∠2，即sin〔∠1－∠2〕＝0，而∠1，∠2∈，所以∠1－∠2＝0，即∠GAC＝∠EAC．情景再現(xiàn)在圓接四邊形ABCD中，BC＝CD．求證：AC2＝AB?AD＋BC2．在△ABC中，假設(shè)D是BC上一點(diǎn)，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則第27講作業(yè)1．在△ABC中，acosB=bcosA是△ABC為等腰三角形的()A．必要但不充分條件B.充分但不必要條件C．充分必要條件D.既非充分又非必要條件2．設(shè)A是△ABC中的最小角，則函數(shù)y＝sinA－cosA的值域?yàn)椤病矨.[－，]B.〔－1，〕C.〔－1，D.[－1，]3．ΔABC中，AB=AC，AB邊上的高為，AB邊上的高與BC的夾角為60o，則ΔABC的面積是()A．B．C．2D．38．船以32海里/時(shí)的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船北偏東30o，半小時(shí)后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東75o，則燈塔S與B點(diǎn)的距離為______海里〔準(zhǔn)確到0.1海里〕。4.根據(jù)以下條件，判斷△ABC的形狀(1)acosA＝bcosB(2)sin2?。玸in2B＝sin2C，且c＝2acosB5.在△ABC中，假設(shè)a2＝b〔b＋c〕，則A與B有何關(guān)系"6.在△ABC中，求證7.在△ABC中，2sin2A＝3sin2B＋3sin①證明cos2A＋3cosA＋3cos〔B－C〕＝1②求：a∶b∶c8.△ABC的三個(gè)角A、B、C滿足A+C=2B，且，求cos的值9.△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，假設(shè)a，b，c順序成等差數(shù)列，且∠A-∠C=120°，求sinA，sinC．10.⊙O的半徑為R，，在它的接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值．11在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值。12.如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即I=k·，其中k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，則怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？13在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，假設(shè)要使AD最小，求AD∶AB的值14如圖，海島上有一座海拔米高的山，山頂上設(shè)有一個(gè)觀察站．上午時(shí)測(cè)得一輪船在島北偏東的處，俯角為，時(shí)分又測(cè)得該船在島的北偏西的處，俯角為?！?〕該船的速度為每小時(shí)多少千米？〔2〕假設(shè)此船以不變的航速繼續(xù)前進(jìn)，則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向？此時(shí)所在點(diǎn)離開島多少千米？15銳角三角形ABC中，〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕設(shè)AB=3，求AB邊上的高.16情景再現(xiàn)答1．證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b〔b+c〕中，得sin2A=sinB〔sinB+sinC〕sin2A－sin2B=sinBsin－=sinBsin〔A+B〕〔cos2B－cos2A〕=sinBsin〔A+B〕sin〔A+B〕sin〔A－B〕=sinBsin〔A+B〕，因?yàn)锳、B、C為三角形的三角，所以sin〔A+B〕≠0.所以sin〔A－B〕=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.2〔1〕由，得由及正弦定理得于〔2〕由得，由，即由余弦定理解：〔1〕∵y=cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotC，∴任意交換兩個(gè)角的位置，y的值不變化.〔2〕∵cos〔B－C〕≤1，∴y≥cotA+=+2tan=〔cot+3tan〕≥=.故當(dāng)A=B=C=時(shí)，ymin=.評(píng)述：此題的第〔1〕問是一道結(jié)論開放型題，y的表達(dá)式的外表不對(duì)稱性顯示了問題的有趣之處.第〔2〕問實(shí)際上是一道常見題：在△ABC中，求證：cotA+cotB+cotC≥.4分析：因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱長(zhǎng)均相等，因此頂點(diǎn)P在底面上的射影O是△ABC的外心，從而想到用正弦定理，再利用三角函數(shù)來求最值．解：作PO⊥底面ABC，垂足為O．由PA=PB=PC=2a，知O為△ABC∵AB=AC=a，∴O落在底面ABC的高AD上．設(shè)∠ABC=θ，連結(jié)BO，則BO為△ABC外接圓的半徑．記BO=R，由正弦定理，有，∵BD=acosθ，AD=asin．∴當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，．5解：〔1〕以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系。直線OZ的方程為y=3*，①設(shè)A(*0，y0)，則*0=3sinβ=9a，y0=3cosβ=6a，∴A(9a，6又B(m，0)，則直線AB的方程為y=(*-m)②由①、②解得，C()，∴S(m)=S△OBC=|OB||yc|=，()?！?〕S(m)=3a[(m-7a)+]≥84a當(dāng)且僅當(dāng)m-7a=，即m=14a>7故當(dāng)m=14a6證設(shè)四邊形ABCD的外接圓半徑為R，兩條對(duì)角線的夾角為θ，由面積公式得S△ABD＝AB?AD?sin∠BAD．S△BCD＝BC?CD?sin∠BCD．以上兩式相加，并注意到BC＝CD，sin∠BAD＝sin∠BCD．可得SABCD＝〔AB?AD＋BC2〕sin∠BCD．①另一方面SABCD＝AC?BD?sinθ＝ACsinθ?2Rsin∠BCD．注意到θ＝∠ABD＋∠BAC＝∠ABD＋∠BDC＝∠ABD＋∠DBC＝∠ABC，2Rsinθ＝2Rsin∠ABC＝AC于是得SABCD＝AC2?sin∠BCD．②由①、②得AC2＝AB?AD＋BC2．7證明簡(jiǎn)介：

在△ABD和△ABC中，由余弦定理，得第八講答案1.B2.C3.A4.11.34.解：(1)∵acosA＝bcosB∴∴即sinAcosA＝sinBcosB∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＝π－2B∴A＝B或A＋∴△ABC是等腰三角形或直角三角形(2)∵sin2A＋sin2B＝sin2∴∴a2＋b2＝c2故△ABC是直角三角形，且C＝9O°，∴cosB＝，代入c＝2acosB得cosB＝∴B＝45°，A＝45°綜上，△ABC是等腰直角三角形5.解：由正弦定理得sin2A＝sinB〔sinB＋sinC〕∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC，〔sinA＋sinB〕〔sinA－sinB〕＝sinBsinC，sin〔A＋B〕sin〔A－B〕＝sinB·sinC∵sin〔A＋B〕＝sinC，∴sin〔A－B〕＝sinB，∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B(舍去)故A與B的關(guān)系是A＝2B6.證明：由余弦定理，知a2＋b2－c2＝2abcosC，a2－b2＋c2＝2cacosB，∴7.解：由①得2a2＝3b2＋3c2∵cosA＝－cos〔B＋C〕由②得3cos〔B－C〕－3cos〔B＋C〕＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2∴cos〔B－C〕－cos〔B＋C〕＝sin2B＋sin2C，2sinBsinC＝sin2B＋sin2C即〔sinB－sinC〕2＝O，∴sinB＝sinC，∴2RsinB＝2RsinC，∴b＝c代入③得a＝b∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶18.解法一由題設(shè)條件知B=60°，A+C=120°設(shè)α=，則A－C=2α，可得A