必修五解三角形講義

人教版數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形重難點(diǎn)解析【重點(diǎn)】1、正弦定理、余弦定理的探索和證明及其根本應(yīng)用。2、在三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；3、三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用；實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解決。4、結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題。5、能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到條件和所求角的關(guān)系。6、推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目。【難點(diǎn)】1、兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。2、勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用，正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。3、根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖，能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件。4、靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題。5、利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題?！疽c(diǎn)容】一、正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即===2R〔R為△ABC外接圓半徑〕1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即c=，c=，c=．∴==2．斜三角形中證明一：〔等積法〕在任意斜△ABC當(dāng)中S△ABC=兩邊同除以即得：==證明二：〔外接圓法〕如下圖，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理=2R，＝2R正弦定理的應(yīng)用正弦定理可以用來(lái)解兩種類型的三角問(wèn)題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角?！惨?jiàn)圖示〕a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況:⑴假設(shè)A為銳角時(shí):⑵假設(shè)A為直角或鈍角時(shí):2、余弦定理余弦定理用語(yǔ)言可以這樣表達(dá)，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍．即：假設(shè)用三邊表示角，余弦定理可以寫為余弦定理可解以下兩種類型的三角形：〔1〕三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)角；〔2〕三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊．注意：在〔0，π〕圍余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性．假設(shè)cosA＞0．則A為銳角；假設(shè)cosA=0，則A為直角；假設(shè)cosA＜0，則A為鈍角．3、余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC．假設(shè)∠C=90°，則cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2．說(shuō)明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．這與Rt△ABC中，∠C=90°的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例．4、三角形的有關(guān)定理：角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos=sin,sin=cos面積公式：S=absinC=bcsinA=casinBS=pr=(其中p=,r為切圓半徑)射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA5、求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：〔1〕、分析題意，弄清和所求；〔2〕、根據(jù)提意，畫出示意圖；〔3〕、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫出所求；〔4〕、正確運(yùn)用正、余弦定理。【典型例題】例1在解：∴由得由得例2在解：∵∴例3解：，例4△ABC，BＤ為B的平分線，求證：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形研究問(wèn)題，而B的平分線BD將△ABC分成了兩個(gè)三角形：△ABD與△CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：AB∶AD＝BC∶DC，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形，而在三角形邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明：在△ABD，利用正弦定理得：在△BCD，利用正弦定理得：∵BD是B的平分線.∴∠ABD＝∠DBC∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin〔180°－∠BDC〕＝sinBDC∴∴評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.例5在ΔABC中，a=,b=,B=45°，求A,C及邊c．解：由正弦定理得：sinA=,因?yàn)锽=45°<90°且b<a,所以有兩解A=60°或A=120°(1)當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-(A+B)=75°，c=,(2)當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-(A+B)=15°，c=思維點(diǎn)撥：兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問(wèn)題，用正弦定理解，但需注意解的情況的討論．例6△ABC中，假設(shè)，判斷△ABC的形狀。解一：由正弦定理：∴2A=2B或2A=1802B即：A=B或A+B=90∴△ABC為等腰或直角三角形解二：由題設(shè)：化簡(jiǎn)：b2(a2+c2b2)=a2(b2+c2a2)∴(a2b2)(a2+b2c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC為等腰或直角三角形．思維點(diǎn)撥：判斷三角形的形狀從角或邊入手．例7在ΔABC中，Ａ，Ｂ，Ｃ成等差數(shù)列，b=1,求證：1<a+c≤2.解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)=(sinA+sinC)=[sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因?yàn)?°<A<120°，所以30°<A+30°<150°,故1<2sin(A+30°)≤2.法二．∵B=60°,b=1，∴a2+c2-b2=2accos60°,∴a2+c2-1=ac,∴a2+c2-ac=1,∴(a+c)2+3(a-c)2=4,∴(a+c)2=4-3(a-c)2.∵0≤a-c<1∴0≤3(a-c)2<3,∴4-3(a-c)2≤4,即(a+c)2≤4,a+c≤2a+c>1,1<a+c≤2．思維點(diǎn)撥：邊角互化是解三角形問(wèn)題常用的手段．例8⊙O的半徑為R，，在它的接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值．解：由條件得．即有，又∴．∴．所以當(dāng)A=B時(shí)，．思維點(diǎn)撥：：三角形中的三角變換，應(yīng)靈活運(yùn)用正、余弦定理．在求值時(shí)，要利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．例9AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是、，CD=a，測(cè)角儀器的高是h，則，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC=AB=AE+h=AC+h=+h例10如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測(cè)得A處的俯角=50。鐵塔BC局部的高為27.3m,求出山高CD(準(zhǔn)確到1m)解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根據(jù)正弦定理,=所以AB==解RtABD中,得BD=ABsinBAD=將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得BD==≈177(m)CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.例11如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根據(jù)正弦定理,=,BC==≈7.4524(km)CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)答:山的高度約為1047米例12如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離"(角度準(zhǔn)確到0.1,距離準(zhǔn)確到0.01nmile)分析：首先根據(jù)三角形的角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根據(jù)余弦定理，AC==≈113.15根據(jù)正弦定理,=sinCAB==≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15nmile例13在*點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：〔用正弦定理求解〕由可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，=。因?yàn)閟in4=2sin2cos2 cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：〔設(shè)方程來(lái)求解〕設(shè)DE=*，AE=h在RtACE中,(10+*)+h=30在RtADE中,*+h=(10)兩式相減，得*=5,h=15在RtACE中,tan2==2=30,=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：〔用倍角公式求解〕設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中，sin2=---------①在RtADE中，sin4=,---------②②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例14*巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)*小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10*,AB=14*,AC=9,ACB=+=(14*)=9+(10*)-2910*cos化簡(jiǎn)得32*-30*-27=0，即*=,或*=-(舍去)所以BC=10*=15,AB=14*=21,又因?yàn)閟inBAC===BAC=38,或BAC=141〔鈍角不合題意，舍去〕，38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解【經(jīng)典考題】1．設(shè)分別是的三個(gè)角所對(duì)的邊，則是的〔A〕〔A〕充分條件〔B〕充分而不必要條件〔C〕必要而充分條件〔D〕既不充分又不必要條件2．在中，，給出以下四個(gè)論斷：①②③④其中正確的選項(xiàng)是〔B〕〔A〕①③〔B〕②④〔C〕①④〔D〕②③3．在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________.4．如果的三個(gè)角的余弦值分別等于的三個(gè)角的正弦值，則〔〕A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形5．己知A、C是銳角△ABC的兩個(gè)角，且tanA,tanC是方程*2-p*+1-p＝0(p≠0，且p∈R)，的兩個(gè)實(shí)根，則tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值圍分別是____和_____，p的取值圍是__________；(0，)；(0，)；［，1)6．在ΔABC中，，AC邊上的中線BD=，求sinA.【專家解答】設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE//AB，且，設(shè)BE=*在ΔBDE中可得，，解得，〔舍去〕故BC=2，從而，即又，故，***高考要考什么【考點(diǎn)透視】本專題主要考察正弦定理和余弦定理．【熱點(diǎn)透析】三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧學(xué)生需要掌握的能力：(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；(2)熟練地進(jìn)展邊角和關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；(3)能熟練運(yùn)用三角形根底知識(shí)，正(余)弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問(wèn)題，注意隱含條件的挖掘***突破重難點(diǎn)【例1】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,b=acosC,且△ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為。判斷△ABC的形狀；求△ABC的面積。解析〔1〕b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC,〔*〕B=, sinB=sin(A+C),從而〔*〕式變?yōu)閟in(A+C)=sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，△ABC是直角三角形?！?〕△ABC的最大邊長(zhǎng)為12，由〔1〕知斜邊=12，又△ABC最小角的正弦值為，Rt△ABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為S△ABC==16【點(diǎn)晴】此題主要考察三角函數(shù)變換及正弦定理的應(yīng)用.用正弦定理化邊為角，再以角為突破口，判斷出△ABC的形狀，最后由條件求出三條邊，從而求面積.【文】在△ABC中，假設(shè)tanA︰tanB＝，試判斷△ABC的形狀．解析由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得∵A、B為三角形的角，∴sinA≠0，sinB≠0．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．【點(diǎn)晴】三角形分類是按邊或角進(jìn)展的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a2＋b2＝c2，a2＋b2>c2〔銳角三角形〕，a2＋b2＜c2〔鈍角三角形〕或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)展探索．【例2】中，角..的對(duì)邊分別為..，..成等比數(shù)列，且〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)，求的值解析〔1〕由得，由得，〔2〕由得：，因，所以：，即：由余弦定理得于是：故【點(diǎn)晴】以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考察邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向，因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解斜三角形中的靈活應(yīng)用.【文】在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，.(1)求角A的度數(shù)；(2)假設(shè)a=，b+c=3，求b和c的值.解析【點(diǎn)睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應(yīng)用比擬廣泛.【例3】△ABC的周長(zhǎng)為6，成等比數(shù)列，求〔1〕△ABC的面積S的最大值；〔2〕的取值圍．解析設(shè)依次為a，b，c，則a+b+c=6，b2=ac．在△ABC中得,故有．又從而．〔１〕，即．〔２〕．．【點(diǎn)睛】三角與向量結(jié)合是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn).問(wèn)題當(dāng)中的字母比擬多，這就需要我們采用消元的思想，想方法化多為少，消去一些中介的元素，保存適當(dāng)?shù)闹髯冊(cè)髯冊(cè)墙獯饐?wèn)題的根本元素，有效的控制和利用對(duì)調(diào)整解題思路是十分有益處的．【變式】在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,△ABC的外接圓半徑R=，且滿足.求角B和邊b的大??；求△ABC的面積的最大值。解析(1)由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB∴sin(B+C)=2sinAcosB∴sinA=2sinAcosB∴cosB=∴B=∵b=2RsinB∴b=3(2)∵=∴當(dāng)A=時(shí),的最大值是．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的最值問(wèn)題在三角形中的應(yīng)用***自我提升1．在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinA·sinB(B)〔A〕.有最大值和最小值〔B〕.有最大值但無(wú)最小值〔C〕.既無(wú)最大值也無(wú)最小值〔D〕.有最大值1但無(wú)最小值2．非零向量與滿足且則為〔D〕〔A〕等邊三角形〔B〕直角三角形〔C〕等腰非等邊三角形〔D〕三邊均不相等的三角形3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則∠C的大小是〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕或〔D〕或4.一個(gè)直角三角形三角的正弦值成等比數(shù)列，其最小角為(A)(A)arccos(B)arcsin(C)arccos(D)arcsin5.a+1，a+2，a+3是鈍角三角形的三邊，則a的取值圍是.〔0，2〕6．定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,假設(shè)的角A滿足,則A的取值圍是___7．?dāng)?shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝2，前n項(xiàng)和為Sn，且.〔1〕判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論？〔2〕假設(shè)對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以an，an+1，an+2為邊長(zhǎng)都能構(gòu)成三角形，求t的取值圍。解析(1)略〔2〕【文】在中，..的對(duì)邊分別為..。假設(shè)a,b,c成等比數(shù)列，求f(B)=sinB+cosB的值域。假設(shè)a,b,c成等差數(shù)列，且A-C=，求cosB的值。解析(1)∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∵f(B)=sinB+cosB=∵∴的值域?yàn)?2)∵∴sinA+sinC=2sinB∵∴C=∴sin()+sin()=2sinB展開,化簡(jiǎn),得,∵,∴∴cosB=8．在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，假設(shè)要使AD最小，求AD∶AB的值.解析按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱，又設(shè)∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再設(shè)AB=a，AD=*，∴DP=*.在△ABC中，∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，由正弦定理知：.∴BP=在△PBD中，,∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴當(dāng)60°+2θ=90°，即θ=15°時(shí)，sin(60°+2θ)=1，此時(shí)*取得最小值a，即AD最小，∴AD∶DB=2－3.【文】在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足〔１〕求角大??；〔２〕假設(shè)，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀．解析〔１〕，，．，，．〔２〕由余弦定理，得．，．所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．此時(shí)為正三角形．解三角形檢測(cè)題班級(jí)**成績(jī)一、選擇題:1．在△ABC中，以下式子不正確的選項(xiàng)是A．B．C．D．2．在△ABC中，，則的值為A．