高等數(shù)學(xué)12數(shù)列極限含weierstrass定理以及單調(diào)遞增

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)那么一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)數(shù)列的極限1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，那么與圓周合體而無所失矣〞——?jiǎng)⒒?、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭〞

引例割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，那么與圓周合體而無所失矣〞——?jiǎng)⒒照呅蔚拿娣e正十二邊形的面積正邊形的面積“用逼近未知,用近似逼近精確〞無限接近（圓的真實(shí)面積）LLLL一數(shù)列的概念如果按照某一法那么,對(duì)每一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)那么得到一個(gè)序列這一序列稱為數(shù)列,記為第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng).數(shù)列舉例:注：數(shù)列可以看作自變量為正整數(shù)

的函數(shù):數(shù)列的概念如果按照某一法那么,對(duì)每一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)那么得到一個(gè)序列這一序列稱為數(shù)列,記為第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng).x1x5x4x3x2xn數(shù)列的幾何意義次位于數(shù)軸上的坐標(biāo)

數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它依次數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。通過演示實(shí)驗(yàn)的觀察:當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近于數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。例如數(shù)列極限的通俗定義問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻畫它？當(dāng)無限增大時(shí)，如果數(shù)列的一般項(xiàng)無限接近于常數(shù)則稱常數(shù)是數(shù)列的極限

或者稱記為趨勢(shì)不定收斂于數(shù)列“當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近于”是什么意思？分析當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近于無限接近于無限變小,要多小就能多小.任意給定一個(gè)正數(shù)(無論多么小)，當(dāng)足夠大時(shí)，總能小于事先給定的那個(gè)正數(shù).當(dāng)無限增大時(shí)，當(dāng)無限增大時(shí)，任意給定一個(gè)正數(shù)(無論多么小)，當(dāng)足夠大時(shí)，總能小于事先給定的那個(gè)正數(shù).增大時(shí)，無限接近于當(dāng)無限只要足夠大，就能足夠小,要多小就能多小.等價(jià)于只要，就如上例給定給定任意給定給定由只要時(shí)，有有只要時(shí)，只要時(shí)，有有由數(shù)列極限的精確定義如果存在常數(shù)對(duì)于任意給定總存在正整數(shù)使得當(dāng)

時(shí)

總有成立

則稱常數(shù)是數(shù)列的極限

或者稱數(shù)列收斂于記為極限定義的簡(jiǎn)記形式設(shè)為一數(shù)列

或當(dāng)

時(shí)

的正數(shù)aa-ea+e()數(shù)列極限的幾何意義1.任意給定的有的鄰域；2.存在當(dāng)

時(shí)

全都落在3.當(dāng)時(shí)，一般落在鄰域外邊。內(nèi)部；鄰域當(dāng)

時(shí)

例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散例1證明證明例2.證明證:欲使只要即取那么當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N

與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取二.收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.1收斂數(shù)列必有界證當(dāng)時(shí)，有取所以，收斂數(shù)列必有界.

證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有定理2.2

收斂數(shù)列的極限唯一使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾,因此收斂數(shù)列的極限必唯一.那么當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式那么證定理2.3有理運(yùn)算法那么定理2.4

收斂數(shù)列具有保號(hào)性.假設(shè)且同號(hào)。并且假設(shè)證:當(dāng)a>0,取推論:〔保序性〕設(shè)恒有若恒有，則29例2求解由于根據(jù)有理運(yùn)算法那么得例3

求解因?yàn)楦鶕?jù)有理運(yùn)算法那么得例4

求解因?yàn)樗匀?收斂準(zhǔn)那么定理2.5單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)增，上有界數(shù)列必有極限單調(diào)減，下有界數(shù)列必有極限證明：不仿設(shè)數(shù)列為單調(diào)增加且有上界，根據(jù)確〔1〕〔2〕界存在定理，由構(gòu)成的數(shù)集必有上確界?,滿足：因而于是*********************證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.假設(shè)那么當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,

使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************定理2.6

收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.******************************************數(shù)列的子數(shù)列〔子列〕由此性質(zhì)可知,假設(shè)數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!那么原數(shù)列一定發(fā)散.36單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明單調(diào)減，下有界例5(1)

證明單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明單調(diào)增，有上界例5(2)

證明那么定理2.7〔夾逼定理〕如果證例6

證明證例7

計(jì)算解定理

2.8(Weierstrass定理)有界數(shù)列必有收斂子列.為一有界數(shù)列,那么必存在使得證:

設(shè)根據(jù)單調(diào)有界原那么，為了證明定理的結(jié)論，只要在任何情況下都能從邏輯上看，那么都有或?yàn)橛邢藜?；為無限集。僅有兩種情況：在該數(shù)列中找到一個(gè)單調(diào)的子列就行了。設(shè)，或?yàn)橛邢藜?，那?1)假設(shè)同理使的定義，大于如此繼續(xù)下去，所以根據(jù)中所有的數(shù).因?yàn)榈玫礁鶕?jù)故為一個(gè)無限子集，設(shè)該無限子集中的元素按嚴(yán)格單調(diào)遞增的順序排列為(3)假設(shè)綜上可知在任何情況下定理都是成立的。是一個(gè)收斂子列。的嚴(yán)格單調(diào)遞增子數(shù)列，所以的定義，那么有是定理2.9〔Cauchy收斂原理〕數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性〞.設(shè)那么時(shí),有使當(dāng)因此“充分性〞證明從略.有柯西

例設(shè)證明數(shù)列證:

要證收斂，只要證明它滿足Cauchy條件。由于柯西收斂。46所以，故原數(shù)列滿足Cauchy柯西只要取那么及恒有條件，所以收斂。

例設(shè)證明數(shù)列證：要證發(fā)散，只要證明它不滿足Cauchy條件，使也就是說，只要證明就行了，對(duì)于取發(fā)散。47由于故不滿足Cauchy條件，發(fā)散.內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列