高考新課標(biāo)數(shù)學(xué) 第二章 第十二節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例

1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例2.[文]了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次)．[理]了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．3．會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題．[理要點(diǎn)]一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)f(x)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：(1)假設(shè)，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)假設(shè)，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)假設(shè)，那么f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)＝02．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟．(1)求

；(2)在定義域內(nèi)解不等式

；(3)根據(jù)結(jié)果確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．f′(x)f′(x)>0或f′(x)<0二、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，那么點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．f′(x)＜0f′(x)＞02．函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，那么點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．f′(x)＞0f′(x)＜0三、函數(shù)的最值1．如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．連續(xù)不斷2．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的

．(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．極值端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)[究疑點(diǎn)]1．假設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0嗎？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件？提示：函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件．2．導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？提示：不一定．如f(x)＝x3，f′(0)＝0.但f′(x)＝3x2≥0，那么f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，故x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)．3．函數(shù)的極值和函數(shù)的最值有什么聯(lián)系和區(qū)別？提示：極值是指某一點(diǎn)附近函數(shù)值的比較，因此，同一函數(shù)在某一點(diǎn)的極大(小)值，可以比另一點(diǎn)的極小(大)值小(大)；最大、最小值是指閉區(qū)間[a，b]上所有函數(shù)值的比較．因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．[題組自測]答案：B3．a(chǎn)∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)，假設(shè)是，求出a的取值范圍；假設(shè)不是，請說明理由．(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，那么f′(x)≤0對x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0對x∈R都成立．∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0對x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，這是不可能的．故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減．假設(shè)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，那么f′(x)≥0對x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈R都成立．∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≤0對x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4＞0，故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增．綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)．在題3條件下，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝－x2ex，∴f′(x)＝(－x2－2x)ex，令f′(x)>0，得－2<x<0，即當(dāng)x∈(－2,0)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，令f′(x)<0得x<－2或x>0，即當(dāng)x∈(－∞，－2)或x∈(0，＋∞)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．(2)當(dāng)a≠0時，f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex.令g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a.∵Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4>0，∴g(x)有兩個零點(diǎn)．[歸納領(lǐng)悟]求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它們在定義域內(nèi)的一切實(shí)根．(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成假設(shè)干個小區(qū)間．(4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性．[題組自測]1．設(shè)f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1處均有極值，那么以下點(diǎn)中一定在x軸上的是 ()A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c) D．(a＋b，c)答案：A2．(2021·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．3．函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(diǎn)(－1，－6)，且函數(shù)g(x)＝f′(x)＋6x的圖象關(guān)于y軸對稱．(1)求m、n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)a＞0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值．由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)(2，＋∞)；由f′(x)＜0得0＜x＜2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)．(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，當(dāng)x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

↗極大值↘

極小值↗

由此可得：當(dāng)0＜a＜1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無極小值；當(dāng)a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值；當(dāng)1＜a＜3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無極大值；當(dāng)a≥3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值．綜上得：當(dāng)0＜a＜1時，f(x)有極大值－2，無極小值；當(dāng)1＜a＜3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當(dāng)a＝1或a≥3時，f(x)無極值．[歸納領(lǐng)悟]求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)檢驗(yàn)f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近f′(x)>0，右側(cè)附近f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近f′(x)<0，右側(cè)附近f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極小值．[題組自測]1．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值是

________，最小值是________．解析：f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，即6x2－6x－12＝0，那么x＝－1或x＝2.又x∈[0,3]，故x＝－1應(yīng)舍去．當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)5↘

－15

↗－4∴f(x)max＝5，f(x)min＝－15.答案：5－152．f(x)＝ax3－2ax2＋b(a≠0)，是否存在正實(shí)數(shù)a，b使得f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值是5，最小值是－11？假設(shè)存在，求出a，b的值及相應(yīng)函數(shù)f(x)；假設(shè)不存在，請說明理由．x[－2,0)0(0,1]f′(x)＋0－f(x)↗

極大值↘

因此f(0)必為最大值，∴f(0)＝5，得b＝5，∵f(－2)＝－16a＋5，f(1)＝－a＋5，∴f(1)>f(－2)，∴f(－2)＝－16a＋5＝－11，∴a＝1，∴f(x)＝x3－2x2＋5.4.函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)．(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值．[歸納領(lǐng)悟]求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．答案：C2．面積為S的一矩形中，其周長最小時的邊長是

______．[歸納領(lǐng)悟]利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟1．分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，根據(jù)實(shí)際意義確定定義域；2．求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定極值點(diǎn)；3．比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值；4．復(fù)原到原實(shí)際問題中作答．一、把脈考情從近兩年的高考試題來看，對導(dǎo)數(shù)的考查表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括